Фермионное поле

В квантовой теории поля , фермионное поле является квантовым полем которого кванты являются фермионами ; то есть они подчиняются статистике Ферми – Дирака . Фермионные поля подчиняются каноническим антикоммутационным отношений , а не канонические коммутационные соотношения из бозонов полей .

Наиболее ярким примером фермионного поля является поле Дирака, которое описывает фермионы со спином -1/2: электроны , протоны , кварки и т. Д. Поле Дирака можно описать либо как 4-компонентный спинор, либо как пару из 2 -компонентные спиноры Вейля. Майорановские фермионы со спином 1/2 , такие как гипотетический нейтралино , можно описать либо как зависимый 4-компонентный спинор Майорана, либо как отдельный 2-компонентный спинор Вейля. Неизвестно, является ли нейтрино фермионом Майорана или фермионом Дирака ; наблюдение безнейтринного двойного бета-распада экспериментально разрешил бы этот вопрос.

Основные свойства [ править ]

Свободные (невзаимодействующие) фермионные поля подчиняются каноническим антикоммутационным соотношениям ; т.е. задействовать антикоммутаторы { a , b } = ab + ba , а не коммутаторы [ a , b ] = ab - ba бозонной или стандартной квантовой механики. Эти соотношения также справедливы для взаимодействующих фермионных полей в картине взаимодействия , где поля эволюционируют во времени, как если бы они были свободными, а эффекты взаимодействия закодированы в эволюции состояний.

Именно из этих антикоммутационных соотношений следует статистика Ферми – Дирака для квантов поля. Они также приводят к принципу исключения Паули : две фермионные частицы не могут находиться в одном и том же состоянии одновременно.

Поля Дирака [ править ]

Ярким примером фермионного поля со спином 1/2 является поле Дирака (названное в честь Поля Дирака ) и обозначаемое как . Уравнение движения частицы со свободным спином 1/2 - это уравнение Дирака :${\ Displaystyle \ psi (х)}$

${\ displaystyle \ left (я \ гамма ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi (x) = 0. \,}$

где есть гамма - матрица и масса. Простейшими возможными решениями этого уравнения являются решения в виде плоских волн, и . Эти решения в виде плоских волн образуют основу для компонентов Фурье , что позволяет сделать общее разложение волновой функции следующим образом:${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle \ psi _ {1} (х) = и (р) е ^ {- ip.x} \,}$${\ Displaystyle \ psi _ {2} (х) = v (p) e ^ {ip.x} \,}$${\ Displaystyle \ psi (х)}$

${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}$

u и v - спиноры, обозначенные спином s . Для электрона, частицы со спином 1/2, s = +1/2 или s = −1 / 2. Коэффициент энергии является результатом наличия инвариантной лоренц-инвариантной меры интегрирования. Во втором квантовании , способствует оператору, так что коэффициенты Фурье режимов его должны быть операторы тоже. Следовательно, и являются операторами. Свойства этих операторов можно определить по свойствам поля. и подчиняться антикоммутационным соотношениям:${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s}}$${\displaystyle b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \psi (y)^{\dagger }}$

${\displaystyle \left\{\psi _{a}(\mathbf {x} ),\psi _{b}^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{ab},}$

где a и b - спинорные индексы. Мы налагаем антикоммутаторное соотношение (в отличие от коммутационного соотношения, как мы делаем для бозонного поля ), чтобы сделать операторы совместимыми со статистикой Ферми – Дирака . Подставляя разложения для и , можно вычислить антикоммутационные соотношения для коэффициентов.${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \psi (y)}$

${\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,}$

Подобно нерелятивистским операторам уничтожения и рождения и их коммутаторам, эти алгебры приводят к физической интерпретации, которая создает фермион с импульсом p и спином s и создает антифермион с импульсом q и спином r . Теперь видно, что общее поле представляет собой взвешенное (по энергетическому фактору) суммирование по всем возможным спинам и импульсам для создания фермионов и антифермионов. Его сопряженное поле , напротив, является взвешенным суммированием по всем возможным спинам и импульсам для уничтожения фермионов и антифермионов.${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$${\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

Поняв моды поля и определив сопряженное поле, можно построить лоренц-инвариантные величины для фермионных полей. Самое простое - это количество . Это делает причину выбора понятной. Это связано с тем, что общее преобразование Лоренца не является унитарным, поэтому величина не будет инвариантной при таких преобразованиях, поэтому включение должно исправить это. Другая возможная ненулевая инвариантная величина Лоренца , с точностью до полного сопряжения, может быть построена из фермионных полей .${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}$${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$${\displaystyle \gamma ^{0}\,}$${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$

Поскольку линейные комбинации этих величин также являются лоренц-инвариантными, это естественным образом приводит к плотности лагранжиана для поля Дирака из-за требования, чтобы уравнение Эйлера – Лагранжа системы восстанавливало уравнение Дирака.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,}$

Индексы такого выражения подавлены. При повторном введении полное выражение

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,}$

Плотность гамильтониана ( энергии ) также можно построить, сначала определив импульс, канонически сопряженный с , который называется${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \Pi (x):}$

${\displaystyle \Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.}$

С таким определением плотность гамильтониана равна:${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,}$

где - стандартный градиент пространственно-подобных координат, а - вектор пространственно-подобных матриц. Удивительно, что плотность гамильтониана не зависит напрямую от производной по времени , но выражение верное.${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \psi }$

Учитывая выражение для, мы можем построить пропагатор Фейнмана для фермионного поля:${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle }$

мы определяем упорядоченный по времени продукт для фермионов со знаком минус из-за их антикоммутирующей природы

${\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}$

Подставляя наше разложение для плоской волны для поля фермионов в вышеприведенное уравнение, получаем:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}$

где мы использовали обозначение слэша Фейнмана . Этот результат имеет смысл, поскольку множитель

${\displaystyle {\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}}$

является просто обратным оператору, действующему в уравнении Дирака. Отметим, что пропагатор Фейнмана для поля Клейна – Гордона обладает тем же свойством. Поскольку все разумные наблюдаемые (такие как энергия, заряд, число частиц и т. Д.) Построены из четного числа полей фермионов, соотношение коммутации исчезает между любыми двумя наблюдаемыми в точках пространства-времени за пределами светового конуса. Как мы знаем из элементарной квантовой механики, две одновременно коммутирующие наблюдаемые могут быть измерены одновременно. Таким образом, мы правильно реализовали лоренц-инвариантность для поля Дирака и сохранили причинность .${\displaystyle \psi (x)}$

Более сложные теории поля, включающие взаимодействия (такие как теория Юкавы или квантовая электродинамика ), также могут быть проанализированы различными пертурбативными и непертурбативными методами.

Поля Дирака - важный компонент Стандартной модели .

См. Также [ править ]

• Уравнение Дирака
• Теорема спин-статистики
• Спинор

Ссылки [ править ]

• Эдвардс, Д. (1981). «Математические основы квантовой теории поля: фермионы, калибровочные поля и суперсимметрия, часть I: теории поля на решетке». Int. J. Theor. Phys . 20 (7): 503–517. Bibcode : 1981IJTP ... 20..503E . DOI : 10.1007 / BF00669437 .
• Пескин, М., Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля , Westview Press. (См. Страницы 35–63.)
• Средницки, Марк (2007). Квантовая теория поля , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86449-7 . 
• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей , (3 тома) Cambridge University Press.