Музыковедение обычно классифицирует гаммы как гемитонические или ангемитонические . Гемитонические гаммы содержат один или несколько полутонов , в то время как ангемитонические гаммы не содержат полутонов. Например, в традиционной японской музыке , то anhemitonic лет масштаб контрастируют с hemitonic в масштабе . [4] Самая простая и наиболее часто используемая шкала в мире - это атритоническая ангемитоническая «мажорная» пентатоническая шкала . Весь масштаб тона также anhemitonic.
Особый подкласс гемитонических чешуек - когемитонические чешуи. [6] Когемитонические гаммы содержат два или более полутона (что делает их полутонными), так что два или более полутона появляются последовательно в порядке гаммы. Например, венгерская минорная гамма в C включает F ♯ , G и A ♭ в этом порядке, с полутоном между F ♯ и G, а затем полутоном между G и A ♭ .
Анкогемитонические гаммы, напротив, либо не содержат полутонов (и, следовательно, являются ангемитоническими), либо содержат полутоны (будучи полутонами), где ни один из полутонов не появляется последовательно в порядке гаммы. [7] [ неудавшаяся проверка ] Некоторые авторы, однако, не включают ангемитонические шкалы в свое определение анкогемитонических шкал. Примеры анкогемитонических гамм многочисленны, так как анкогемитония предпочитается когемитонии в мировой музыке: диатоническая гамма , мелодический мажор / мелодический минор , венгерская мажорная гамма , гармоническая мажорная гамма , гармоническая минорная гамма и так называемая октатоническая шкала .
Гемитония также определяется количеством присутствующих полутонов. Негемитонические гаммы имеют только один полутон; дигемитонические гаммы имеют 2 полутона; тригемитоническая гамма имеет 3 полутона и т. д. Точно так же, как ангемитоническая гамма менее диссонансна, чем полутоновая шкала, ангемитоническая гамма менее диссонансна, чем дигемитоническая шкала.
Квалификация когемитонии по сравнению с анкогемитонией сочетается с мощностью полутонов, давая такие термины, как: дикогемитонический, трианкогемитонический и т. Д. Анкогемитоническая шкала менее диссонансна, чем когемитоническая шкала, поскольку количество их полутонов одинаково. В общем, количество полутонов более важно для восприятия диссонанса, чем соседство (или его отсутствие) любой их пары. Дополнительная смежность между полутонами (при наличии смежности) не обязательно увеличивает диссонанс, количество полутонов снова становится равным. [8]
В связи с этим полутон классификаций tritonic и atritonic весы. Тритоновые чешуйки содержат один или несколько тритонов , тогда как атритоновые чешуйки не содержат тритонов. Между полутонами и тритонами существует особая монотонная взаимосвязь, поскольку гаммы строятся путем проецирования, см. Ниже.
Гармоничное отношение всех этих категорий происходит из того, что полутоны и тритоны представляют собой самые серьезные диссонансы , и часто желательно их избегать. Чаще всего на планете используются негемитонические весы. Из оставшихся полутонных шкал наиболее часто используются анкогемитонические.
Количественная оценка гемитонии и ее связи с анкогемитонией [ править ]
Большая часть мировой музыки ангемитонична, возможно, на 90%. [9] Из этой другой полутоновой части, возможно, 90% негемитонические, преобладающие в аккордах только в 1 полутон, все из которых по определению являются анкогемитоническими. [9] Из оставшихся 10%, возможно, 90% - дигемитонические, с преобладанием аккордов не более 2 полутонов. То же самое и с аккордами в 3 полутона. [10] В обоих более поздних случаях, однако, существует явное предпочтение анкогемитонии, поскольку отсутствие смежности любых двух полутонов имеет большое значение для смягчения нарастающего диссонанса.
В следующей таблице представлены зависимости размера звучности (внизу слева) от количества полутонов (справа) плюс качество анкогемитонии (обозначено буквой A) по сравнению с когемитонией (обозначено буквой C). В общем, анкогемитонических комбинаций меньше для данного аккорда или размера звукоряда, но они используются гораздо чаще, так что их названия хорошо известны.
| Звучность | Полутон считается | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Заметки | Считать | 0 | 1 | 2 | 2А | 2C | 3 | 3А | 3C | > = 4 | > = 4А | > = 4C |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 6 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 19 | 10 | 8 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 43 год | 10 | 21 год | 11 | 4 | 7 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 66 | 3 | 20 | 30 | 15 | 15 | 12 | 0 | 12 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 80 | 1 | 5 | 26 год | 16 | 10 | 34 | 4 | 30 | 14 | 0 | 14 |
| 7 | 66 | 0 | 0 | 3 | 2 | 1 | 20 | 4 | 16 | 43 год | 0 | 43 год |
| 8 | 43 год | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 43 год | 1 | 42 |
| 9 | 19 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 19 | 0 | 19 |
| 10 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 | 6 |
| 11 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| ИТОГО | 351 | 30 | 55 | 71 | 37 | 34 | 67 | 8 | 59 | 128 | 1 | 127 |
Столбец «0» представляет собой наиболее часто используемые аккорды., [8] избегая интервалов M7 и хроматических 9-х и таких комбинаций 4-х, хроматических 5-х и 6-х для получения полутонов. Столбец 1 представляет аккорды, которые почти не используют гармонические ступени, которых избегает столбец «0». Столбец 2, однако, представляет звуки, которые гораздо труднее преодолеть. [8]
Столбец 0, строка 5 - полные, но приятные аккорды: 9-й, 6/9 и 9alt5 без номера 7. [11] Столбец «0», строка «6» - это уникальная цельная шкала тонов . [12] [ требуется проверка ] Столбец «2A», строка «7», местный минимум, относится к диатонической гамме и мелодическим мажорным / мелодическим минорным гаммам. [13] [ необходима проверка ] Анкогемитония, в частности, вероятно, сделала эти шкалы популярными. Столбец «2C», строка «7», еще один локальный минимум, относится к неаполитанской крупной шкале , которая является когемитонической и несколько менее распространенной, но все же достаточно популярной, чтобы носить название.[14] [необходима проверка ] Столбец «3A», строка «7», еще один локальный минимум, представляетвенгерскую мажорную шкалуи ее инволюцию, а такжегармоническую мажорную шкалуи инволюционнуюгармоническую минорную шкалутого же.[15][ требуется проверка ] Столбец «3A», строка «6», представляют собой гексатонические аналоги этих четырех известных шкал,[16][ требуется проверка ],одна из которых являетсярасширенной шкалой,[17][ требуется проверка ]и еще один аналогоктатонической шкалы- который сам появляется, одинокий и одинокий, в столбце "> = 4A". ряд «8». [18] [ проверка необходима ] Колонка "2A", строка "4", другой минимум, представляет несколько откровенно диссонирующие, но странно резонансные гармонические комбинации: ММ9 без каких - либо 5, 11 ♭ 9, dom13 ♭ 9 и М7 ♯ 11. [11]
Поскольку музыка имеет тенденцию к увеличению диссонанса в истории, возможно, когда-нибудь столбец 2 станет таким же приемлемым, как даже столбец 1, а столбец 3, наконец, займет место в гармонии мира.
Также обратите внимание, что в строке с наибольшей мощностью для каждого столбца перед началом конечных нулей счетчики звучности малы, за исключением строки «7» и столбцов «3» всех видов. Этот взрыв гемитонических возможностей, связанный с мощностью ноты 7 (и выше), возможно, отмечает нижнюю границу сущности, называемой «масштаб» (в отличие от «аккорд»).
Как показано в таблице, ангемитония - это свойство доменов примечательных наборов мощности от 2 до 6, в то время как анкогемитония - это свойство доменов примечательных наборов мощности с 4 по 8 (от 3 до 8 для неправильной анкогемитонии, включая негемитонию). Это помещает ангемитонию обычно в диапазон «аккордов», а анкогемитонию в целом в диапазон «гамм».
Пример: гемитония и тритония идеальной пятой проекции [ править ]
Взаимосвязь полутонов, тритонов и увеличения количества нот может быть продемонстрирована путем взятия пяти последовательных высот из круга квинт ; [19], начиная с C, это C, G, D, A и E. Транспонирование высоты звука в одну октаву перестраивает высоту звука в мажорную пентатонику : C, D, E, G, A. ангемитонический, без полутонов; он атритонический, не содержит тритонов.
| играть ( помощь · информация ) |
Кроме того, это максимальное количество нот, взятых последовательно из круга квинт, для которого еще можно избежать полутона. [20]
Добавление еще одной ноты из круга квинт дает основную гексатоническую гамму: CDEGA B. Эта гамма является полутоновой, с полутоном между B и C; он атритонический, не содержит тритонов. Кроме того, это максимальное количество нот, взятых последовательно из круга квинт, для которого еще можно избежать тритона. [21] [ неудачная проверка ]
Добавление еще одной ноты из круга квинт дает основную гептатоническую шкалу: CDEFGAB (когда квинта добавляется снизу тоники). Эта гамма строго анкогемитоническая, состоит из двух полутонов, но не последовательно; он тритонический, с тритоном между F и B. После этой точки в серии проекций новые интервалы не добавляются к интервальному векторному анализу шкалы [22], но возникает когемитония.
Добавление еще одной ноты из круга квинт дает основную октатоническую шкалу: CDEFF ♯ GAB (когда квинта добавляется сверху, это верхняя нота в серии - в данном случае B). Эта гамма когемитоническая, состоит из 3 полутонов вместе при EFF ♯ G, а также тритоническая. [22] [ неудачная проверка ]
Подобное поведение наблюдается во всех шкалах в целом, что большее количество нот в шкале кумулятивно приводит к добавлению диссонирующих интервалов (в частности: гемитония и тритония в произвольном порядке) и когемитонии, которой еще не было. Хотя также верно и то, что большее количество нот в шкале имеет тенденцию допускать больше и различные интервалы в векторе интервалов , можно сказать, что есть точка убывающей отдачи , если сравнивать с также увеличивающимся диссонансом, гемитонией, тритонией и когемитонией. [22] Именно рядом с этими точками лежат самые популярные весы.
Когемитоническая и гемитоническая шкалы [ править ]
Хотя когемитонические шкалы используются реже, чем анкогемитонические шкалы, они обладают интересным свойством. Последовательность двух (или более) последовательных полушагов в гамме дает возможность «разбить» гамму, поместив тоническую ноту гаммы в среднюю ноту полушага. Это позволяет ведущему тону снизу разрешаться вверх, а также нисходящему плоско-супертоническому верхнему соседу , которые сходятся на тонике. Раскол превращает слабость - диссонанс когемитонии - в силу: контрапунктическое сближение с тоником. Очень часто когемитоническая (или даже гемитоническая) гамма (например, венгерский минор {CDE ♭F ♯ GA ♭ B}) предпочтительно сместить в режим, в котором полушаговый диапазон разделен (например, двойная гармоническая шкала {GA ♭ BCDE ♭ F ♯ }), и под этим именем мы чаще называем ту же круговую серию интервалов. [23] Когемитонические гаммы с несколькими интервалами полушага представляют дополнительную возможность модуляции между тониками, каждая из которых снабжена как верхними, так и нижними соседями.
Режимы гептатонических шкал и система ключевой подписи [ править ]
Система ключевой подписи западной музыки основана на предположении о семи нотах семизначной шкалы , так что в действительной ключевой подписи никогда не бывает более семи случайностей. Глобальное предпочтение ангемитонических гамм сочетается с этой основой, чтобы выделить 6 анкогемитонических гептатонических гамм, [24] [ необходима проверка ], большинство из которых распространены в романтической музыке и из которых составлена большая часть романтической музыки:
- Диатоническая гамма
- Мелодический мажор / мелодический минор
- Венгерский мажор
- инволюция венгерского мажора
- Гармоническая мажорная гамма
- Гармонический минор .
Эти когемитонические шкалы встречаются реже:
- Двойная гармоническая мажорная шкала
- Неаполитанский крупный масштаб
- Неаполитанский минор
- Ионическая шкала ♭ 5
- Персидская шкала
- Локрийская шкала ♯ 7.
Придерживаясь определения гептатонических шкал, все они обладают 7 режимами каждый и подходят для использования при модальной мутации . [25] Они появляются в таблице выше в строке «7», столбцах «2A» и «3A».
Таблица ключевых подписей [ править ]
Ниже перечислены ключевые сигнатуры для всех возможных нетранспонированных режимов вышеупомянутых гептатонических гамм с использованием ноты C в качестве тоника.
| Базовая шкала | Случайности | Название режима |
|---|---|---|
| Диатонический | F ♯ | Лидийский |
| Диатонический | Ионический | |
| Диатонический | B ♭ | Миксолидийский |
| Диатонический | B ♭ , E ♭ | Дориан |
| Диатонический | B ♭ , E ♭ , A ♭ | Эолийский |
| Диатонический | B ♭ , E ♭ , A ♭ , D ♭ | Фригийский |
| Диатонический | B ♭ , E ♭ , A ♭ , D ♭ , G ♭ | Локрийский |
| Базовая шкала | Случайности | Название режима |
| Мелодичный | F ♯ , G ♯ | Lydian Augmented |
| Мелодичный | F ♯ , B ♭ | Акустический, лидийский доминанта |
| Мелодичный | E ♭ | Мелодический минор (по возрастанию), Джаз-минор |
| Мелодичный | B ♭ , A ♭ | Мелодический мажор (по убыванию), Эолийская доминанта, Миксолидийская музыка ♭ 13 |
| Мелодичный | B ♭ , E ♭ , D ♭ | Дориан ♭ 9 |
| Мелодичный | B ♭ , E ♭ , A ♭ , G ♭ | Half Diminished, Локрийский ♮ 2, Семилокрийский |
| Мелодичный | B ♭ , E ♭ , A ♭ , D ♭ , G ♭ , F ♭ | Суперлокрианский, измененный |
| Базовая шкала | Случайности | Название режима |
| Венгерский майор | F ♯ , G ♯ , E ♯ | Лидианское Дополненное ♯ 3 |
| Венгерский майор | F ♯ , D ♯ , B ♭ | Венгерский майор |
| Венгерский майор | G ♯ , E ♭ | Джаз минор ♯ 5 |
| Венгерский майор | F ♯ , B ♭ , E ♭ , D ♭ | Украинский Dorian ♭ 9 |
| Венгерский майор | E ♭ , A ♭ , G ♭ | Гармонический минор ♭ 5 |
| Венгерский майор | B ♭ , E ♭ , D ♭ , G ♭ , F ♭ | Измененный доминанта ♮ 6 |
| Венгерский майор | E ♭ , D ♭ , G ♭ , F ♭ , B , A | Ультралокриан 6 |
| Базовая шкала | Случайности | Название режима |
| инволюция венгерского мажора | F ♯ , G ♯ , D ♯ , E ♯ | Супер Лидийский дополненной ♮ 6 |
| инволюция венгерского мажора | F ♯ , G ♯ , E ♭ | Лидианское Дополненное ♭ 3 |
| инволюция венгерского мажора | F ♯ , B ♭ , D ♭ | Инволюция венгерского мажора |
| инволюция венгерского мажора | E ♭ , G ♭ | Джаз минор ♭ 5 |
| инволюция венгерского мажора | B ♭ , E ♭ , D ♭ , F ♭ | Дориан ♭ 9 ♭ 11 |
| инволюция венгерского мажора | E ♭ , A ♭ , G ♭ , B | Полукровский 7 |
| инволюция венгерского мажора | B ♭ , E ♭ , D ♭ , G ♭ , F ♭ , A | Измененный Доминант 6 |
| Базовая шкала | Случайности | Название режима |
| Гармонический мажор | F♯, G♯, D♯ | Lydian Augmented ♯2 |
| Harmonic major | F♯, E♭ | Lydian Diminished |
| Harmonic major | A♭ | Harmonic Major |
| Harmonic major | B♭, D♭ | Phrygian Dominant ♮6 |
| Harmonic major | B♭, E♭, G♭ | Diminished Dorian |
| Harmonic major | B♭, E♭, A♭, D♭, F♭ | Superphrygian |
| Harmonic major | E♭, A♭, D♭, G♭, B | Locrian Diminished |
| Base scale | Accidentals | Mode name |
| Harmonic minor | F♯, D♯ | Lydian ♯2 |
| Harmonic minor | G♯ | Ionian Augmented |
| Harmonic minor | F♯, B♭, E♭ | Ukrainian Dorian |
| Harmonic minor | E♭, A♭ | Harmonic Minor |
| Harmonic minor | B♭, A♭, D♭ | Phrygian Dominant |
| Harmonic minor | B♭, E♭, D♭, G♭ | Locrian ♮6 |
| Harmonic minor | E♭, A♭, D♭, G♭, F♭, B | Ultralocrian |
| Base scale | Accidentals | Mode name |
| Hungarian minor | F♯, D♯, A♯ | Lydian ♯2 ♯6 |
| Hungarian minor | G♯, D♯ | Ionian Augmented ♯2 |
| Hungarian minor | F♯, E♭, A♭ | Hungarian Minor |
| Hungarian minor | A♭, D♭ | Double harmonic |
| Hungarian minor | B♭, D♭, G♭ | Oriental |
| Hungarian minor | E♭, A♭, D♭, F♭, B | Ultraphrygian |
| Hungarian minor | A♭, D♭, G♭, B, E | Locrian Diminished 3 |
| Base scale | Accidentals | Mode name |
| Neapolitan major | F♯, G♯, A♯ | Leading Whole-Tone |
| Neapolitan major | F♯, G♯, B♭ | Lydian Augmented Dominant |
| Neapolitan major | F♯, B♭, A♭ | Lydian Minor |
| Neapolitan major | E♭, D♭ | Neapolitan Major |
| Neapolitan major | B♭, A♭, G♭ | Locrian Major |
| Neapolitan major | B♭, E♭, A♭, G♭, F♭ | Altered ♮2 |
| Neapolitan major | B♭, A♭, D♭, G♭, F♭, E | Altered 3 |
| Base scale | Accidentals | Mode name |
| Neapolitan minor | F♯, A♯ | Lydian ♯6 |
| Neapolitan minor | D♯ | Ionian ♯2 |
| Neapolitan minor | G♯, B♭ | Mixoydian Augmented |
| Neapolitan minor | F♯, B♭, E♭, A♭ | Hungarian Gypsy |
| Neapolitan minor | E♭, A♭, D♭ | Neapolitan Minor |
| Neapolitan minor | B♭, A♭, D♭, G♭ | Locrian Dominant |
| Neapolitan minor | A♭, D♭, G♭, F♭, B, E | Ultralocrian 3 |
| Base scale | Accidentals | Mode name |
| Ionian ♭5 | F♯, G♯, D♯, A♯, E♯ | Super Lydian Augmented |
| Ionian ♭5 | F♯, D♭ | Lydian ♭2 |
| Ionian ♭5 | G♭ | Ionian ♭5 |
| Ionian ♭5 | B♭, E♭, F♭ | Dorian ♭4 |
| Ionian ♭5 | E♭, A♭, B | Aeolian 7 |
| Ionian ♭5 | B♭, A♭, D♭, E | Phrygian 3 |
| Ionian ♭5 | B♭, E♭, D♭, G♭, A | Locrian 6 |
| Base scale | Accidentals | Mode name |
| Persian | F♯, A♯, E♯ | Lydian ♯6 ♯3 |
| Persian | D♯, A♯ | Ionian ♯2 ♯6 |
| Persian | G♯, D♯, B♭ | Mixolydian Augmented ♯2 |
| Persian | F♯, E♭, A♭, D♭ | Neapolitan Minor ♯4 |
| Persian | A♭, D♭, G♭ | Persian |
| Persian | A♭, D♭, G♭, B, E | Ultraphrygian 3 |
| Persian | D♭, G♭, B, E, A | Altered Altered ♮4 |
| Base scale | Accidentals | Mode name |
| Locrian ♮7 | F♯, E♯ | Lydian ♯3 |
| Locrian ♮7 | A♯ | Ionian ♯6 |
| Locrian ♮7 | D♯, B♭ | Mixolydian ♯2 |
| Locrian ♮7 | G♯, B♭, E♭ | Dorian Augmented |
| Locrian ♮7 | F♯, B♭, E♭, A♭, D♭ | Phrygian ♯4 |
| Locrian ♮7 | E♭, A♭, D♭, G♭ | Locrian ♮7 |
| Locrian ♮7 | D♭, G♭, F♭, B, E, A | Altered Altered |
Common citation in theories[edit]
- Dimitri Tymoczko, in A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (ISBN 978-0195336672), includes hemitonia in calculation formulas for contrapuntal smoothness and harmonic force transfer.
- Brett Willmott, in Mel Bays Complete Book of Harmony Theory and Voicing (ISBN 978-1562229948), restricts the scope of his guitar chord voicing to ancohemitonic tetrads.
- Michael Keith, in From Polychords to Polya : Adventures in Musical Combinatorics (ISBN 978-0963009708), draws his list of basic harmonies as anhemitonic sonorities.
Miscellanea[edit]
- All heptatonic and larger scales are hemitonic (ditonic or better) and tritonic.[24][verification needed] All pitch class sets of seven notes contain 1-3 tritones and 3-6 semitones, as can be seen in their interval vectors on List of pitch-class sets.
- All octatonic scales save one ("the octatonic" or Diminished scale) are cohemitonic.[24][verification needed]
- All enneatonic and larger scales are cohemitonic.[24][verification needed]
- All sonorities with 5 or more semitones are cohemitonic.[24][verification needed]
- The set complement of a cohemitonic scale is often an ancohemitonic scale, and vice versa.
- Unhemitonic scales never have more than 6 notes, and are always ancohemitonic.[verification needed]
- Dihemitonic and trihemitonic scales never have more than 7 notes.[24][verification needed]
- Tetrahemitonic and pentahemitonic scales never have more than 8 notes.[24][verification needed]
- Hexahemitonic and heptahemitonic scales never have more than 9 notes.[24][verification needed]
- Octahemitonic and enneahemitonic scales never have more than 10 notes.[24][verification needed]
- There is no 12ET scale with exactly 11 halfsteps.[24][verification needed]
References[edit]
- ^ Susan Miyo Asai (1999). Nōmai Dance Drama, p. 126. ISBN 978-0-313-30698-3.
- ^ Minoru Miki, Marty Regan, Philip Flavin (2008). Composing for Japanese instruments, p. 2. ISBN 978-1-58046-273-0.
- ^ Titon, Jeff Todd (1996). Worlds of Music: An Introduction to the Music of the World's Peoples, p. 373. ISBN 0-02-872612-X.
- ^ Anon. (2001) "Ditonus", The New Grove Dictionary of Music and Musicians, second edition, edited by Stanley Sadie and John Tyrrell. London: Macmillan Publishers; Bence Szabolcsi (1943), "Five-Tone Scales and Civilization", Acta Musicologica 15, Fasc. 1/4 (January–December): pp. 24–34, citation on p. 25.
- ^ Kahan, Sylvia (2009). In Search of New Scales, p. 39. ISBN 978-1-58046-305-8. Cites Liszt. Des Bohémians, p. 301.
- ^ Christ, William (1966). Materials and Structure of Music, v.1, p. 39. Englewood Cliffs: Prentice–Hall. LOC 66-14354.
- ^ Tymoczko, Dmitri (1997). "The Consecutive-Semitone Constraint on Scalar Structure: A Link between Impressionism and Jazz", Intégral, v.11, (1997), p. 135-179.
- ^ a b c Keith, Michael. 1991. From Polychords to Polya : Adventures in Musical Combinatorics, p. 45. Princeton: Vinculum Press. ISBN 978-0963009708.
- ^ a b Keith, Michael. 1991. From Polychords to Polya : Adventures in Musical Combinatorics, p. 43. Princeton: Vinculum Press. ISBN 978-0963009708.
- ^ Keith, Michael. 1991. From Polychords to Polya : Adventures in Musical Combinatorics, p. 48-49. Princeton: Vinculum Press. ISBN 978-0963009708.
- ^ a b Wilmott, Brett. (1994) Mel Bays Complete Book of Harmony Theory and Voicing, p.210. Pacific, Missouri: Mel Bay. ISBN 978-1562229948.
- ^ Hanson, Howard. (1960) Harmonic Materials of Modern Music, p.367. New York: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
- ^ Hanson, Howard. (1960) Harmonic Materials of Modern Music, p.362-363. New York: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
- ^ Hanson, Howard. (1960) Harmonic Materials of Modern Music, p.363. New York: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
- ^ Hanson, Howard. (1960) Harmonic Materials of Modern Music, p.364. New York: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
- ^ Hanson, Howard. (1960) Harmonic Materials of Modern Music, p.369. New York: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
- ^ Hanson, Howard. (1960) Harmonic Materials of Modern Music, p.368. New York: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
- ^ Hanson, Howard. (1960) Harmonic Materials of Modern Music, p.360. New York: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
- ^ Cooper, Paul. 1973. Perspectives in Music Theory: An Historical-Analytical Approach, p. 18. New York: Dodd, Mead. ISBN 0-396-06752-2.
- ^ Hanson, Howard. (1960) Harmonic Materials of Modern Music, p.29. New York: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138. "The hexad [consisting of perfect fifths] adds B, C-G-D-A-E-B, or melodically, producing C-D-E-F-G-A-B, its components being five perfect fifths, four major seconds, three minor thirds, two major thirds, and--for the first time--the dissonant minor second (or major seventh), p5m2n3s4d."
- ^ Hanson, Howard. (1960) Harmonic Materials of Modern Music, p.40. New York: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
- ^ a b c Hanson, Howard. (1960) Harmonic Materials of Modern Music, p. 33. New York: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138. "When the projection [of the perfect fifth] is carried beyond seven tones, no new intervals can be added." "On the other hand, as sonorities are projected beyond the six-tone series they tend to lose their individuality. All seven-tone series, for example, contain all of the six basic intervals, and difference in their proportion decreases as additional tones are added....Such patterns tend to lose their identity, producing a monochromatic effect with its accompanying lack of the essential element of contrast."
- ^ Schillinger, Joseph. (1941) The Schillinger System of Musical Composition, v.1, p. 113ff. New York: Carl Fischer. ISBN 0306775212.
- ^ a b c d e f g h i j Hanson, Howard. (1960) Harmonic Materials of Modern Music, p. 362ff. New York: Appleton-Century-Crofts. LOC 58-8138.
- ^ Christ, William (1966). Materials and Structure of Music, v.1, p. 45. Englewood Cliffs: Prentice-Hall. LOC 66-14354.
