Метод голоморфного вложения нагрузки-потока ( HELM ) [примечание 1] - это метод решения уравнений потока мощности в электроэнергетических системах. Его основные особенности заключаются в том, что он является прямым (то есть неитеративным) и что он математически гарантирует последовательный выбор правильной оперативной ветви многозначной задачи, а также сигнализирует о состоянии коллапса напряжения, когда нет решения. Эти свойства важны не только для надежности существующих автономных приложений и приложений реального времени, но также потому, что они позволяют использовать новые типы аналитических инструментов, которые невозможно построить с помощью существующих итеративных методов распределения нагрузки (из-за их проблем сходимости). . Примером этого может бытьинструменты поддержки принятия решений, предоставляющие проверенные планы действий в режиме реального времени.
Алгоритм потока нагрузки HELM был изобретен Антонио Триасом и получил два патента США. [1] [2] Подробное описание было представлено на Общем собрании IEEE PES 2012 и впоследствии опубликовано. [3] Метод основан на передовых концепциях и результатах комплексного анализа , таких как голоморфность , теория алгебраических кривых и аналитическое продолжение . Однако численная реализация довольно проста, поскольку использует стандартную линейную алгебру и приближение Паде . Кроме того, поскольку ограничивающая часть вычислений - это факторизация матрицы проводимости, и это делается только один раз, ее производительность конкурентоспособна с установленными быстро развязанными потоками нагрузки. В настоящее время этот метод реализован в промышленных приложениях реального времени и автономных упакованных EMS- приложениях.
Задний план
Нагрузки потока расчет является одним из самых основных компонентов анализа энергетических систем и является основой для почти всех других инструментов , используемых в моделировании системы питания и управления . Уравнения нагрузки-расхода можно записать в следующем общем виде:
( 1 )
где заданными (комплексными) параметрами являются матрица полной проводимости Y ik , шунтирующая проводимость шины Y i sh и ввод мощности шины S i, представляющий нагрузки и генераторы постоянной мощности.
Для решения этой нелинейной системы алгебраических уравнений, традиционные алгоритмы нагрузки потока были разработаны на основе трех итерационных методов: по методу Гаусса-Зайделя , [4] , который имеет плохие свойства сходимости , но очень мало требований к памяти и прост в реализации; полный метод Ньютона – Рафсона [5], который обладает свойствами быстрой (квадратичной) итерационной сходимости, но требует больших вычислительных ресурсов; и метод Fast Decoupled Load-Flow (FDLF) [6], который основан на методе Ньютона – Рафсона, но значительно снижает его вычислительные затраты за счет приближения развязки, применимого в большинстве сетей передачи. Существует много других дополнительных улучшений; однако лежащая в их основе техника по-прежнему представляет собой итеративный решатель либо типа Гаусса-Зейделя, либо типа Ньютона. У всех итерационных схем этого типа есть две фундаментальные проблемы. С одной стороны, нет гарантии, что итерация всегда будет сходиться к решению; с другой стороны, поскольку система имеет несколько решений, [примечание 2] невозможно контролировать, какое решение будет выбрано. По мере приближения энергосистемы к точке коллапса напряжения ложные решения становятся все ближе к правильным, и итерационная схема может быть легко привлечена к одному из них из-за явления фракталов Ньютона: когда метод Ньютона применяется к сложным функциям, бассейны притяжения для различных решений демонстрируют фрактальное поведение. [примечание 3] В результате, независимо от того, насколько близка выбранная начальная точка итераций (начальная точка) к правильному решению, всегда есть ненулевой шанс отклониться от другого решения. Эти фундаментальные проблемы итеративных потоков загрузки подробно задокументированы. [7] Простая иллюстрация модели с двумя шинами приведена в [8]. Хотя существуют методы гомотопического продолжения , которые в некоторой степени решают проблему, [9] фрактальная природа бассейнов притяжения не позволяет использовать 100% надежный метод для все электрические сценарии.
Ключевым отличительным преимуществом HELM является то, что он полностью детерминирован и недвусмысленен: он гарантирует, что решение всегда соответствует правильному оперативному решению, если оно существует; и он сигнализирует об отсутствии решения, когда условия таковы, что решения нет (коллапс напряжения). Кроме того, этот метод конкурентоспособен с методом FDNR с точки зрения вычислительных затрат. Он обеспечивает надежное математическое рассмотрение проблемы потока-нагрузки, которое дает новое понимание, ранее недоступное с помощью итерационных численных методов.
Методология и приложения
HELM основан на строгой математической теории, и в практическом плане ее можно резюмировать следующим образом:
- Определите конкретное (голоморфное) вложение для уравнений в терминах комплексного параметра s так , чтобы при s = 0 система имела очевидное правильное решение, а при s = 1 восстанавливалась исходная проблема.
- Учитывая это голоморфное вложение, теперь можно однозначно вычислить степенной ряд для напряжений как аналитических функций от s . Правильное решение для потока нагрузки при s = 1 будет получено путем аналитического продолжения известного правильного решения при s = 0 .
- Выполните аналитическое продолжение, используя алгебраические аппроксимации, которые в этом случае гарантированно сходятся к решению, если оно существует, или не сходятся, если решение не существует (коллапс напряжения).
HELM обеспечивает решение давней проблемы всех итерационных методов распределения нагрузки, а именно ненадежности итераций в поиске правильного решения (или любого решения вообще).
Это делает HELM особенно подходящим для приложений реального времени и обязательным для любого программного обеспечения EMS, основанного на исследовательских алгоритмах, таких как анализ непредвиденных обстоятельств, а также в аварийных и аварийных условиях, устранение нарушений эксплуатационных пределов и восстановление с указанием планов действий.
Голоморфное вложение
В целях обсуждения мы опустим обработку элементов управления, но этот метод может поддерживать все типы элементов управления. Для уравнений связи, налагаемых этими управлениями, также должно быть определено соответствующее голоморфное вложение.
В методе используется техника встраивания с помощью комплексного параметра s . Первый ключевой ингредиент метода состоит в том, чтобы требовать, чтобы вложение было голоморфным, то есть чтобы система уравнений для напряжений V превращалась в систему уравнений для функций V (s) таким образом, чтобы новая система определяла V (s) как голоморфные функции (т. е. комплексные аналитические) новой комплексной переменной s . Цель состоит в том, чтобы иметь возможность использовать процесс аналитического продолжения, который позволит вычислить V (s) при s = 1 . Рассматривая уравнения ( 1 ), необходимым условием голоморфности вложения является то, что V * заменяется при вложении на V * (s * ) , а не на V * (s) . Это связано с тем, что само комплексное сопряжение не является голоморфной функцией. С другой стороны, легко увидеть, что замена V * (s * ) действительно позволяет уравнениям определять голоморфную функцию V (s) . Однако для данного произвольного вложения остается доказать, что V (s) действительно голоморфен. Принимая во внимание все эти соображения, предлагается вложение такого типа:
( 1 )
При таком выборе при s = 0 члены в правой части становятся равными нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю), это соответствует случаю, когда все инъекции равны нулю, и этот случай имеет хорошо известное и простое рабочее решение: все напряжения равны, а все интенсивности потока равны нулю. Следовательно, этот выбор для встраивания обеспечивает при s = 0 хорошо известное рабочее решение.
Теперь, используя классические методы исключения переменных в полиномиальных системах [10] (результаты теории Результатов и базиса Грёбнера можно доказать, что уравнения ( 1 ) действительно определяют V (s) как голоморфные функции. Что более важно, они определяют V (s) как алгебраические кривые . Именно этот конкретный факт, который становится истинным, поскольку вложение голоморфно, гарантирует единственность результата. Решение при s = 0 однозначно определяет решение всюду (кроме конечного числа разрезов ветвей) , тем самым избавляясь от многозначности задачи потока нагрузки.
Методика получения коэффициентов разложения в степенной ряд (при s = 0 ) напряжений V довольно проста, если понять, что уравнения ( 2 ) можно использовать для получения их порядок за порядком. Рассмотрим расширение степенного ряда для а также . Подставляя в уравнения ( 1 ) и определяя члены в каждом порядке в s n , получаем:
( 2 )
Тогда несложно решить последовательность линейных систем ( 2 ) последовательно порядок за порядком, начиная с n = 0 . Обратите внимание, что коэффициенты разложений для V и 1 / V связаны простыми формулами свертки, полученными из следующего тождества:
( 3 )
так что правую часть в ( 2 ) всегда можно вычислить из решения системы в предыдущем порядке. Также обратите внимание на то, как работает процедура, решая только линейные системы , в которых матрица остается постоянной.
Более подробное обсуждение этой процедуры предлагается в работе. [3]
Аналитическое продолжение
После того, как степенные ряды при s = 0 вычислены в желаемом порядке, задача их вычисления при s = 1 становится одной из аналитических продолжений . Следует особо отметить, что это не имеет ничего общего с техникой гомотопического продолжения . Гомотопия мощна, поскольку использует только концепцию непрерывности и, таким образом, применима к общим гладким нелинейным системам, но, с другой стороны, она не всегда обеспечивает надежный метод аппроксимации функций (поскольку она основана на итерационных схемах, таких как Ньютон-Рафсон).
Можно доказать [11], что алгебраические кривые являются полными глобальными аналитическими функциями , то есть знание разложения в степенной ряд в одной точке (так называемый росток функции) однозначно определяет функцию всюду на комплексной плоскости, кроме конечное число срезов ветвей . Теорема Шталя об экстремальной области [12] далее утверждает, что существует максимальная область для аналитического продолжения функции, которая соответствует выбору разрезов ветвей с минимальной логарифмической мерой емкости . В случае алгебраических кривых количество разрезов конечно, поэтому было бы возможно найти максимальные продолжения, найдя комбинацию разрезов с минимальной пропускной способностью. Для дальнейших улучшений теорема Шталя о сходимости аппроксимаций Паде [13] утверждает, что диагональные и наддиагональные аппроксимации Паде (или, что эквивалентно, аппроксимации непрерывной дроби степенного ряда) сходятся к максимальному аналитическому продолжению. Нули и полюсы аппроксимант заметно накапливаются на множестве сечений ветвей, имеющих минимальную емкость.
Эти свойства наделяют метод потока нагрузки способностью однозначно определять условие коллапса напряжения: алгебраические приближения гарантированно сходятся к решению, если оно существует, или не сходятся, если решение не существует.
Смотрите также
- Исследование потока мощности
- Моделирование энергосистемы
- Проблема обязательств агрегата в производстве электроэнергии
Заметки
- ^ HELM является товарным знаком Gridquant Inc.
- ^ Хорошо известно, что уравнения потока нагрузки для энергосистемы имеют несколько решений. Для сети с N неповоротными шинами система может иметь до 2 N возможных решений, но в реальной электрической системе реально возможно только одно. Этот факт используется в исследованиях стабильности, см., Например: Я. Тамура, Х. Мори и С. Ивамото, «Взаимосвязь между нестабильностью напряжения и решениями для нескольких потоков нагрузки в электроэнергетических системах», IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems , vol . ПАС-102, №5, с.1115–1125, 1983.
- ^ Это общее явление, влияющее на метод Ньютона-Рафсона, когда он применяется к уравнениям в комплексных переменных. См., Например , метод Ньютона # Сложные функции .
Рекомендации
- ^ Патент США 7519506 , Антонио Триас, «Система и способ для контроля и управления электрической передачи и распределительных сетями», выданного 2009-04-14
- ^ Патент США 7979239 , Антонио Триас, «Система и способ для контроля и управления электрической передачи и распределительных сетями», выданного 2011-07-12
- ^ a b А. Триас, «Метод голоморфного погружения потока нагрузки», Общее собрание IEEE Power and Energy Society 2011 , 22–26 июля 2012 г.
- ^ JB Ward и HW Hale, "Решение проблем потока мощности с помощью цифровых компьютеров", Энергетические аппараты и системы, Часть III. Труды Американского института инженеров-электриков , том 75, № 3, стр 398–404, январь 1956 г.
- А.Ф. Глимн и Г.В. Стэгг, «Автоматический расчет потоков нагрузки», Энергетические аппараты и системы, Часть III. Труды Американского института инженеров-электриков , том 76, № 3, стр. 817–825, апрель 1957 г.
- Хейл, HW; Гудрич, RW; , «Цифровые вычисления или поток энергии - некоторые новые аспекты», Энергетические аппараты и системы, часть III. Труды Американского института инженеров-электриков , том 78, № 3, стр. 919–923, апрель 1959 г.
- ^ WF Tinney и CE Hart, "Решение потока мощности методом Ньютона", IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems , vol. ПАС-86, № 11, с. 1449–1460, ноябрь 1967 г.
- Деспотович С.Т., Бабич Б.С. и Мастилович В.П. "Быстрый и надежный метод решения проблем, связанных с потоком нагрузки", Транзакции IEEE по силовым устройствам и системам , т. ПАС-90, №1, сс.123–130, январь 1971 г.
- ^ Б. Стотт и О. Альсак, "Fast Decoupled Load Flow", IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems , vol. ПАС-93, № 3, стр.859–869, май 1974 г.
- ^ Р. Кламп и Т. Овербай, «Новый метод поиска решений для низковольтных потоков энергии», в IEEE 2000 Power Engineering Society Summer Meeting , Vol. 1, pp. 593–597, 2000.
- Дж. С. Торп и С. А. Накави, «Фракталы потока нагрузки», в материалах 28-й конференции IEEE по решениям и контролю, Vol. 2. С. 1822–1827, 1989.
- JS Thorp, SA Naqavi и HD Chiang, «Больше фракталов потока нагрузки», в Proceedings of the 29th IEEE Conference on Decision and Control, Vol. 6. С. 3028–3030, 1990.
- С.А. Накави, Фракталы в потоках нагрузки энергосистемы , Корнельский университет, август 1994 г.
- Дж. С. Торп и С. А. Накави, С. А., «Фракталы потока нагрузки указывают на неустойчивое поведение», IEEE Computer Applications in Power, Vol. 10, № 1. С. 59–62, 1997.
- Х. Мори, «Хаотическое поведение метода Ньютона-Рафсона с оптимальным множителем для плохо подготовленных энергосистем», в Международном симпозиуме IEEE 2000 г. по схемам и системам (ISCAS 2000, Женева), Vol. 4. С. 237–240, 2000.
- ^ Проблемы с итеративным потоком нагрузки Архивировано 4 января 2010 г.в Wayback Machine , Elequant, 2010.
- ^ В. Аджарапу и К. Кристи, «Продолжающийся поток мощности: инструмент для анализа стабильности напряжения в установившемся режиме», IEEE Trans. по энергетическим системам , том 7, № 1, стр. 416–423, февраль 1992 г.
- ^ Б. Штурмфельс, "Решение систем полиномиальных уравнений", Серия региональных конференций CBMS по математике 97, AMS, 2002.
- ^ Л. Альфорс, Комплексный анализ (3-е изд.) , McGraw Hill, 1979.
- ^ Г. А. Бейкер-младший и П. Грейвс-Моррис, Аппроксимации Паде (Энциклопедия математики и ее приложений), Cambridge University Press, Second Ed. 2010, стр. 326.
- ^ Х. Шталь, "Сходимость аппроксимаций Паде к функциям с точками ветвления", J. Approx. Теория , 91 (1997), 139-204.
- Г. А. Бейкер-младший и П. Грейвс-Моррис, Аппроксимации Паде (Энциклопедия математики и ее приложений), Cambridge University Press, Second Ed. 2010, стр. 326-330.