В математике и физике алгебры CCR (после канонических коммутационных соотношений ) и CAR-алгебры (после канонических антикоммутационных соотношений) возникают в результате квантовомеханического исследования бозонов и фермионов соответственно. Они играют важную роль в квантовой статистической механике [1] и квантовой теории поля .
CCR и CAR как * -алгебры
Позволять - вещественное векторное пространство, снабженное неособой действительной антисимметричной билинейной формой (т.е. симплектическое векторное пространство ). Унитальная * -алгебра порождается элементами при условии отношений
для любой в называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС) . Единственность представлений этой алгебры приявляется конечномерно обсуждается в теореме Стоуна-фон Неймана .
Если имеет неособую вещественную симметричную билинейную форму вместо этого унитальная * -алгебра, порожденная элементами при условии отношений
для любой в называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (CAR) .
C * -алгебра CCR
Есть отличное, но тесно связанное с этим значение алгебры CCR, называемой CCR C * -алгеброй. Позволять - вещественное симплектическое векторное пространство с невырожденной симплектической формой . В теории операторных алгебр алгебра ККР над- унитальная C * -алгебра, порожденная элементами при условии
Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений, и, в частности, из них следует, что каждое является унитарной и. Хорошо известно, что алгебра CCR является простой несепарабельной алгеброй и единственна с точностью до изоморфизма. [2]
Когда является гильбертовым пространством идается мнимой частью скалярного произведения, алгебра CCR точно представлена на симметричном пространстве Фока над установив
для любой . Операторы поля определены для каждого как генератор однопараметрической унитарной группына симметричном пространстве Фока. Это самосопряженные неограниченные операторы , однако формально они удовлетворяют
В качестве задания действительно линейно, поэтому операторы определить алгебру CCR над в смысле раздела 1 .
C * -алгебра CAR
Позволять - гильбертово пространство. В теории операторных алгебр CAR-алгебра является единственным C * -полнением комплексной унитальной * -алгебры, порожденной элементами при условии отношений
для любой , . Когдасепарабельна, алгебра CAR является алгеброй AF и в частном случае бесконечномерно, его часто записывают как . [3]
Позволять - антисимметричное фоковское пространство над и разреши - ортогональная проекция на антисимметричные векторы:
Алгебра CAR точно представлена на установив
для всех а также . Тот факт, что они образуют C * -алгебру, объясняется тем фактом, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются истинно ограниченными операторами . Кроме того, операторы поля удовлетворить
давая связь с Разделом 1 .
Обобщение супералгебры
Позволять быть настоящим - градуированное векторное пространство с невырожденной антисимметричной билинейной суперформой (т.е. ) такой, что реально, если либо или же является четным элементом и мнимым, если оба они нечетные. Унитальная * -алгебра, порожденная элементами при условии отношений
для любых двух чистых элементов в является очевидным обобщением супералгебры, которое объединяет CCR с CAR: если все чистые элементы четны, один получает CCR, а если все чистые элементы нечетные, один получает CAR.
В математике абстрактная структура алгебр CCR и CAR над любым полем, а не только над комплексными числами, изучается под названием алгебр Вейля и Клиффорда , где накоплено много значительных результатов. Одно из них состоит в том, что градуированные обобщения алгебр Вейля и Клиффорда позволяют безбазисную формулировку канонических коммутационных и антикоммутационных соотношений в терминах симплектической и симметричной невырожденной билинейной формы. Кроме того, бинарные элементы в этой градуированной алгебре Вейля дают безбазисную версию коммутационных соотношений симплектической и индефинитной ортогональной алгебр Ли . [4]
Смотрите также
- Статистика Бозе – Эйнштейна
- Статистика Ферми – Дирака
- Глоссарий теории струн
- Группа Гейзенберга
- Преобразование Боголюбова
- (−1) F
Рекомендации
- ^ Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1997). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: т.2 . Springer, 2-е изд. ISBN 978-3-540-61443-2.
- ^ Петц, Денес (1990). Приглашение к алгебре канонических коммутационных соотношений . Издательство Левенского университета. ISBN 978-90-6186-360-1.
- ^ Эванс, Дэвид Э .; Кавахигаси, Ясуюки (1998). Квантовые симметрии в операторных алгебрах . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-851175-5..
- ^ Роджер Хоу (1989). «Замечания по классической теории инвариантов» . Труды Американского математического общества . 313 (2): 539–570. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1989-0986027-X . JSTOR 2001418 .