Гауссово свободное поле

В теории вероятностей и статистической механики , то Gaussian свободное поле (GFF) является гауссовским случайным полем , центральная модель случайных поверхностей (случайная высота функции). Шеффилд (2007) дает математический обзор гауссовского свободного поля.

Дискретная версия может быть определена на любом графе , обычно на решетке в d -мерном евклидовом пространстве. Континуальная версия определена на R ^d или в ограниченной подобласти R ^d . Это можно рассматривать как естественное обобщение одномерного броуновского движения на d временных (но все же одно пространственных) измерений; в частности, одномерный континуум GFF - это просто стандартное одномерное броуновское движение или броуновский мост на интервале.

В теории случайных поверхностей его еще называют гармоническим кристаллом . Это также отправная точка для многих построений в квантовой теории поля , где это называется евклидовым бозонным безмассовым свободным полем . Ключевым свойством двумерной GFF является конформная инвариантность , которая по-разному связывает ее с эволюцией Шрамма-Лёвнера , см. Sheffield (2005) и Dubédat (2007) .Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFDubédat2007 ( справка )

Подобно броуновскому движению, которое является пределом масштабирования широкого диапазона дискретных моделей случайного блуждания (см . Теорему Донскера ), континуум GFF является пределом масштабирования не только дискретного GFF на решетках, но и многих моделей функции случайной высоты, таких как как функцию высоты однородных случайных плоских мозаик домино , см. Kenyon (2001) . Планарный GFF также является пределом флуктуаций характеристического полинома модели случайной матрицы , ансамбля Жинибра, см. Rider & Virág (2007) .

Структура дискретного GFF на любом графе тесно связана с поведением простого случайного блуждания на графе . Например, дискретный GFF играет ключевую роль в доказательстве Дингом, Ли и Пересом (2012) нескольких гипотез о времени покрытия графов (ожидаемое количество шагов, которое требуется, чтобы случайное блуждание посетило все вершины).

Определение дискретного GFF [ править ]

Этот поверхностный график показывает образец дискретного свободного поля Гаусса, определенного в вершинах квадратной сетки 60 на 60, с нулевыми граничными условиями. Значения DGFF на вершинах линейно интерполируются для получения непрерывной функции.

Пусть P ( x ,  y ) - переходное ядро цепи Маркова, заданное случайным блужданием на конечном графе  G ( V ,  E ). Пусть U фиксированное непустое подмножество вершин V и возьмем множество всех вещественных функций с некоторыми предписанными значениями на  U . Затем мы определяем гамильтониан следующим образом:${\ displaystyle \ varphi}$

${\displaystyle H(\varphi )={\frac {1}{2}}\sum _{(x,y)}P(x,y){\big (}\varphi (x)-\varphi (y){\big )}^{2}.}$

Тогда случайная функция с плотностью вероятности , пропорциональной по отношению к мере Лебега на называется дискретной GFF с границей  U .${\displaystyle \exp(-H(\varphi ))}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{V\setminus U}}$

Нетрудно показать, что математическое ожидание является дискретным гармоническим продолжением граничных значений из  U (гармоническим по отношению к ядру перехода  P ), а ковариации равны дискретной функции Грина G ( x ,  y ).${\displaystyle \mathbb {E} [\varphi (x)]}$ ${\displaystyle \mathrm {Cov} [\varphi (x),\varphi (y)]}$ 

Так, в одном предложении, дискретный GFF является гауссовым случайным поле на V со структурой ковариационной задается функцией Грина , связанной с переходным ядром  Р .

Поле континуума [ править ]

В определении континуального поля обязательно используется некий абстрактный механизм, поскольку он не существует как случайная функция высоты. Вместо этого это случайная обобщенная функция или, другими словами, распределение вероятностей для распределений (с двумя разными значениями слова «распределение»).

Для области Ω ⊆  R ⁿ рассмотрим скалярное произведение Дирихле

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }(Df(x),Dg(x))\,dx}$

для гладких функций ƒ и г на Q, совпадающий с некоторой заданной граничной функцией на , где является вектором градиента в . Затем возьмем замыкание гильбертова пространства относительно этого скалярного произведения , это пространство Соболева .${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle Df\,(x)}$${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$

Континуум GFF on является гауссовским случайным полем, индексированным , т. Е. Набором гауссовских случайных величин, по одной для каждой , обозначенных , таким образом, что структура ковариации предназначена для всех .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$${\displaystyle f\in H^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \langle \varphi ,f\rangle }$${\displaystyle \mathrm {Cov} [\langle \varphi ,f\rangle ,\langle \varphi ,g\rangle ]=\langle f,g\rangle }$${\displaystyle f,g\in H^{1}(\Omega )}$

Такое случайное поле действительно существует, и его распределение уникально. При любом ортонормированный базис из (с заданным граничным условием), мы можем сформировать формальную бесконечную сумму${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2},\dots }$${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \varphi :=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}\psi _{k},}$

где являются IID стандартной нормальной переменными . Эта случайная сумма почти наверняка не будет существовать как элемент , поскольку ее дисперсия бесконечна. Однако он существует как случайная обобщенная функция , поскольку для любого мы имеем${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$${\displaystyle f\in H^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle f=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\psi _{k},{\text{ with }}\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}<\infty ,}$

следовательно

${\displaystyle \langle \varphi ,f\rangle :=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}c_{k}}$

является вполне определенным конечным случайным числом.

Особый случай: n = 1 [ править ]

Хотя приведенный выше аргумент показывает, что не существует как случайный элемент , все же может быть, что это случайная функция в некотором более крупном функциональном пространстве. Фактически, в размерности ортонормированный базис задается формулой${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle H^{1}[0,1]}$

${\displaystyle \psi _{k}(t):=\int _{0}^{t}\varphi _{k}(s)\,ds\,,}$где образуют ортонормированный базис${\displaystyle (\varphi _{k})}$${\displaystyle L^{2}[0,1]\,,}$

и тогда это легко увидеть как одномерное броуновское движение (или броуновский мост, если граничные значения для установлены таким образом). Итак, в данном случае это случайная непрерывная функция. Например, если это базис Хаара , то это конструкция Броуновского движения Леви, см., Например, раздел 3 книги Переса (2001) .${\displaystyle \varphi (t):=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}\psi _{k}(t)}$${\displaystyle \varphi _{k}}$${\displaystyle (\varphi _{k})}$

С другой стороны, действительно, можно показать, что он существует только как обобщенная функция, см. Sheffield (2007) .${\displaystyle n\geq 2}$

Особый случай: n = 2 [ править ]

В размерности n  = 2 конформная инвариантность континуума GFF очевидна из инвариантности внутреннего произведения Дирихле.

Ссылки [ править ]

• Ding, J .; Ли, младший; Перес, Ю. (2012), «Время покрытия, время одеяла и мажорирующие меры» , Annals of Mathematics , 175 (3): 1409–1471, arXiv : 1004.4371 , doi : 10.4007 / annals.2012.175.3.8
• Dubédat, J. (2009), "SLE и свободное поле: функции разделения и связи" , J. Amer. Математика. Soc. , 22 (4): 995–1054, arXiv : 0712.3018 , Bibcode : 2009JAMS ... 22..995D , doi : 10.1090 / s0894-0347-09-00636-5  , S2CID 8065580
• Кеньон, Р. (2001), «Домино и свободное поле по Гауссу», Annals of Probability , 29 (3): 1128–1137, arXiv : math-ph / 0002027 , doi : 10.1214 / aop / 1015345599 , MR  1872739 , S2CID  119640707
• Перес, Ю. (2001), "Приглашение к примерным путям броуновского движения" (PDF) , Лекционные заметки в Калифорнийском университете в Беркли
• Райдер, Б .; Вираг, Б. (2007), «Шум в круговом законе и гауссовском свободном поле» , International Mathematics Research Notices : ID статьи rnm006, 32 страницы, MR  2361453
• Шеффилд, С. (2005), «Локальные множества гауссовского свободного поля» , выступления в Институте Филдса, Торонто, 22–24 сентября 2005 г., в рамках семинара «Перколяция, СКВ и связанные темы».
• Шеффилд, С. (2007), «Гауссовские свободные поля для математиков», Теория вероятностей и родственные поля , 139 (3–4): 521–541, arXiv : math.PR/0312099 , doi : 10.1007 / s00440-006-0050 -1 , Руководство по ремонту  2322706 , S2CID  14237927
• Фридли, С .; Веленик Ю. (2017). Статистическая механика решетчатых систем: конкретное математическое введение . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107184824.