В математике , то локальная функция Гойна Hℓ (а, д; α, β, γ, δ; г) ( Карл LW Гойна 1889 ) является решением дифференциального уравнения Гойно , голоморфные и 1 в особой точке г = 0 . Локальная функция Гойна называется функцией Гойна и обозначается Hf , если она также регулярна в точке z = 1, и называется многочленом Гойна , обозначаемым Hp , если она регулярна во всех трех конечных особых точках z = 0, 1, а .
Уравнение Гойна
Уравнение Гойна представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка вида
Условие необходимо для обеспечения регулярности точки в ∞.
Комплексное число q называется дополнительным параметром . Уравнение Хойна имеет четыре регулярные особые точки : 0, 1, a и ∞ с показателями (0, 1 - γ), (0, 1 - δ), (0, 1 - ϵ) и (α, β). Каждое линейное ОДУ второго порядка на расширенной комплексной плоскости с не более чем четырьмя регулярными особыми точками, такое как уравнение Ламе или гипергеометрическое дифференциальное уравнение , можно преобразовать в это уравнение заменой переменной.
Слияние различных регулярных особенностей уравнения Гойна в нерегулярные особенности приводит к возникновению нескольких конфлюэнтных форм уравнения, как показано в таблице ниже.
Формы уравнения Гойна [1] Форма Особенности Уравнение Общий 0, 1, а , ∞ Сливаться 0, 1, ∞ (нерегулярный, ранг 1) Дважды сливающиеся 0 (неправильный, ранг 1), ∞ (неправильный, ранг 1) Биконфлюэнтный 0, ∞ (нерегулярный, ранг 2) Триконфлюэнтный ∞ (нерегулярный, ранг 3)
q-аналог
Д-аналог уравнения Гойны был обнаружен Hahn ( 1971 ) и изучены Takemura (2017 г.) .
Симметрии
Уравнение Хойно имеет группу симметрий порядка 192, изоморфной группу Кокстера на диаграмму Кокстер D 4 , аналогичен 24 симметрий гипергеометрических дифференциальных уравнений , полученных Куммер. Симметрии, фиксирующие локальную функцию Гойна, образуют группу порядка 24, изоморфную симметрической группе в 4 точках, так что существует 192/24 = 8 = 2 × 4 существенно различных решений, задаваемых действием этих симметрий на локальную функцию Гойна, которые дать решения для каждого из 2 показателей для каждой из 4 особых точек. Полный список из 192 симметрий был дан Майером (2007) с помощью машинного расчета. Несколько предыдущих попыток различных авторов перечислить их вручную содержали много ошибок и упущений; например, большинство из 48 локальных решений, перечисленных Heun, содержат серьезные ошибки.
Смотрите также
- Многочлены Гейне – Стилтьеса , обобщение многочленов Гойна.
Рекомендации
- A. Erdélyi, F. Oberhettinger, W. Magnus и F. Tricomi Высшие трансцендентные функции vol. 3 (Макгроу Хилл, Нью-Йорк, 1953).
- Форсайт, Эндрю Рассел (1959) [1906], Теория дифференциальных уравнений. 4. Обыкновенные линейные уравнения , Нью-Йорк: Dover Publications , p. 158, Руководство по ремонту 0123757
- Гойна, Карл (1889 г.), "Zur Теорье дер Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung мит Vier Verzweigungspunkten" , Mathematische Annalen , 33 (2): 161, DOI : 10.1007 / bf01443849 , S2CID 120008459
- Майер, Роберт С. (2007), «192 решения уравнения Хойна», « Математика вычислений» , 76 (258): 811–843, arXiv : math / 0408317 , Bibcode : 2007MaCom..76..811M , doi : 10.1090 / S0025-5718-06-01939-9 , Руководство по ремонту 2291838 , S2CID 749861
- Ронво, А., изд. (1995), дифференциальные уравнения Хойна , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859695-0, Руководство по ремонту 1392976
- Sleeman, BD; Кузнецов, В.Б. (2010), «Функции Гойна» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Валент, Гальяно (2007), "Функции Гойна против эллиптических функций", Разностные уравнения, специальные функции и ортогональные многочлены , World Sci. Publ., Hackensack, NJ, pp. 664–686, arXiv : math-ph / 0512006 , doi : 10.1142 / 9789812770752_0057 , ISBN 978-981-270-643-0, Руководство по ремонту 2451210 , S2CID 8520520
- Хан У. (1971) О линейно-геометрических разностных уравнениях с дополнительными параметрами. Эквац., 14, 73–78
- Такемура, К. (2017), «Вырождение оператора Руйсенаарса – ван Дайена и q-уравнений Пенлеве», Журнал интегрируемых систем , 2 (1), arXiv : 1608.07265 , doi : 10.1093 / integr / xyx008.