Катушка Гельмгольца

Схема катушки Гельмгольца

Кольца Гельмгольц представляет собой устройство для изготовления области почти однородного магнитного поля , названной в честь немецкого физика Германа фон Гельмгольца . Он состоит из двух электромагнитов на одной оси. Помимо создания магнитных полей, катушки Гельмгольца также используются в научных приборах для подавления внешних магнитных полей, таких как магнитное поле Земли.

Пучок катодных лучей в вакуумной трубке, изогнутой в круг катушкой Гельмгольца

Описание [ править ]

Пара Гельмгольца состоит из двух одинаковых круглых магнитных катушек, которые расположены симметрично вдоль общей оси, по одной с каждой стороны экспериментальной зоны, и разделены расстоянием, равным радиусу катушки. Каждая катушка передает одинаковый электрический ток в одном направлении. ^[1] ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle R}$

Настройка , которая определяет пару Гельмгольца, минимизирует неоднородность поля в центре катушек, в смысле настройки ^[2] (что означает, что первая ненулевая производная описана ниже), но оставляет около 7% отклонения по напряженности поля между центром и плоскостями катушек. Немного большее значение уменьшает разницу в поле между центром и плоскостями катушек за счет ухудшения однородности поля в области около центра, как измерено с помощью . ^[3] ${\ displaystyle h = R}$ ${\ Displaystyle \ partial ^ {2} B / \ partial x ^ {2} = 0}$ ${\ Displaystyle \ partial ^ {4} B / \ partial x ^ {4}}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ Displaystyle \ partial ^ {2} B / \ partial x ^ {2}}$

В некоторых приложениях катушка Гельмгольца используется для нейтрализации магнитного поля Земли , создавая область с напряженностью магнитного поля, намного близкой к нулю. ^[4]

Математика [ править ]

Силовые линии магнитного поля в плоскости, разделяющей токовые петли пополам. Обратите внимание, что поле между парой катушек примерно однородно. (На этом рисунке катушки расположены одна рядом с другой: ось горизонтальна.)

Индукция магнитного поля вдоль оси, пересекающей центр катушек; z = 0 - точка посередине расстояния между витками

Контуры, показывающие величину магнитного поля около пары катушек, одна катушка находится вверху, а другая внизу. Внутри центрального «осьминога» поле находится в пределах 1% от его центрального значения B ₀ . Восемь контуров соответствуют величине поля 0,5 B ₀ , 0,8 B ₀ , 0,9 B ₀ , 0,95 B ₀ , 0,99 B ₀ , 1,01 B ₀ , 1,05 B ₀ и 1,1 B ₀ .

Расчет точного магнитного поля в любой точке пространства математически сложен и включает изучение функций Бесселя . В отношении оси пары катушек все проще, и удобно рассматривать разложение напряженности поля в ряд Тейлора как функцию расстояния от центральной точки пары катушек вдоль оси. По симметрии члены нечетного порядка в разложении равны нулю. Располагая катушки таким образом, чтобы начало координат было точкой перегиба напряженности поля, создаваемой каждой катушкой отдельно, можно гарантировать, что член порядка также равен нулю, и, следовательно, ведущий непостоянный член имеет порядок ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {4}}$ . Точка перегиба для простой катушки расположена вдоль оси катушки на некотором расстоянии от ее центра. Таким образом, места для двух катушек . ${\ displaystyle R / 2}$ ${\ Displaystyle х = \ pm R / 2}$

Приведенный ниже расчет дает точное значение магнитного поля в центральной точке. Если радиус равен R , количество витков в каждой катушке равно n, а ток через катушки равен I , то магнитное поле B в средней точке между катушками будет равно

{\ displaystyle B = {\ left ({\ frac {4} {5}} \ right)} ^ {3/2} {\ frac {\ mu _ {0} nI} {R}},}

где - проницаемость свободного пространства ( ) . ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$ $4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}$

Вывод [ править ]

Начнем с формулы для поля на оси из-за однопроводной петли, которая сама выводится из закона Био – Савара : ^[5]

B_{1}(x)={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}.

Здесь

\mu _{0}\;

= постоянная проницаемости =

4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},

I\;

= ток катушки, в амперах ,

R\;

= радиус рулона, в метрах,

x\;

= расстояние катушки по оси до точки в метрах.

Катушки Гельмгольца состоят из n витков провода, поэтому эквивалентный ток в однооборотной катушке в n раз больше тока I в n- витковой катушке. Подставляя Ni для I в приведенной выше формуле дает поле для п имеющих надпись катушки:

B_{1}(x)={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}.

В катушке Гельмгольца точка на полпути между двумя контурами имеет значение x, равное R / 2, поэтому рассчитайте напряженность поля в этой точке:

B_{1}\left({\frac {R}{2}}\right)={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2\left(R^{2}+\left({\frac {R}{2}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.

Также есть две катушки вместо одной (катушка выше находится в точке x = 0; есть вторая катушка в точке x = R ). Из-за симметрии напряженность поля в средней точке будет вдвое больше, чем значение одиночной катушки:

{\begin{aligned}B\left({\frac {R}{2}}\right)&=2B_{1}\left({\frac {R}{2}}\right)\\&={\frac {2\mu _{0}nIR^{2}}{2\left(R^{2}+\left({\frac {R}{2}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{\left(R^{2}+\left({\frac {R}{2}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}\\&={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{\left(R^{2}+{\frac {1}{4}}R^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{\left({\frac {5}{4}}R^{2}\right)^{3/2}}}\\&={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}\\&={\left({\frac {8}{5{\sqrt {5}}}}\right)}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}.\\\end{aligned}}

Изменяющееся во времени магнитное поле [ править ]

В большинстве катушек Гельмгольца используется постоянный (постоянный) ток для создания статического магнитного поля. Многие приложения и эксперименты требуют переменного магнитного поля. Эти приложения включают в себя тесты восприимчивости к магнитному полю, научные эксперименты и биомедицинские исследования (взаимодействие между магнитным полем и живой тканью). Требуемые магнитные поля обычно либо импульсные, либо непрерывные синусоидальные. Частотный диапазон магнитного поля может быть от почти постоянного (0 Гц) до многих килогерц или даже мегагерц (МГц). Драйвер катушки Гельмгольца переменного тока необходим для создания необходимого изменяющегося во времени магнитного поля. Драйвер усилителя формы сигнала должен быть способен выдавать высокий переменный ток для создания магнитного поля.

Напряжение и ток драйвера [ править ]

С помощью приведенного выше уравнения в разделе математики , чтобы вычислить ток катушки для требуемого магнитного поля, $B$ .

$I=\left({\frac {5}{4}}\right)^{3/2}\left({\frac {BR}{\mu _{0}n}}\right)$

где - проницаемость свободного пространства или $\mu _{0}$ $4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},$

$I\;$ = ток катушки, в амперах,

$R\;$ = радиус рулона, в метрах,

n = количество витков в каждой катушке.

Использование функционального генератора и драйвера усилителя сильноточного сигнала для генерации высокочастотного магнитного поля Гельмгольца

Затем рассчитайте необходимое напряжение усилителя драйвера катушки Гельмгольца: ^[6]

V=I{\sqrt {{\bigl [}\omega {\bigl (}L_{1}+L_{2}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}+{\bigl (}R_{1}+R_{2}{\bigr )}^{2}}}

куда

$I$ - пиковый ток,
$ω$ - угловая частота или $ω = 2 πf$ ,
$L 1$ и $L 2$ - индуктивности двух катушек Гельмгольца, а
$R 1$ и $R 2$ - сопротивления двух катушек.

Высокочастотный резонансный ряд [ править ]

Создать статическое магнитное поле относительно легко; сила поля пропорциональна току. Создать высокочастотное магнитное поле сложнее. Катушки представляют собой катушки индуктивности, и их сопротивление увеличивается пропорционально частоте. Для обеспечения такой же напряженности поля на удвоенной частоте требуется удвоенное напряжение на катушке. Вместо прямого возбуждения высокого напряжения на катушку можно использовать последовательный резонансный контур для обеспечения высокого напряжения. ^[7]Последовательный конденсатор добавлен последовательно с катушками. Емкость выбирается так, чтобы катушка резонировала на желаемой частоте. Остается только паразитное сопротивление катушек. Этот метод работает только на частотах, близких к резонансной частоте; для генерации поля на других частотах требуются другие конденсаторы. Резонансная частота катушки Гельмгольца и емкость конденсатора C приведены ниже. ^[6] $f_{0}$

f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {\left(L_{1}+L_{2}\right)C}}}}

C={\frac {1}{\left(2\pi f\right)^{2}\left(L_{1}+L_{2}\right)}}

Катушки Максвелла [ править ]

Катушки Гельмгольца (обручи) на трех перпендикулярных осях, используемые для подавления магнитного поля Земли внутри вакуумного резервуара в эксперименте с электронным пучком 1957 года.

Чтобы улучшить однородность поля в пространстве внутри катушек, можно добавить дополнительные катушки снаружи. Джеймс Клерк Максвелл показал в 1873 году , что треть большего диаметр катушки , расположенные посередине между двумя катушками Гельмгольца с расстоянием катушки увеличился с катушкой радиуса , чтобы можно уменьшить дисперсию поля на оси к нулю вплоть до шестой позиции производной. Иногда это называют катушкой Максвелла . $R$ ${\sqrt {3}}R$

См. Также [ править ]

Соленоид
Массив Хальбаха
Магнитная бутылка имеет такую же структуру , как и катушек Гельмгольца, но с магнитами отделены друг от друга так далее , что поле расширяется в середине, захвата заряженных частиц с расходящимися линиями поля. Если одна катушка перевернута, это создает ловушку с острым концом , которая также захватывает заряженные частицы. ^[8]
Катушки Гельмгольца были спроектированы и изготовлены для лаборатории по испытанию электромагнитных композитов Армейской исследовательской лаборатории в 1993 году для испытаний композитных материалов в низкочастотных магнитных полях. ^[9]

Ссылки [ править ]

^ Рамсден, Эдвард (2006). Датчики Холла: теория и приложения (2-е изд.). Амстердам: Elsevier / Newnes. п. 195. ISBN 978-0-75067934-3.
^ Гельмгольц Coil в единицах СГС архивации 24 марта 2012, в Wayback Machine
^ Электромагнетизм
^ "Магнитометр поля Земли: катушка Гельмгольца" Ричардом Вотизом 2004 г. Архивировано 28 июня 2007 г., в Archive.today
^ http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/mintage/curloo.html#c3
^ a b Ян, KC. «Высокочастотные катушки Гельмгольца генерируют магнитные поля» . EDN . Проверено 27 января 2016 .
^ "Высокочастотный резонанс электромагнитной катушки" . www.accelinstruments.com . Проверено 25 февраля 2016 .
^ http://radphys4.cu-tokyo.ac.jp/asacusa/wiki/index.php?Cusp%20trap
^ J, ДеТрой, Дэвид; Дж., Чейз, Рональд (ноябрь 1994 г.). «Расчет и измерение полей катушек Гельмгольца» . Cite journal requires |journal= (help)

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме катушек Гельмгольца .

Осевое поле идеальной катушки Гельмгольца.
Осевое поле реальной пары катушек Гельмгольца
Поля катушек Гельмгольца, автор Франц Крафт, Демонстрационный проект Вольфрама .
Кевин Кунс (2007) « Расчет магнитного поля внутри плазменной камеры» использует эллиптические интегралы и их производные для вычисления внеосевых полей из PBworks .
ДеТрой, Дэвид Дж .; Чейз, Рональд Дж. (Ноябрь 1994 г.), Расчет и измерение полей катушки Гельмгольца (PDF) , Лаборатория армейских исследований, ARL-TN-35
Магнитные поля катушек
http://physicsx.pr.erau.edu/HelmholtzCoils/

[1] Рамсден, Эдвард (2006). Датчики Холла: теория и приложения (2-е изд.). Амстердам: Elsevier / Newnes. п. 195. ISBN 978-0-75067934-3.

[2] Гельмгольц Coil в единицах СГС архивации 24 марта 2012, в Wayback Machine

[3] Электромагнетизм

[4] "Магнитометр поля Земли: катушка Гельмгольца" Ричардом Вотизом 2004 г. Архивировано 28 июня 2007 г., в Archive.today

[5] ttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/mintage/curloo.html#c3

[:0-6] Ян, KC. «Высокочастотные катушки Гельмгольца генерируют магнитные поля» . EDN . Проверено 27 января 2016 .

[7] "Высокочастотный резонанс электромагнитной катушки" . www.accelinstruments.com . Проверено 25 февраля 2016 .

[8] ttp://radphys4.cu-tokyo.ac.jp/asacusa/wiki/index.php?Cusp%20trap

[9] J, ДеТрой, Дэвид; Дж., Чейз, Рональд (ноябрь 1994 г.). «Расчет и измерение полей катушек Гельмгольца» . Cite journal requires |journal= (help)

[1]