Эволюция Шрамма – Лёвнера

Эволюция Шрамма-Лёвнера на верхней полуплоскости с указанием оттенка ${\ displaystyle log (Im (g_ {t} (z)))}$

В теории вероятностей , то эволюция Шрамм-Лёвнер с параметром х , также известным как эволюция стохастического Лёвнера (SLE _х ) представляет собой семейство случайных плоских кривых , которые были доказаны , чтобы быть пределом масштабирования из множества двумерный моделей решетки в статистическая механика . Учитывая параметр κ и область в комплексной плоскости U , он дает семейство случайных кривых в U , где κ контролирует, насколько кривая поворачивается. Существует два основных варианта СКВ, хордовая СКВ.который дает семейство случайных кривых от двух фиксированных граничных точек, и радиальный SLE , который дает семейство случайных кривых от фиксированной граничной точки к фиксированной внутренней точке. Эти кривые определены так, чтобы удовлетворять конформной инвариантности и марковскому свойству области .

Он был открыт Одедом Шраммом  ( 2000 ) как предполагаемый предел масштабирования вероятностных процессов плоского равномерного остовного дерева (UST) и плоского случайного блуждания со стиранием петель (LERW) и разработан им вместе с Грегом Лоулером и Венделином Вернером в серия совместных работ.

Кроме ЕСН и LERW, эволюция Шрамм-Левнер Предполагает или доказано , чтобы описать предел масштабирования различных стохастических процессов в плоскости, например, критическая перколяции , в критической модели Изинга , в двойной-димере модели , самоизбегающие прогулки , и другая модели критической статистической механики , демонстрирующие конформную инвариантность. Кривые SLE представляют собой пределы масштабирования интерфейсов и других несамопересекающихся случайных кривых в этих моделях. Основная идея состоит в том, что конформная инвариантность и определенное марковское свойствоприсущие таким случайным процессам вместе позволяют кодировать эти плоские кривые в одномерное броуновское движение, бегущее по границе области (движущая функция в дифференциальном уравнении Лёвнера). Таким образом, многие важные вопросы о планарных моделях могут быть переведены в упражнения по исчислению Itō . Действительно, с помощью этой стратегии было доказано несколько математически нестрогих предсказаний, сделанных физиками с использованием конформной теории поля .

Уравнение Лёвнера

Если D является односвязны , открыт комплекс домена не равно C , а γ является простой кривой в D , начиная на границе (непрерывная функция Г (0) на границе области D и Г ((0, ∞)) подмножество D ), то для каждого т  ≥ 0, комплемента D _т из Г ([0,  T ]) односвязна и , следовательно , конформно изоморфны к D по теореме Римана . Если ƒ _tявляется подходящим нормализованным изоморфизмом из D в D _t , то он удовлетворяет дифференциальному уравнению, найденному Лёвнером (1923 , стр. 121) в его работе над гипотезой Бибербаха . Иногда более удобно использовать обратную функцию г _т о ƒ _т , что конформное отображение D _т к D .

В уравнении Лёвнера z находится в области D , t  ≥ 0, а граничные значения в момент времени t  = 0 равны ƒ ₀ ( z ) =  z или g ₀ ( z ) =  z . Уравнение зависит от функции возбуждения z , ( т ) принимает значения в границе D . Если D - единичный круг, а кривая γ параметризована «емкостью», то уравнение Лёвнера имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {t} (z)} {\ partial t}} = - zf_ {t} ^ {\ prime} (z) {\ frac {\ zeta (t) + z} { \ zeta (t) -z}}}$   или   ${\ Displaystyle {\ dfrac {\ partial g_ {t} (z)} {\ partial t}} = g_ {t} (z) {\ dfrac {\ zeta (t) + g_ {t} (z)} { \ zeta (t) -g_ {t} (z)}}.}$

Когда D - верхняя полуплоскость, уравнение Лёвнера отличается от него заменами переменной и имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}={\frac {2f_{t}^{\prime }(z)}{\zeta (t)-z}}}$   или   ${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}={\dfrac {2}{g_{t}(z)-\zeta (t)}}.}$

Движущая функция ζ и кривая γ связаны соотношением

${\displaystyle f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t){\text{ or }}\zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))}$

где и продолжаются по непрерывности.${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle g_{t}}$

Пример

Пусть D - верхняя полуплоскость, и рассмотрим SLE ₀ , так что движущая функция ζ является броуновским движением с нулевым коэффициентом диффузии. Таким образом, функция ζ тождественно равна нулю почти наверное и

${\displaystyle f_{t}(z)={\sqrt {z^{2}-4t}}}$

${\displaystyle g_{t}(z)={\sqrt {z^{2}+4t}}}$

${\displaystyle \gamma (t)=2i{\sqrt {t}}}$

${\displaystyle D_{t}}$- верхняя полуплоскость с удаленной линией от 0 до .${\displaystyle 2i{\sqrt {t}}}$

Эволюция Шрамма – Лёвнера

Эволюция Шрамма – Лёвнера - это случайная кривая γ, заданная уравнением Лёвнера, как и в предыдущем разделе, для управляющей функции

${\displaystyle \zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)}$

где B ( t ) - броуновское движение на границе D , масштабируемое некоторым вещественным κ . Другими словами, эволюция Шрамма – Лёвнера - это вероятностная мера на плоских кривых, заданная как образ меры Винера под этим отображением.

В общем случае кривая γ не обязательно должна быть простой, и область D _t не является дополнением к γ ([0, t ]) в D , но вместо этого является неограниченной компонентой дополнения.

Есть две версии SLE, использующие два семейства кривых, каждое из которых зависит от неотрицательного действительного параметра κ :

• Хордовый SLE _κ , который связан с кривыми, соединяющими две точки на границе области (обычно в верхней полуплоскости, где точки равны 0 и бесконечности).
• Радиальный SLE _κ , который связан с кривыми, соединяющими точку на границе области с точкой во внутренней части (часто кривые, соединяющие 1 и 0 в единичном круге).

SLE зависит от выбора броуновского движения на границе области, и существует несколько вариантов в зависимости от того, какой тип броуновского движения используется: например, оно может начинаться в фиксированной точке или начинаться в равномерно распределенной точке на устройстве. круг, или может иметь встроенный дрейф и т. д. Параметр κ контролирует скорость распространения броуновского движения, и поведение SLE критически зависит от его значения.

Две области, наиболее часто используемые в эволюции Шрамма – Лёвнера, - это верхняя полуплоскость и единичная окружность. Хотя дифференциальное уравнение Лёвнера в этих двух случаях выглядит по-разному, они эквивалентны с точностью до замен переменных, поскольку единичный круг и верхняя полуплоскость конформно эквивалентны. Однако конформная эквивалентность между ними не сохраняет броуновское движение на их границах, которое использовалось для эволюции Шрамма – Лёвнера.

Особые значения κ

• При 0 ≤  κ  <4 кривая γ ( t ) простая (с вероятностью 1).
• При 4 <  κ  <8 кривая γ ( t ) пересекает себя, и каждая точка содержится в петле, но кривая не заполняет пространство (с вероятностью 1).
• При κ  ≥ 8 кривая γ ( t ) заполняет пространство (с вероятностью 1).
• κ  = 2 соответствует случайному блужданию со стиранием петель или, что эквивалентно, ветвям равномерного остовного дерева.
• Для κ  = 8/3, SLE _κ обладает свойством ограничения и, как предполагается, является масштабным пределом случайных блужданий, избегающих самопроизвольных блужданий . Его разновидность - внешняя граница броуновского движения .
• κ  = 3 - предел интерфейсов для модели Изинга .
• κ  = 4 соответствует пути проводника гармоник и изолиний свободного поля Гаусса .
• При κ  = 6 SLE _κ обладает свойством локальности. Это возникает в скейлинговом пределе критической перколяции на треугольной решетке и, предположительно, на других решетках.
• κ  = 8 соответствует пути, отделяющему равномерное остовное дерево от двойственного к нему.

Когда SLE соответствует некоторой конформной теории поля, параметр κ связан с центральным зарядом c конформной теории поля соотношением

${\displaystyle c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.}$

Каждое значение c  <1 соответствует двум значениям κ , одному значению κ между 0 и 4 и «двойному» значению 16 / κ больше 4. (см. Bauer & Bernard (2002a) Bauer & Bernard (2002b) ).

Беффара (2008) показал, что размерность Хаусдорфа путей (с вероятностью 1) равна min (2, 1 +  κ / 8).

Формулы вероятности левого перехода для СЛВ _κ

Вероятность того, что хордальная СКВ _κ γ находится слева от неподвижной точки, была вычислена Шраммом (2001a) ^[1]${\displaystyle x_{0}+iy_{0}=z_{0}\in \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}z_{0}]={\frac {1}{2}}+{\frac {\Gamma ({\frac {4}{\kappa }})}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({\frac {8-\kappa }{2\kappa }})}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {4}{\kappa }},{\frac {3}{2}},-\left({\frac {x_{0}}{y_{0}}}\right)^{2}\right)}$

где это гамма - функция и является гипергеометрической функцией . Это было получено с использованием свойства мартингейла${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b,c,d)}$

${\displaystyle h(x,y):=\mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}x+iy]}$

и леммы Ито, чтобы получить следующее уравнение в частных производных для${\displaystyle w:={\tfrac {x}{y}}}$

${\displaystyle {\frac {\kappa }{2}}\partial _{ww}h(w)+{\frac {4w}{w^{2}+1}}\partial _{w}h=0.}$

Для κ = 4, RHS - это , который использовался при построении проводника гармоник ^[2], а для κ = 6 мы получаем формулу Карди , которую использовал Смирнов для доказательства конформной инвариантности в перколяции . ^[3]${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{\pi }}\arg(z_{0})}$

Приложения

Лоулер, Шрамм и Вернер (2001b) использовали SLE ₆ для доказательства гипотезы Мандельброта (1982) о том, что граница плоского броуновского движения имеет фрактальную размерность 4/3.

Критическая перколяция на треугольной решетке была доказана, связанно с SLE ₆ по Станиславу Смирнову . ^[4] В сочетании с более ранней работе Гарри Кестеном , ^[5] это привело к определению многих критических показателей для перколяции. ^[6] Этот прорыв, в свою очередь, позволил провести дальнейший анализ многих аспектов этой модели. ^{[7] [8]}

Лоулер, Шрамм и Вернер показали, что случайное блуждание со стиранием цикла сходится к SLE ₂ . ^[9] Это позволило вывести многие количественные свойства случайного блуждания со стиранием цикла (некоторые из которых были получены ранее Ричардом Кеньоном ^[10] ). Связанная случайная кривая Пеано, очерчивающая однородное остовное дерево, сходится к SLE ₈ . ^[9]

Роде и Шрамм показали, что κ связано с фрактальной размерностью кривой следующим соотношением

${\displaystyle d=1+{\frac {\kappa }{8}}.}$

Моделирование

Компьютерные программы (Matlab) представлены в этом репозитории GitHub для моделирования плоских кривых Schramm Loewner Evolution.

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки

• Лоулер; Шрамм; Вернер (2001), Учебное пособие: SLE , Зал науки Лоуренса , Калифорнийский университет, Беркли (видео лекции ИИГС)
• Шрамм, Одед (2001), Конформно-инвариантные пределы масштабирования и СКВ , ИИГС (Слайды из выступления.)