В исчислении , символическая интеграция является проблемой нахождения формулы для первообразного , или неопределенного интеграла , от заданной функции F ( х ), то есть найти дифференцируемую функцию F ( х ) такой , что
Это также обозначается
Обсуждение
Термин символический используется , чтобы отличить эту проблему от такового численного интегрирования , где значение F испрашивается на определенном входе или набор входов, а не для общей формулы F .
Обе проблемы имели практическое и теоретическое значение задолго до появления цифровых компьютеров, но теперь они обычно считаются областью информатики , поскольку в настоящее время компьютеры чаще всего используются для решения отдельных задач.
Нахождение производной выражения - простой процесс, для которого легко построить алгоритм . Обратный вопрос о нахождении интеграла намного сложнее. Многие относительно простые выражения не имеют интегралов, которые можно выразить в замкнутой форме . См. Подробности в первообразном и неэлементарном интеграле .
Существует процедура, называемая алгоритмом Риша, которая способна определить, является ли интеграл элементарной функции (функция, построенная из конечного числа экспонент , логарифмов , констант и корней n-й степени посредством композиции и комбинаций с использованием четырех элементарных операций ) элементарным и возвращает это, если это так. В исходном виде алгоритм Риша не подходил для прямой реализации, и его полная реализация заняла много времени. Впервые он был реализован в Reduce в случае чисто трансцендентных функций; случай чисто алгебраических функций был решен и реализован в Reduce Джеймсом Х. Дэвенпортом ; общий случай был решен и реализован в Axiom Мануэлем Бронштейном.
Однако Риш алгоритм применим только к неопределенных интегралов и большинство интегралов , представляющих интерес для физиков, теоретических химиков и инженеров, являются определенные интегралы , часто связанные с преобразований Лапласа , преобразование Фурье и Меллина . Не имея общего алгоритма, разработчики систем компьютерной алгебры реализовали эвристику, основанную на сопоставлении с образцом и использовании специальных функций, в частности неполной гамма-функции . [1] Хотя этот подход является скорее эвристическим, чем алгоритмическим, он, тем не менее, является эффективным методом решения многих определенных интегралов, с которыми сталкиваются практические инженерные приложения. В более ранних системах, таких как Macsyma, в справочной таблице было несколько определенных интегралов, связанных со специальными функциями. Однако этот конкретный метод, включающий дифференцирование специальных функций по параметрам, преобразование переменных, сопоставление с образцом и другие манипуляции, был впервые предложен разработчиками системы Maple [2] , а затем эмулирован Mathematica , Axiom , MuPAD и другими системами.
Последние достижения
Основная проблема классического подхода к символическому интегрированию состоит в том, что если функция представлена в замкнутой форме , то, как правило, ее первообразная не имеет аналогичного представления. Другими словами, класс функций, которые можно представить в замкнутом виде, не замыкается при антидериватизации.
Голономные функции - это большой класс функций, который закрыт антидеривацией и допускает алгоритмическую реализацию на компьютерах интеграции и многих других операций исчисления.
Точнее, голономная функция - это решение линейного однородного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами. Голономные функции замкнуты относительно сложения и умножения, вывода и первообразного. Они включают алгебраические функции , экспоненциальную функцию , логарифм , синус , косинус , обратные тригонометрические функции , обратные гиперболические функции . Они включают в себя также наиболее распространенных специальные функции , такие как функции Эйри , функции ошибок , функция Бесселя и все гипергеометрические функции .
Фундаментальным свойством голономных функций является то, что коэффициенты их рядов Тейлора в любой точке удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами, и что это рекуррентное соотношение может быть вычислено из дифференциального уравнения, определяющего функцию. Наоборот, учитывая такое рекуррентное соотношение между коэффициентами степенного ряда , этот степенной ряд определяет голономную функцию, дифференциальное уравнение которой может быть вычислено алгоритмически. Это рекуррентное соотношение позволяет быстро вычислить ряд Тейлора и, следовательно, значение функции в любой точке с произвольной небольшой сертифицированной ошибкой.
Это делает алгоритмическими большинство операций исчисления , когда они ограничиваются голономными функциями, представленными их дифференциальным уравнением и начальными условиями. Это включает в себя вычисление первообразных и определенных интегралов (это равносильно оценке первообразных в конечных точках интервала интегрирования). Это включает также вычисление асимптотики функции на бесконечности и, следовательно, определенных интегралов на неограниченных интервалах.
Все эти операции реализованы в библиотеке algolib для Maple . [3] См. Также Динамический словарь математических функций. [4]
Пример
Например:
является символическим результатом для неопределенного интеграла (здесь C - постоянная интегрирования ),
является символическим результатом для определенного интеграла, а
является численным результатом для того же определенного интеграла.
Смотрите также
- Определенный интеграл
- Элементарная функция
- Неопределенный интеграл
- Оперативный расчет
- Алгоритм риша
- Символьное вычисление
Рекомендации
- ^ К.О. Геддес , М.Л. Глассер, Р.А. Мур и Т.К. Скотт, Оценка классов определенных интегралов, включающих элементарные функции, посредством дифференцирования специальных функций , AAECC (Применимая алгебра в инженерии, коммуникации и вычислениях), т. 1, (1990), стр. 149–165, [1]
- ^ KO Geddes и TC Scott, Рецепты для классов определенных интегралов, включающих экспоненты и логарифмы , Труды конференции 1989 г. по компьютерам и математике (состоявшейся в Массачусетском технологическом институте 12 июня 1989 г.), под редакцией Э. Калтофена и С. М. Ватта, Springer-Verlag, Нью-Йорк, (1989), стр. 192–201. [2]
- ^ http://algo.inria.fr/libraries/ algolib
- ^ http://ddmf.msr-inria.inria.fr Динамический словарь математических функций
- Бронштейн, Мануэль (1997), Символическая интеграция 1 (трансцендентные функции) (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-60521-5
- Моисей, Джоэл (23–25 марта 1971 г.), «Символическая интеграция: бурное десятилетие», Труды второго симпозиума ACM по символическим и алгебраическим манипуляциям , Лос-Анджелес, Калифорния: 427–440
Внешние ссылки
- Бхатт, Бхуванеш. «Алгоритм Риша» . MathWorld .
- Wolfram Integrator - бесплатная символьная онлайн-интеграция с системой Mathematica