Асимптотическая гомогенизация

В математике и физике , гомогенизация является методом исследования дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, ^[1]^[2]^[3] , такие как

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (A \ left ({\ frac {\ vec {x}} {\ epsilon}} \ right) \ nabla u _ {\ epsilon} \ right) = f}

где - очень малый параметр, а - 1-периодический коэффициент: , . ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ Displaystyle А \ влево ({\ vec {y}} \ вправо)}$ ${\ displaystyle A \ left ({\ vec {y}} + {\ vec {e}} _ {i} \ right) = A \ left ({\ vec {y}} \ right)}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ точки, п}$

Оказывается, изучение этих уравнений также имеет большое значение в физике и технике, поскольку уравнения этого типа управляют физикой неоднородных или гетерогенных материалов. Конечно, вся материя в некотором масштабе неоднородна, но часто ее удобно рассматривать как однородную. Хорошим примером является концепция континуума, которая используется в механике сплошных сред . Согласно этому предположению, материалы, такие как жидкости , твердые тела и т. Д., Можно рассматривать как однородные материалы, и с этими материалами связаны такие свойства материалов, как модуль сдвига , модули упругости и т. Д.

Часто неоднородные материалы (такие как композитные материалы ) обладают микроструктурой, и поэтому они подвергаются нагрузкам или воздействиям, которые варьируются в масштабе длины, который намного превышает характерный масштаб длины микроструктуры. В этой ситуации часто можно заменить приведенное выше уравнение уравнением вида

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (A ^ {*} \ nabla u \ right) = f}

где - постоянный тензорный коэффициент, известный как эффективное свойство, связанное с рассматриваемым материалом. Его можно явно вычислить как ${\ displaystyle A ^ {*}}$

A_{ij}^{*}=\int _{(0,1)^{n}}A({\vec {y}})\left(\nabla w_{j}({\vec {y}})+{\vec {e}}_{j}\right)\cdot {\vec {e}}_{i}\,dy_{1}\dots dy_{n},\qquad i,j=1,\dots ,n

от 1-периодических функций, удовлетворяющих: $w_{j}$

\nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}})\nabla w_{j}\right)=-\nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}}){\vec {e}}_{j}\right).

Этот процесс замены уравнения с сильно колеблющимся коэффициентом уравнением с однородным (однородным) коэффициентом известен как гомогенизация . Именно поэтому этот предмет неразрывно связан с предметом микромеханики .

При усреднении одно уравнение заменяется другим, если оно достаточно мало , предусмотренное в некоторой соответствующей норме как . $u_{\epsilon }\approx u$ $\epsilon$ $u_{\epsilon }\to u$ $\epsilon \to 0$

В результате вышеизложенного гомогенизацию можно рассматривать как расширение концепции континуума на материалы, обладающие микроструктурой. Аналог дифференциального элемента в концепции континуума (который содержит достаточно атомов или молекулярной структуры, чтобы представлять этот материал) известен как « типичный элемент объема » ^[4] в гомогенизации и микромеханике. Этот элемент содержит достаточно статистической информации о неоднородной среде, чтобы быть репрезентативным для материала. Следовательно, усреднение по этому элементу дает эффективное свойство, подобное приведенному выше. $A^{*}$

Классические результаты теории усреднения ^[1]^[2]^[3] были получены для сред с периодической микроструктурой, моделируемой уравнениями в частных производных с периодическими коэффициентами. Позднее эти результаты были обобщены на пространственно однородные случайные среды, моделируемые дифференциальными уравнениями со случайными коэффициентами, статистические свойства которых одинаковы в каждой точке пространства. ^[5]^[6] На практике для многих приложений требуется более общий способ моделирования, который не является ни периодическим, ни статистически однородным. С этой целью методы теории усреднения были распространены на уравнения с частными производными, коэффициенты которых не являются ни периодическими, ни статистически однородными (так называемые произвольно грубые коэффициенты). ^[7]^[8]

Метод асимптотического усреднения [ править ]

Математическая теория усреднения восходит к французской, русской и итальянской школам. ^[1]^[2]^[3]^[9] Метод асимптотического усреднения заключается в введении быстрой переменной и формальном разложении по : ${\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon$ $\epsilon$

u_{\epsilon }({\vec {x}})=u({\vec {x}},{\vec {y}})=u_{0}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon u_{1}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon ^{2}u_{2}({\vec {x}},{\vec {y}})+O(\epsilon ^{3})\,

что порождает иерархию проблем. Получается усредненное уравнение, а эффективные коэффициенты определяются путем решения так называемых "ячеечных задач" для функции . $u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )$

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

^ ^a ^b ^c Санчес-Паленсия, Э. (1980). Неоднородные среды и теория колебаний . Конспект лекций по физике. 127 . Springer Verlag. DOI : 10.1007 / 3-540-10000-8 . ISBN 978-3-540-10000-3.
^ ^Бс Бахваловой, N. ; Панасенко, Г. (1989). Гомогенизация: процессы усреднения в периодических средах . Математика и ее приложения. Дордрехт: Клувер. DOI : 10.1007 / 978-94-009-2247-1 . ISBN 978-94-010-7506-0.
^ a b c Bensoussan, A .; Lions, JL ; Папаниколау, Г. (1978). Асимптотический анализ периодических структур . Исследования по математике и ее приложениям. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-85172-0.
^ Ostoja-Starzewski, М. (2007). Случайность микроструктуры и масштабирование материалов . Современная механика и математика. Чепмен и Холл / CRC Press. ISBN 9781584884170.
↑ Козлов, С.М. (1979). «Усреднение случайных операторов». Мат. Сборник . 109 (151): 188–202. (Англ. Пер .: Математика СССР, Сб. 37: 2, 1980, с. 167-180)
^ Папаниколау, GC; Варадхан, SR (1981). «Краевые задачи с быстро колеблющимися коэффициентами» (PDF) . Seria Colloq. Математика. Общество Янош Бойяи . Амстердам. 27 : 835–873.
^ Берлянд, Л .; Оухади, Х. (ноябрь 2010 г.). "Подход нормы потока к приближениям конечной гомогенизации с неотделенными масштабами и высокой контрастностью". Архив рациональной механики и анализа . 198 (2): 677–721. arXiv : 0901.1463 . Bibcode : 2010ArRMA.198..677B . DOI : 10.1007 / s00205-010-0302-1 .
^ Målqvist, A .; Петерсейм, Д. (2014). «Локализация эллиптических многомасштабных задач» . Математика вычислений . 83 (290): 2583–2603. DOI : 10.1090 / S0025-5718-2014-02868-8 .
^ Даль Мазо, G. (1993). Введение в Γ-сходимость . Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях. Бирхаузер. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0327-8 . ISBN 9780817636791.

Ссылки [ править ]

Козлов С.М.; Олейник, О.А .; Жиков В. В. (1994), Усреднение дифференциальных операторов и интегральных функционалов , Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN. 3-540-54809-2, Zbl 0838,35001
Олейник, О.А .; Шамаев АС; Йосифиан, Г.А. (1991), Математические проблемы упругости и гомогенизации , Исследования по математике и ее приложениям, 26 , Амстердам - Лондон - Нью-Йорк - Токио : Северная Голландия , ISBN 0-444-88441-6, Zbl 0768,73003
Хорнунг, Ульрих (ред.). (1997), гомогенизация и пористые среды , междисциплинарная прикладная математика, 6 , Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1920-0 , ISBN 978-1-4612-7339-4
Бахвалов Н.С .; Панасенко, Г. П. (1984), Усреднение процессов в периодических средах (английский перевод: Kluwer, 1989) , Москва : Наука , Zbl 0607,73009
Braides, A .; Дефранчески, А. (1998), Усреднение кратных интегралов , Оксфордская серия лекций по математике и ее приложениям, Оксфорд : Clarendon Press , ISBN 978-0-198-50246-3

[S-P-1] Санчес-Паленсия, Э. (1980). Неоднородные среды и теория колебаний . Конспект лекций по физике. 127 . Springer Verlag. DOI : 10.1007 / 3-540-10000-8 . ISBN 978-3-540-10000-3.

[B-P-2] Бс Бахваловой, N. ; Панасенко, Г. (1989). Гомогенизация: процессы усреднения в периодических средах . Математика и ее приложения. Дордрехт: Клувер. DOI : 10.1007 / 978-94-009-2247-1 . ISBN 978-94-010-7506-0.

[BLP-3] Bensoussan, A .; Lions, JL ; Папаниколау, Г. (1978). Асимптотический анализ периодических структур . Исследования по математике и ее приложениям. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-85172-0.

[4] Ostoja-Starzewski, М. (2007). Случайность микроструктуры и масштабирование материалов . Современная механика и математика. Чепмен и Холл / CRC Press. ISBN 9781584884170.

[5] Козлов, С.М. (1979). «Усреднение случайных операторов». Мат. Сборник . 109 (151): 188–202. (Англ. Пер .: Математика СССР, Сб. 37: 2, 1980, с. 167-180)

[6] Папаниколау, GC; Варадхан, SR (1981). «Краевые задачи с быстро колеблющимися коэффициентами» (PDF) . Seria Colloq. Математика. Общество Янош Бойяи . Амстердам. 27 : 835–873.

[7] Берлянд, Л .; Оухади, Х. (ноябрь 2010 г.). "Подход нормы потока к приближениям конечной гомогенизации с неотделенными масштабами и высокой контрастностью". Архив рациональной механики и анализа . 198 (2): 677–721. arXiv : 0901.1463 . Bibcode : 2010ArRMA.198..677B . DOI : 10.1007 / s00205-010-0302-1 .

[8] Målqvist, A .; Петерсейм, Д. (2014). «Локализация эллиптических многомасштабных задач» . Математика вычислений . 83 (290): 2583–2603. DOI : 10.1090 / S0025-5718-2014-02868-8 .

[9] Даль Мазо, G. (1993). Введение в Γ-сходимость . Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях. Бирхаузер. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0327-8 . ISBN 9780817636791.

[1]