В алгебраической геометрии и синтетической дифференциальной геометрии , А соединение Гротендика является способом просмотра соединений с точкой зрения спуска данных из бесконечно малых окрестностей диагонали.
Введение и мотивация
Связность Гротендика - это обобщение связности Гаусса – Манина, построенное аналогично тому, как связность Эресмана обобщает связность Кошуля . Сама конструкция должна удовлетворять требованию геометрической инвариантности , которое можно рассматривать как аналог ковариантности для более широкого класса структур, включая схемы алгебраической геометрии. Таким образом, связь в определенном смысле должна существовать в естественном пучке на топологии Гротендика . В этом разделе мы обсудим, как описать связность Эресмана в терминах теории пучков как связность Гротендика.
Пусть M будет многообразием и π: E → M сюръективны погружение в воду , так что Е является многообразием расслаивается над М . Пусть J 1 ( М , Е ) будет первого порядка расслоения струй сечений Е . Это можно рассматривать как расслоение над М или расслоение над общим пространством Е . С последней интерпретацией, Эресман - соединение представляет собой сечение расслоения (над Е ) J 1 ( M , E ) → E . Таким образом, проблема состоит в том, чтобы получить внутреннее описание пучка сечений этого векторного расслоения.
Решение Гротендик является рассмотреть диагональное вложение Д: M → M × M . Пучок I идеалов Δ в M × M состоит из функций на M × M, обращающихся в нуль по диагонали. Большая часть геометрии бесконечно малой части М может быть реализован в терминах I . Например, Δ * ( I / I 2 ) - пучок сечений кокасательного расслоения . Можно определить бесконечно малую окрестность M (2) первого порядка точки Δ в M × M как подсхему, соответствующую пучку идеалов I 2 . (См. Ниже описание координат.)
Есть пара проекций р 1 , р 2 : М × М → М задается проекцией соответствующие коэффициенты декартова произведения, которые ограничивают выступы , чтобы дать р 1 , р 2 : M (2) → M . Теперь можно сформировать обратный ход волоконного пространства E вдоль одного или другого из p 1 или p 2 . В общем, не существует канонического способа отождествления p 1 * E и p 2 * E друг с другом. Гротендик соединение представляет собой указанный изоморфизм между этими двумя пространствами. Можно перейти к определению кривизны и p-кривизны соединения на одном языке.
Рекомендации
- Оссерман, Б., "Связи, кривизна и p-кривизна", препринт .
- Кац, Н., "Нильпотентные связности и теорема монодромии", IHES Publ. Математика. 39 (1970) 175–232.