Результирующий

В математике результантом двух полиномов является полиномиальное выражение их коэффициентов, которое равно нулю тогда и только тогда, когда многочлены имеют общий корень (возможно, в расширении поля ) или, что то же самое, общий множитель (над своим полем коэффициентов). В некоторых старых текстах результирующая также называется элиминантной . ^[1]

Результант широко используется в теории чисел либо напрямую, либо через дискриминант , который по существу является результантом многочлена и его производной. Результат двух полиномов с рациональными или полиномиальными коэффициентами можно эффективно вычислить на компьютере. Это основной инструмент компьютерной алгебры и встроенная функция большинства систем компьютерной алгебры . Он используется, среди прочего, для цилиндрической алгебраической декомпозиции , интегрирования рациональных функций и рисования кривых , определяемых двумерным полиномиальным уравнением .

Результант n однородных многочленов от n переменных (называемый также многомерным результантом или результантом Маколея для отличия его от обычного результанта) представляет собой введенное Маколеем обобщение обычного результанта. ^[2] Вместе с базами Грёбнера это один из основных инструментов теории эффективного исключения (теория исключения на компьютерах).

Результант двух одномерных многочленов $A$ и $B$ обычно обозначается или ${\ displaystyle \ operatorname {разрешение} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Res} (A, B).}$

Во многих приложениях равнодействующей полиномы зависят от нескольких неопределенных величин и могут рассматриваться как одномерные многочлены по одной из своих неопределенных величин, а полиномы по другим неопределенным - как коэффициенты. В этом случае неопределенная величина, выбранная для определения и вычисления равнодействующей, указывается в виде нижнего индекса: или ${\ displaystyle \ operatorname {res} _ {x} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {x} (A, B).}$

Степени многочленов используются в определении равнодействующей. Однако многочлен степени $d$ также можно рассматривать как многочлен более высокой степени, где старшие коэффициенты равны нулю. Если для результата используется такая более высокая степень, она обычно указывается в виде нижнего или верхнего индекса, например или ${\ displaystyle \ operatorname {res} _ {d, e} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {res} _ {x} ^ {d, e} (A, B).}$