Конформный радиус

В математике конформный радиус - это способ измерения размера односвязной плоской области D, наблюдаемой из точки z в ней. В отличие от понятий, использующих евклидово расстояние (скажем, радиуса наибольшего вписанного диска с центром z ), это понятие хорошо подходит для использования в комплексном анализе , в частности, в конформных отображениях и конформной геометрии .

Близкородственное понятие является диаметр трансфинитного или (логарифмическая) емкостью из компактного односвязного множества D , которую можно рассматривать как обратные конформный радиус комплемента E = D ^с смотреть со бесконечности .

Определение [ править ]

Для односвязной области D ⊂ C и точки z ∈ D по теореме об отображении Римана существует единственное конформное отображение f  : D → D на единичный круг (обычно называемое униформизирующим отображением ) с f ( z ) = 0 ∈ D и f ′ ( z ) ∈ R ₊ . Тогда конформный радиус D от z определяется как

${\ displaystyle \ mathrm {rad} (z, D): = {\ frac {1} {f '(z)}} \ ,.}$

В простейшем примере конформный радиус диска радиуса r, если смотреть из его центра, также равен r , что показано униформизирующим отображением x ↦ x / r . См. Ниже дополнительные примеры.

Одна из причин полезности этого понятия заключается в том, что оно хорошо себя ведет при конформных отображениях: если φ: D → D ′ - конформная биекция и z в D , то .${\displaystyle \mathrm {rad} (\varphi (z),D')=|\varphi '(z)|\,\mathrm {rad} (z,D)}$

Конформный радиус также можно выразить как где - гармоническое расширение от до .${\displaystyle \exp(\xi _{x}(x))}$${\displaystyle \xi _{x}(y)}$${\displaystyle \log(|x-y|)}$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle D}$

Частный случай: верхняя полуплоскость [ править ]

Пусть K ⊂ H - такое подмножество верхней полуплоскости , что D  : = H \ K связно и односвязно, и пусть z ∈ D - точка. (Это обычный сценарий, скажем, в эволюции Шрамма-Лёвнера ). По теореме Римана существует конформное взаимно однозначное соответствие г  : D → Н . Тогда для любого такого отображения g простое вычисление дает, что

${\displaystyle \mathrm {rad} (z,D)={\frac {2\,\mathrm {Im} (g(z))}{|g'(z)|}}\,.}$

Например, когда K = ∅ и z = i , тогда g может быть тождественным отображением, и мы получаем rad ( i , H ) = 2. Проверяем, что это согласуется с исходным определением: униформизирующее отображение f  : H → D является

${\displaystyle f(z)=i{\frac {z-i}{z+i}},}$

и тогда производная может быть легко вычислена.

Отношение к внутреннему радиусу [ править ]

То , что это является хорошим показателем радиуса показан следующим непосредственным следствием леммы Шварца и теоремы Кёбе 1/4 : для г ∈ D ⊂ C ,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {rad} (z,D)}{4}}\leq \mathrm {dist} (z,\partial D)\leq \mathrm {rad} (z,D),}$

где расстояние ( г , ∂ D ) обозначает евклидово расстояние между г и границей из D , или другими словами, радиус наибольшего вписанного диска с центром г .

Оба неравенства являются наилучшими из возможных:

Очевидно, что верхняя граница достигается, если взять D = D и z = 0.

Нижняя граница достигается следующей «щелевой областью»: D = C \ R ₊ и z = - r ∈ R _- . Отображение квадратного корня φ переводит D на верхнюю полуплоскость H с производной и . Вышеупомянутая формула для верхней полуплоскости дает , а затем формула преобразования при конформных отображениях дает rad (- r , D ) = 4 r , в то время как, конечно, dist (- r , ∂ D ) = r .${\displaystyle \varphi (-r)=i{\sqrt {r}}}$${\displaystyle |\varphi '(-r)|={\frac {1}{2{\sqrt {r}}}}}$${\displaystyle \mathrm {rad} (i{\sqrt {r}},\mathbb {H} )=2{\sqrt {r}}}$

Версия из бесконечности: трансфинитный диаметр и логарифмическая емкость [ править ]

Когда D ⊂ C является односвязным компактным множеством, то его дополнение E = D ^c является односвязной областью в сфере Римана , содержащей ∞ ^{[ необходимая цитата ]} , и можно определить

${\displaystyle \mathrm {rad} (\infty ,D):={\frac {1}{\mathrm {rad} (\infty ,E)}}:=\lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z}},}$

где f  : C \ D → E - единственное биективное конформное отображение с f (∞) = ∞ и положительным вещественным пределом, т. е. конформное отображение вида

${\displaystyle f(z)=c_{1}z+c_{0}+c_{-1}z^{-1}+\dots ,\qquad c_{1}\in \mathbf {R} _{+}.}$

Коэффициент с ₁ = рад (∞, D ) равен диаметр трансфинитного и (логарифмическая) емкость в D ; см. главу 11 работ Поммеренке (1975) и Кузьмина (2002) . См. Также статью о вместимости комплекта . harvtxt error: no target: CITEREFKuz′mina2002 (help)

Коэффициент с ₀ называется конформным центром из D . Это может быть показано , что лежит в выпуклой оболочке из D ; Кроме того,

${\displaystyle D\subseteq \{z:|z-c_{0}|\leq 2c_{1}\}\,,}$

где радиус 2 c ₁ является резким для отрезка прямой длиной 4 c ₁ . См. Страницы 12–13 и главу 11 книги Поммеренке (1975) .

Константы Фекете, Чебышева и модифицированные константы Чебышева [ править ]

Мы определяем три другие величины, которые равны трансфинитному диаметру, хотя они определены с совершенно другой точки зрения. Позволять

${\displaystyle d(z_{1},\ldots ,z_{k}):=\prod _{1\leq i<j\leq k}|z_{i}-z_{j}|}$

обозначим произведение попарных расстояний точек и определим следующую величину для компакта D ⊂ C :${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$

${\displaystyle d_{n}(D):=\sup _{z_{1},\ldots ,z_{n}\in D}d(z_{1},\ldots ,z_{n})^{\frac {1}{\binom {n}{2}}}}$

Другими словами, это верхняя грань среднего геометрического попарных расстояний п точек в D . Поскольку D компактно, этот супремум фактически достигается набором точек. Любой такой набор из n точек называется набором Фекете .${\displaystyle d_{n}(D)}$

Предел существует, и он называется постоянной Фекете .${\displaystyle d(D):=\lim _{n\to \infty }d_{n}(D)}$

Обозначим теперь множество всех монических многочленов степени n в C [ x ], обозначим множество многочленов от со всеми нулями в D и определим${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$

${\displaystyle \mu _{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {P}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|}$ и ${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {Q}}_{n}}\sup _{z\in D}|p(z)|}$

Тогда пределы

${\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(D)^{\frac {1}{n}}}$ и ${\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }{\tilde {\mu }}_{n}(D)^{\frac {1}{n}}}$

существуют, и они называются постоянной Чебышева и модифицированной постоянной Чебышева соответственно.Михаэль Фекете и Габор Сегу доказали, что эти константы равны.

Приложения [ править ]

Конформный радиус - очень полезный инструмент, например, при работе с эволюцией Шрамма-Лёвнера . Прекрасный пример можно найти у Лоулера, Шрамма и Вернера (2002) .

Ссылки [ править ]

• Альфорс, Ларс В. (1973). Конформные инварианты: разделы геометрической теории функций . Серия по высшей математике. Макгроу-Хилл. Руководство по ремонту  0357743 . Zbl  0272.30012 .
• Хорват, Янош, изд. (2005). Панорама венгерской математики в двадцатом веке, я . Математические исследования общества Бойяи. Springer. ISBN 3-540-28945-3.
• Кузьмина, Г.В. (2002) [1994], "Конформный радиус области" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Лоулер, Грегори Ф .; Шрамм, Одед ; Вернер, Венделин (2002), «Показатель одной руки для критической двумерной перколяции» , Электронный журнал вероятностей , 7 (2): 13 стр., ArXiv : math / 0108211 , doi : 10.1214 / ejp.v7-101 , ISSN  1083 -6489 , Руководство  1887622 , Zbl  1015.60091
• Поммеренке, Кристиан (1975). Однолистные функции . Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher. Группа XXV. С главой Герда Йенсена о квадратичных дифференциалах. Геттинген: Vandenhoeck & Ruprecht. Zbl  0298.30014 .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Рамели, Роберт С. (1989), Теория емкости на алгебраических кривых , Лекционные заметки по математике, 1378 , Берлин и т. Д .: Springer-Verlag , ISBN 3-540-51410-4, Zbl  0679,14012

Внешние ссылки [ править ]

• Пух, Чарльз, Конформный радиус. Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram, созданного Эриком Вайсштейном.