В математике , то интерполяционная теорема Марцинкевича , обнаруженный Юзеф Марцинкевич ( 1939 ), является результатом , ограничивающий нормы нелинейных операторов , действующих на L р пространств .
Теорема Марцинкевича аналогична теореме Рисса – Торина о линейных операторах , но также применима к нелинейным операторам.
Предварительные мероприятия
Пусть f - измеримая функция с действительными или комплексными значениями, определенная на пространстве с мерой ( X , F , ω). Функция распределения по F определяется
Тогда f называется слабымесли существует постоянная C такая, что функция распределения f удовлетворяет следующему неравенству для всех t > 0:
Наименьшая константа C в приведенном выше неравенстве называется слабойнорма и обычно обозначается или же Аналогичным образом пространство обычно обозначается L 1, w или L 1, ∞ .
(Примечание: эта терминология немного вводит в заблуждение, поскольку слабая норма не удовлетворяет неравенству треугольника, как можно увидеть, рассматривая сумму функций на дано а также , который имеет норму 4, а не 2.)
Любой функция принадлежит L 1, w и, кроме того, выполняется неравенство
Это не что иное, как неравенство Маркова (также известное как неравенство Чебышева ). Обратное неверно. Например, функция 1 / x принадлежит L 1, w, но не принадлежит L 1 .
Аналогичным образом можно определить слабыйпространство как пространство всех функций f таких, чтопринадлежат L 1, w , а слабыенорма с использованием
Более конкретно, норма L p , w определяется как наилучшая константа C в неравенстве
для всех t > 0.
Формулировка
Неформально теорема Марцинкевича
- Теорема. Пусть T - линейный ограниченный оператор из к и в то же время из к . Тогда T также является ограниченным оператором из к для любого r между p и q .
Другими словами, даже если вам требуется только слабая ограниченность на крайних точках p и q , вы все равно получите регулярную ограниченность внутри. Чтобы сделать это более формальным, нужно объяснить, что T ограничено только на плотном подмножестве и может быть дополнено. См. Эти подробности в теореме Рисса-Торина .
Теорема Марцинкевича слабее теоремы Рисса-Торина в оценках нормы. Теорема дает оценки длянорма T, но эта граница увеличивается до бесконечности, когда r сходится либо к p, либо к q . В частности ( ДиБенедетто 2002 , теорема VIII.9.2), предположим, что
так что норма оператора из T из L р к L р , ш не превосходит N р , а оператор норме Т из L д к л д , ш , не превосходит N ц . Тогда для всех r между p и q и всех f ∈ L r выполняется следующее интерполяционное неравенство :
где
а также
Константы δ и γ можно также задать при q = ∞ предельным переходом.
Версия теоремы также верна в более общем смысле, если T предполагается только квазилинейным оператором в следующем смысле: существует константа C > 0 такая, что T удовлетворяет
почти для каждого x . Теорема верна в точности, как указано, за исключением замены γ на
Оператор T (возможно, квазилинейный), удовлетворяющий оценке вида
называется слабым типом ( p , q ) . Оператор имеет простой тип ( p , q ), если T - ограниченное преобразование из L p в L q :
Более общая формулировка интерполяционной теоремы выглядит следующим образом:
- Если T - квазилинейный оператор слабого типа ( p 0 , q 0 ) и слабого типа ( p 1 , q 1 ), где q 0 ≠ q 1 , то для каждого θ ∈ (0,1) T имеет тип ( p , q ) для p и q с p ≤ q вида
Последняя формулировка следует из первой посредством применения неравенства Гёльдера и аргумента двойственности. [ необходима цитата ]
Приложения и примеры
Известный пример приложения - преобразование Гильберта . Рассматриваемое как множитель , преобразование Гильберта функции f можно вычислить, сначала взяв преобразование Фурье функции f , затем умножив на знаковую функцию и, наконец, применив обратное преобразование Фурье .
Следовательно , теорема Парсеваля легко показывает, что преобразование Гильберта ограничено к . Гораздо менее очевидный факт заключается в том, что он ограничен к . Следовательно, теорема Марцинкевича показывает, что она ограничена к для любого 1 < p <2. Аргументы двойственности показывают, что он также ограничен при 2 < p <∞. Фактически, преобразование Гильберта действительно неограниченно при p, равном 1 или ∞.
Другой известный пример - максимальная функция Харди – Литтлвуда , которая является только сублинейным оператором, а не линейным. Пока к оценки могут быть получены непосредственно из ослаблять оценка с помощью умной замены переменных, интерполяция Марцинкевича является более интуитивным подходом. Поскольку максимальная функция Харди – Литтлвуда тривиально ограничена из к , сильная ограниченность для всех сразу следует из слабой (1,1) оценки и интерполяции. Слабая (1,1) оценка может быть получена из леммы Витали о покрытии .
История
Теорема была впервые объявлена Марцинкевичем (1939) , который показал этот результат Антонию Зигмунду незадолго до его смерти во Второй мировой войне. Теорема была почти забыта Зигмундом и отсутствовала в его оригинальных работах по теории сингулярных интегральных операторов . Позже Зигмунд (1956) понял, что результат Марцинкевича может значительно упростить его работу, и тогда он опубликовал теорему своего бывшего ученика вместе с собственным обобщением.
В 1964 году Ричард А. Хант и Гвидо Вайс опубликовали новое доказательство интерполяционной теоремы Марцинкевича. [1]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Хант, Ричард А .; Вайс, Гвидо (1964). «Интерполяционная теорема Марцинкевича» . Труды Американского математического общества . 15 (6): 996–998. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1964-0169038-4 . ISSN 0002-9939 .
- ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ , Биркхойзер, ISBN 3-7643-4231-5.
- Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил С. (2001), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка , Springer-Verlag, ISBN 3-540-41160-7 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- Marcinkiewicz, J. (1939), "Sur l'interpolation d'operations" , CR Acad. Sci. Париж , 208 : 1272–1273
- Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- Зигмунд, А. (1956), «Об одной теореме Марцинкевича относительно интерполяции операций», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 35 : 223–248, ISSN 0021-7824 , MR 0080887