Неравенство Хаусдорфа-Юнга является основополагающим результатом в математической области анализа Фурье . Как утверждение о рядах Фурье, он был открыт Уильямом Генри Янгом ( 1913 ) и расширен Хаусдорфом ( 1923 ). В настоящее время его обычно понимают как довольно прямое следствие теоремы Планшереля , обнаруженной в 1910 году, в сочетании с теоремой Рисса-Торина , первоначально открытой Марселем Риссом в 1927 году. Благодаря этому механизму она легко допускает несколько обобщений, в том числе многомерную теорему Фурье. ряду и преобразованию Фурьена вещественной прямой, евклидовы пространства, а также более общие пространства. С этими расширениями это один из самых известных результатов анализа Фурье, который встречается почти в каждом вводном учебнике по этому предмету для выпускников.
Природу неравенства Хаусдорфа-Юнга можно понять только с помощью интегрирования Римана и бесконечных рядов в качестве предварительного условия. Для непрерывной функции f : (0,1) → ℝ определите ее «коэффициенты Фурье» следующим образом:
для каждого целого n . Неравенство Хаусдорфа-Юнга говорит, что
Грубо говоря, это можно интерпретировать как указание на то, что «размер» функции f , представленный правой частью приведенного выше неравенства, контролирует «размер» ее последовательности коэффициентов Фурье, представленных левым - стороны руки.
Однако это лишь очень частный случай общей теоремы. Ниже приводятся обычные формулировки теоремы с использованием техники L p пространств и интегрирования Лебега .
Сопряженная экспонента
Учитывая ненулевое действительное число p , определите действительное число p ' («сопряженный показатель степени» p ) уравнением
Если p равно единице, это уравнение не имеет решения, но оно интерпретируется так, что означает, что p ' бесконечно, как элемент расширенной линии действительных чисел . Аналогично, если p бесконечно, как элемент расширенной линии действительных чисел , то это интерпретируется как означающее, что p ' равно единице.
Обычно понимаемые особенности сопряженной экспоненты просты:
- сопряженная экспонента числа в диапазоне [1,2] находится в диапазоне [2, ∞]
- сопряженная экспонента числа в диапазоне [2, ∞] находится в диапазоне [1,2]
- сопряженный показатель 2 равен 2
Утверждения теоремы
Ряд Фурье
Учитывая функцию один определяет его «коэффициенты Фурье» как функцию от
хотя для произвольной функции f эти интегралы могут не существовать. Неравенство Гёльдера показывает, что если f принадлежит L p (0,1) для некоторого числа p ∈ [1, ∞], то каждый коэффициент Фурье определен правильно.
Неравенство Хаусдорфа-Юнга гласит, что для любого числа p из интервала (1,2) выполняется
для всех f в L p (0,1) . Наоборот, все еще предполагая p ∈ (1,2], если отображение, для которого
тогда существует коэффициенты Фурье которого равны c и с
Рекомендации. Раздел XII.2 в томе II книги Зигмунда
Многомерный ряд Фурье
Случай рядов Фурье обобщается на многомерный случай. Учитывая функцию определить его коэффициенты Фурье от
Как и в случае рядов Фурье, предположение, что f принадлежит L p для некоторого значения p в [1, ∞], гарантирует, посредством неравенства Гёльдера, существование коэффициентов Фурье. Теперь неравенство Хаусдорфа-Юнга говорит, что если p находится в диапазоне [1,2], то
для любого f из L p ((0,1) k ) .
Рекомендации. Страница 248 книги Фолланда
Преобразование Фурье
Один определяет многомерное преобразование Фурье следующим образом:
Неравенство Хаусдорфа-Юнга в этой ситуации говорит, что если p - число из интервала [1,2], то
для любого f из L p (ℝ n ).
Рекомендации. страница 114 книги Графакоса, страница 165 книги Хёрмандера, страница 11 книги Рида и Саймона или раздел 5.1 книги Штейна и Вайсса. В книгах Хёрмандера и Рида-Саймона для определения преобразования Фурье используются соглашения, отличные от принятых в этой статье.
Язык нормированных векторных пространств
Приведенные выше результаты можно кратко перефразировать так:
- отображение, которое переводит функцию (0,1) k → ℂ в ее коэффициенты Фурье, определяет ограниченное комплексно-линейное отображение L p ((0,1) k , dx ) → L p / ( p -1) (ℤ k , dn ) для любого числа p из диапазона [1,2] . Здесь dx обозначает меру Лебега, а dn обозначает считающую меру. Кроме того, операторная норма этого линейного отображения меньше или равна единице.
- отображение, которое переводит функцию ℝ n → ℂ в преобразование Фурье, определяет ограниченное комплексно-линейное отображение L p (ℝ n ) → L p / ( p -1) (ℝ n ) для любого числа p в диапазоне [1, 2] . Кроме того, операторная норма этого линейного отображения меньше или равна единице.
Доказательство
Здесь мы используем язык нормированных векторных пространств и ограниченных линейных отображений, что удобно для применения теоремы Рисса-Торина. Доказательство состоит из двух составляющих:
- согласно теореме Планшереля ряд Фурье (или преобразование Фурье) определяет ограниченное линейное отображение L 2 → L 2 .
- используя только единственное равенство для любых действительных чисел n и a сразу видно, что ряд Фурье (или преобразование Фурье) определяет ограниченное линейное отображение L 1 → L ∞ .
Операторная норма любого линейного отображения меньше или равна единице, как можно непосредственно проверить. Затем можно применить теорему Рисса – Торина .
Точное неравенство Хаусдорфа-Юнга Бекнера
Равенство достигается в неравенстве Хаусдорфа-Юнга для (многомерного) ряда Фурье, если взять
для любого конкретного выбора целых чисел В приведенной выше терминологии «нормированных векторных пространств» это утверждает, что операторная норма соответствующего ограниченного линейного отображения в точности равна единице.
Поскольку преобразование Фурье близко аналогично ряду Фурье, а указанное выше неравенство Хаусдорфа-Юнга для преобразования Фурье доказывается точно такими же способами, что и неравенство Хаусдорфа-Юнга для рядов Фурье, может показаться удивительным, что равенство не достигается для вышеупомянутое неравенство Хаусдорфа-Юнга для преобразования Фурье, помимо специального случаядля которого теорема Планшереля утверждает, что неравенство Хаусдорфа-Юнга является точным равенством.
Фактически, Бекнер (1975) , следуя частному случаю, описанному у Бабенко (1961) , показал, что если p - число из интервала [1,2] , то
для любого f из L p (ℝ n ) . Это усовершенствование стандартного неравенства Хаусдорфа-Юнга, поскольку контекст p ≤2 и p ' ≥2 гарантирует, что число в правой части этого « неравенства Бабенко-Бекнера » меньше или равно 1. Причем это число нельзя заменить на меньшее, так как равенство достигается в случае гауссовых функций. В этом смысле статья Бекнера дает оптимальную («точную») версию неравенства Хаусдорфа-Юнга. На языке нормированных векторных пространств он говорит, что операторная норма ограниченного линейного отображения L p (ℝ n ) → L p / ( p -1) (ℝ n ) , как определено преобразованием Фурье, в точности равна
Условие на показатель степени
Условие p ∈ [1,2] существенно. Если p > 2 , то принадлежность функции, не дает никакой дополнительной информации о порядке роста своего ряда Фурье, кроме того, что он находится в .
Рекомендации
Исследовательские статьи
- Бабенко, К. Иван (1961), "Неравенство в теории интегралов Фурье", Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая , 25 : 531–542, ISSN 0373-2436 , MR 0138939Англ. Пер., Амер. Математика. Soc. Пер. (2) 44, стр. 115–128.
- Beckner, Уильям (1975), "Неравенство в анализе Фурье", Анналы математики , второй серии 102 (1): 159-182, DOI : 10,2307 / 1970980 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970980 , МР 0385456
- Хаусдорфово, Феликс (1923), "Eine Ausdehnung де Parsevalschen Satzes über Fourierreihen", Mathematische Zeitschrift , 16 : 163-169, DOI : 10.1007 / BF01175679
- Янг, WH (1913), "Об определении суммируемости функции с помощью ее констант Фурье", Proc. Лондонская математика. Soc. , 12 : 71-88, DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-12.1.71
Учебники
- Берг, Йоран; Löfström, Jörgen. Интерполяционные пространства. Введение. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, № 223. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976. x + 207 с.
- Фолланд, Джеральд Б. Реальный анализ. Современные методы и их применение. Второе издание. Чистая и прикладная математика (Нью-Йорк). Публикация Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1999. xvi + 386 с. ISBN 0-471-31716-0
- Графакос, Лукас. Классический анализ Фурье. Третье издание. Тексты для выпускников по математике, 249. Springer, New York, 2014. xviii + 638 pp. ISBN 978-1-4939-1193-6 , 978-1-4939-1194-3
- Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. Абстрактный гармонический анализ. Vol. II: Структура и анализ компактных групп. Анализ локально компактных абелевых групп. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 152 Springer-Verlag, New York-Berlin 1970 ix + 771 pp.
- Хёрмандер, Ларс. Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных. I. Теория распределения и анализ Фурье. Перепечатка второго (1990 г.) издания [Springer, Berlin; MR1065993]. Классика по математике. Springer-Verlag, Берлин, 2003. x + 440 с. ISBN 3-540-00662-1
- Рид, Майкл; Саймон, Барри. Методы современной математической физики. II. Фурье-анализ, самосопряженность. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк-Лондон, 1975. xv + 361 с.
- Stein, Elias M .; Вайс, Гвидо. Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах. Princeton Mathematical Series, No. 32. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1971. x + 297 pp.
- Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. Vol. I, II. Третье издание. С предисловием Роберта А. Феффермана. Кембриджская математическая библиотека. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002. xii; Vol. I: xiv + 383 с .; Vol. II: viii + 364 с. ISBN 0-521-89053-5