В математике , то теорема Рисса-Торина , часто называют Рисса-Торина интерполяции теорема или Рисса-Торина выпуклость теорема , является результатом об интерполяции операторов . Он назван в честь Марселя Рисса и его ученика Г. Улофа Торина .
Эта теорема ограничивает нормы линейных отображений, действующих между пространствами L p . Его полезность связана с тем, что некоторые из этих пространств имеют более простую структуру, чем другие. Обычно это относится к L 2, которое является гильбертовым пространством , или к L 1 и L ∞ . Поэтому можно доказать теоремы о более сложных случаях, доказав их в двух простых случаях, а затем используя теорему Рисса – Торина, чтобы перейти от простых случаев к сложным. Теорема Марцинкевича аналогична, но применима также к классу нелинейных отображений.
Мотивация
Для начала нам понадобится следующее определение:
- Определение. Пусть p 0 , p 1 - два числа такие, что 0 < p 0 < p 1 ≤ ∞ . Тогда для 0 < θ <1 определим p θ следующим образом: 1/p θ знак равно 1 - θ/p 0 + θ/п 1.
Разбивая функцию f в L p θ как произведение | f | = | f | 1− θ | f | θ и применяя неравенство Гёльдера к его степени p θ , мы получаем следующий результат, лежащий в основе изучения L p -пространств:
Предложение (лог-выпуклость л р -норм) - Каждый F ∈ L р 0 ∩ L р 1 удовлетворяет условию:
Этот результат, название которого происходит от выпуклости карты 1 ⁄ p ↦ log || f || p на [0, ∞] , следует, что L p 0 ∩ L p 1 ⊂ L p θ .
С другой стороны, если взять разложение слоеного торта f = f 1 {| f |> 1} + f 1 {| f | ≤1} , то мы видим, что f 1 {| f |> 1} ∈ L p 0 и f 1 {| f | ≤1} ∈ L p 1 , откуда получаем следующий результат:
Предложение - Каждая F в L р & thetas может быть записана в виде суммы: F = г + ч , где г ∈ L р 0 и ч ∈ L р 1 .
В частности, этот результат следует , что L р θ входит в L р 0 + л р 1 , то sumset из л р 0 и L р 1 в пространстве всех измеримых функций. Таким образом, мы имеем следующую цепочку включений:
Следствие - L p 0 ∩ L p 1 ⊂ L p θ ⊂ L p 0 + L p 1 .
На практике часто встречаются операторы, определенные на множестве сумм L p 0 + L p 1 . Например, лемма Римана – Лебега показывает, что преобразование Фурье ограниченно отображает L 1 ( R d ) в L ∞ ( R d ) , а теорема Планшереля показывает, что преобразование Фурье ограниченно отображает L 2 ( R d ) в себя, следовательно, преобразование Фурьераспространяется на ( L 1 + L 2 ) ( R d ) , задав
С этой целью мы вернемся к нашему примеру и отметим, что преобразование Фурье на множестве сумм L 1 + L 2 было получено путем взятия суммы двух экземпляров одного и того же оператора, а именно
Это действительно один и тот же оператор в том смысле, что они согласовывают подпространство ( L 1 ∩ L 2 ) ( R d ) . Поскольку пересечение содержит простые функции , оно плотно как в L 1 ( R d ), так и в L 2 ( R d ) . Плотно определенные непрерывные операторы допускают уникальные расширения, поэтому мы вправе рассматривать а также быть таким же .
Таким образом, проблема изучения операторов на множестве сумм L p 0 + L p 1 по существу сводится к изучению операторов, которые ограниченно отображают два естественных доменных пространства L p 0 и L p 1 в два целевых пространства: L q 0 и L q 1 соответственно. Поскольку такие операторы отображают пространство сумм L p 0 + L p 1 в L q 0 + L q 1 , естественно ожидать, что эти операторы отображают промежуточное пространство L p θ в соответствующее промежуточное пространство L q θ .
Формулировка теоремы
Есть несколько способов сформулировать интерполяционную теорему Рисса – Торина; [1] для согласования с обозначениями в предыдущем разделе мы будем использовать формулировку суммы.
Рисса-Торина интерполяции теорема - Пусть (Ω 1 , Σ 1 , ц 1 ) и (Ω 2 , Σ 2 , μ 2 ) быть σ -конечной мера пространства. Предположим, 1 ≤ p 0 , q 0 , p 1 , q 1 ≤ ∞ , и пусть T : L p 0 ( μ 1 ) + L p 1 ( μ 1 ) → L q 0 ( μ 2 ) + L q 1 ( μ 2 ) - линейный оператор , ограниченно отображающий L p 0 ( μ 1 ) в L q 0 ( μ 2 ) и L p 1 ( μ 1 ) в L q 1 ( μ 2 ) . Для 0 < θ <1 пусть p θ , q θ определены, как указано выше. Тогда T ограниченно отображает L р & thetas ( μ 1 ) в л д & thetas ( μ 2 ) и удовлетворяет операторной норме оценить
Другими словами, если T имеет одновременно тип ( p 0 , q 0 ) и тип ( p 1 , q 1 ) , то T имеет тип ( p θ , q θ ) для всех 0 < θ <1 . Таким образом, интерполяционная теорема поддается наглядному описанию. Действительно, риссовская диаграмма , из Т есть совокупность всех точек ( 1/п, 1/q) в единичном квадрате [0, 1] × [0, 1] такой, что T имеет тип ( p , q ) . Интерполяционная теорема утверждает, что диаграмма Рисса для T является выпуклым множеством: учитывая две точки на диаграмме Рисса, отрезок, соединяющий их, также будет на диаграмме.
Интерполяционная теорема была первоначально сформулирована и доказана Марселем Риссом в 1927 году. [2] В статье 1927 года теорема устанавливается только для нижнего треугольника диаграммы Рисса, а именно, с ограничением, что p 0 ≤ q 0 и p 1 ≤ q 1 . Олоф Торин распространил интерполяционную теорему на весь квадрат, сняв ограничение нижнего треугольника. Доказательство Торина было первоначально опубликовано в 1938 году и впоследствии было расширено в его диссертации 1948 года. [3]
Эскиз доказательства
Классическое доказательство интерполяционной теоремы Рисса – Торина в значительной степени опирается на теорему Адамара о трех линиях для установления необходимых границ, хотя возможна версия, в которой не используется комплексный анализ. [4] По характеристике двойственных пространств L р -пространств , мы видим , что
Соответствующим образом определяя варианты f z и g z функций f и g для каждого z в C , мы получаем целую функцию
Затем мы можем использовать эти предположения, чтобы установить верхние границы Φ на прямых Re ( z ) = 0 и Re ( z ) = 1 , откуда теорема Адамара о трех прямых устанавливает интерполированную оценку Φ на прямой Re ( z ) = θ . Теперь достаточно проверить, что оценка при z = θ - это то, что мы хотели.
Интерполяция аналитических семейств операторов.
Схема доказательства, представленная в предыдущем разделе, легко обобщается на случай, когда оператору T разрешено аналитически меняться. Фактически, аналогичное доказательство можно провести, чтобы установить оценку всей функции
Интерполяционная теорема Штейна - Пусть (Ω 1 , Σ 1 , μ 1 ) и (Ω 2 , Σ 2 , μ 2 ) являются σ -конечными пространствами меры . Предположим, что 1 ≤ p 0 , p 1 ≤ ∞, 1 ≤ q 0 , q 1 ≤ ∞ , и определим:
- S = { z ∈ C : 0
z ) <1} , - S = { z ∈ C : 0 ≤ Re ( z ) ≤ 1}.
Возьмем набор линейных операторов { T z : z ∈ S } на пространстве простых функций из L 1 ( μ 1 ) в пространство всех μ 2 -измеримых функций на Ω 2 . Мы предполагаем следующие дополнительные свойства этого набора линейных операторов:
- Отображение непрерывна на S и голоморфна на S для всех простых функций f и g .
- Для некоторой константы k < π операторы удовлетворяют равномерной оценке:
- T z ограниченно отображает L p 0 ( μ 1 ) в L q 0 ( μ 2 ), если Re ( z ) = 0 .
- T z ограниченноотображает L p 1 ( μ 1 ) в L q 1 ( μ 2 ), если Re ( z ) = 1 .
- Нормы операторов удовлетворяют равномерной оценке для некоторой постоянной k < π .
Тогда для каждого 0 < θ <1 оператор T θ ограниченно отображает L p θ ( μ 1 ) в L q θ ( μ 2 ) .
Теория реальных пространств Харди и пространства ограниченных средних колебаний позволяет нам использовать аргумент интерполяционной теоремы Штейна при работе с операторами в пространстве Харди H 1 ( R d ) и пространстве ограниченных средних колебаний BMO ; это результат Чарльза Феффермана и Элиаса Штайна . [6]
Приложения
Неравенство Хаусдорфа – Юнга.
В первом разделе было показано, что преобразование Фурье отображает L 1 ( R d ) ограниченно в L ∞ ( R d ) и L 2 ( R d ) в себя. Аналогичное рассуждение показывает, что оператор ряда Фурье , преобразующий периодические функции f : T → C в функции значениями которых являются коэффициенты Фурье
Неравенство Хаусдорфа – Юнга также может быть установлено для преобразования Фурье на локально компактных абелевых группах . Оценка нормы 1 не является оптимальной. См. Основную статью для ссылок.
Операторы свертки
Пусть f - фиксированная интегрируемая функция, а T - оператор свертки с f , т. Е. Для каждой функции g имеем Tg = f ∗ g .
Хорошо известно, что T ограничен от L 1 до L 1, и тривиально, что он ограничен от L ∞ до L ∞ (обе границы равны || f || 1 ). Следовательно, теорема Рисса – Торина дает
Мы берем это неравенство и меняем роли оператора и операнда, или, другими словами, мы думаем о S как об операторе свертки с g , и получаем, что S ограничена от L 1 до L p . Далее, поскольку g принадлежит L p, мы получаем, в силу неравенства Гёльдера, что S ограничено от L q до L ∞ , где снова1/п + 1/q= 1 . Таким образом, интерполируя, мы получаем
Преобразование Гильберта
Преобразование Гильберта из F : R → C задается
Из теоремы Планшереля следует, что преобразование Гильберта ограниченно отображает L 2 ( R ) в себя.
Тем не менее преобразование Гильберта не ограничено на L 1 ( R ) или L ∞ ( R ) , и поэтому мы не можем напрямую использовать интерполяционную теорему Рисса – Торина. Чтобы понять, почему у нас нет этих границ конечных точек, достаточно вычислить преобразование Гильберта простых функций 1 (−1,1) ( x ) и 1 (0,1) ( x ) - 1 (0,1) ( - х ) . Однако мы можем показать, что
Сравнение с реальным методом интерполяции
Хотя интерполяционная теорема Рисса – Торина и ее варианты являются мощными инструментами, дающими точную оценку норм интерполированных операторов, они страдают множеством недостатков: некоторые незначительные, некоторые более серьезные. Заметим сначала , что комплексно-аналитический характер доказательства теоремы интерполяции сил Рисса-Торина скалярное поле , чтобы быть C . Для функций с расширенными действительными значениями это ограничение можно обойти, переопределив функцию как конечную всюду - возможно, поскольку каждая интегрируемая функция должна быть конечной почти всюду. Более серьезным недостатком является то, что на практике многие операторы, такие как максимальный оператор Харди – Литтлвуда и операторы Кальдерона – Зигмунда , не имеют хороших оценок конечных точек. [7] В случае преобразования Гильберта в предыдущем разделе мы смогли обойти эту проблему, явно вычислив оценки нормы в нескольких промежуточных точках. Это громоздко и часто невозможно в более общих сценариях. Поскольку многие такие операторы удовлетворяют оценкам слабого типа
Теорема Митягина
Б. Митягин расширил теорему Рисса – Торина; это расширение сформулировано здесь в частном случае пространств последовательностей с безусловным базисом (см. ниже).
Предполагать:
потом
для любого безусловного банахова пространства последовательностей X , т. е. для любого и любой , .
Доказательство основано на теореме Крейна – Мильмана .
Смотрите также
- Интерполяционная теорема Марцинкевича
- Пространство интерполяции
Заметки
- ^ Stein и Weiss (1971) и Grafakos (2010) используют операторы на простых функциях, а Muscalu и Schlag (2013) используют операторы на общих плотных подмножествах пересечения L p 0 ∩ L p 1 . Напротив, Duoanddikoetxea (2001), Tao (2010) и Stein and Shakarchi (2011) используют формулировку набора сумм, которую мы применяем в этом разделе.
- Перейти ↑ Riesz (1927). Доказательство использует результаты теории билинейных форм о выпуклости. По этой причине многие классические ссылки, такие как Stein and Weiss (1971), называют интерполяционную теорему Рисса – Торина теоремой Рисса о выпуклости .
- ^ Торин (1948)
- ^ Тао, Терри (2008-08-25). «Трюки Wiki статьи: Тензор сила трюк» . Что нового . Упражнение перед примером 5 . Проверено 17 ноября 2020 .
- ^ Штейн (1956). Какуказывает Чарльз Фефферман в своем эссе в Fefferman, Fefferman, Wainger (1995), доказательство интерполяционной теоремы Штейна по сути является доказательством теоремы Рисса – Торина сдобавлениембуквы z к оператору. Чтобы компенсировать это, используется более сильная версия теоремы Адамара о трех линиях , разработанная Исидором Исааком Хиршманом-младшим для установления желаемых оценок. См. Подробное доказательство в Stein and Weiss (1971) и в блоге Tao с подробнымизложением теоремы.
- ^ Фефферман и Штейн (1972)
- ^ Элиас Стейн сказал, что интересные операторы в гармоническом анализе редко бывают ограниченными на L 1 и L ∞ .
Рекомендации
- Dunford, N .; Шварц, Дж. Т. (1958), Линейные операторы, части I и II , Wiley-Interscience.
- Фефферман, Чарльз; Штейн, Элиас М. (1972) "Пространства многих переменных», Acta Mathematica , 129 : 137-193, DOI : 10.1007 / bf02392215
- Глазман И.М.; Любич, Ю.И. (1974), Конечномерный линейный анализ: систематическое представление в форме задачи , Кембридж, Массачусетс: MIT Press. Перевод с русского под редакцией Г.П. Баркера и Г. Куэрти.
- Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, Руководство по ремонту 0717035.
- Митягин [Митягин] Б.С. (1965), "Об интерполяционной теореме для модулярных пространств ", Матем. Сб. , Новая серия, 66 (108): 473–482..
- Торин Г.О. (1948), "Теоремы выпуклости, обобщающие теоремы М. Рисса и Адамара с некоторыми приложениями", Comm. Сем. Математика. Univ. Лунд [Medd. Lunds Univ. Мат. Сем.] , 9 : 1–58, MR 0025529.
- Рисса, Марсель (1927), "Сур ле максимумов де Formes bilinéaires и др сюр ле fonctionnelles linéaires", Acta Mathematica , 49 (3-4): 465-497, DOI : 10.1007 / bf02564121
- Штейн, Элиас М. (1956), "Интерполяция линейных операторов", Trans. Амер. Математика. Soc. , 83 (2): 482-492, DOI : 10,1090 / s0002-9947-1956-0082586-0
- Stein, Elias M .; Шакарчи, Рами (2011), Функциональный анализ: Введение в дополнительные темы анализа , Princeton University Press
- Stein, Elias M .; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press
Внешние ссылки
- "Теорема о выпуклости Рисса" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]