Очки Хофштадтера

В треугольной геометрии , А точка Хофштадтер особая точка , связанная с каждой плоскостью треугольника . На самом деле с треугольником связано несколько точек Хофштадтера. Все они - центры треугольников . Два из них, Хофштадтер нулевой точки и Хофштадтер одна точка , особенно интересны. ^[1] Это два трансцендентных треугольных центра . Хофштадтер нулевой точкой является центр обозначается как X (360) и Hofstafter одной точки центра обозначается как X (359) в Clark Kimberling «s Энциклопедии Triangle центров. Нулевая точка Хофштадтера была открыта Дугласом Хофштадтером в 1992 году ^[1].

Треугольники Хофштадтера [ править ]

Пусть ABC - заданный треугольник. Пусть r - положительная действительная постоянная.

Поверните отрезок BC вокруг B на угол rB к A и пусть L _BC будет отрезком, содержащим этот отрезок. Далее повернуть отрезок линии BC о С на угол Rc в направлении A . Пусть L ' _BC - прямая, содержащая этот отрезок. Пусть прямые L _BC и L ' _BC пересекаются в точке A ( r ). Аналогично точки B ( r ) и C ( r) построены. Треугольник с вершинами A ( r ), B ( r ), C ( r ) является r -треугольником Хофштадтера (или r- треугольником Хофштадтера) треугольника ABC . ^{[2] [1]}

Особый случай [ править ]

• Хофштадтер 1/3-треугольник треугольник ABC является первым треугольником Морел треугольник ABC . Треугольник Морли всегда равносторонний .
• 1/2 треугольника Хофштадтера - это просто центр треугольника.

Трехлинейные координаты вершин треугольников Хофштадтера [ править ]

Трилинейные координаты вершин r -треугольника Хофштадтера приведены ниже:

A ( r ) = (1, sin rB / sin (1 - r ) B , sin rC / sin (1 - r ) C )

B ( r ) = (sin rA / sin (1 - r ) A , 1, sin rC / sin (1 - r ) C )

C ( r ) = (sin rA / sin (1 - r ) A , sin (1 - r ) B / sin rB , 1)

Очки Хофштадтера [ править ]

Анимация, показывающая различные точки Хофштадтера. H ₀ - нулевая точка Хофштадтера. H ₁ - это одноточечная система Хофштадтера. Маленькая красная дуга в центре треугольника - геометрическое место r- точек Хофштадтера при 0 < r <1. Это геометрическое место проходит через центр I треугольника.

Для положительной вещественной константы r > 0 пусть A ( r ) B ( r ) C ( r ) будет r -треугольником Хофштадтера треугольника ABC . Тогда прямые AA ( r ), BB ( r ), CC ( r ) параллельны. ^[3] Точка совпадения - это r- точка Хофстдтера треугольника ABC .

Трилинейные координаты Хофштадтер г точечного [ править ]

Ниже приведены трехлинейные координаты r-точки Хофштадтера .

(sin rA / sin ( A - rA ), sin rB / sin ( B - rB ), sin rC / sin ( C - rC ))

Hofstadter с нулевым и одним баллом [ править ]

Трилинейные координаты этих точек не могут быть получены путем подстановки значений 0 и 1 для r в выражения для трилинейных координат для r- точки Хофстдтера .

Нулевая точка Хофштадтера - это предел r -точки Хофштадтера, когда r приближается к нулю.

Одна точка Хофштадтера - это предел r -точки Хофштадтера, когда r приближается к единице.

Трилинейные координаты нулевой точки Хофштадтера

= lim _{r → 0} (sin rA / sin ( A - rA ), sin rB / sin ( B - rB ), sin rC / sin ( C - rC ))

= lim _{r → 0} (sin rA / r sin ( A - rA ), sin rB / r sin ( B - rB ), sin rC / r sin ( C - rC ))

= lim _{r → 0} ( A sin rA / rA sin ( A - rA ), B sin rB / rB sin ( B - rB ), C sin rC / rC sin ( C - rC ))

= ( A / sin A , B / sin B , C / sin C )), поскольку lim _{r → 0} sin rA / rA = 1 и т. Д.

= ( A / a , B / b , C / c )

Трехлинейные координаты одной точки Хофштадтера

= lim _{r → 1} (sin rA / sin ( A - rA ), sin rB / sin ( B - rB ), sin rC / sin ( C - rC ))

= lim _{r → 1} ((1 - r ) sin rA / sin ( A - rA ), (1 - r ) sin rB / sin ( B - rB ), (1 - r ) sin rC / sin ( C - rC ) )

= lim _{r → 1} ((1 - r ) A sin rA / A sin ( A - rA ), (1 - r ) B sin rB / B sin ( B - rB ), (1 - r ) C sin rC / C грех ( C - rC ))

= (sin A / A , sin B / B , sin C / C )) при lim _{r → 1} (1 - r ) A / sin ( A - rA ) = 1 и т. д.

= ( a / A , b / B , c / C )

Ссылки [ править ]