В математике идонеальные числа Эйлера (также называемые подходящими числами или удобными числами ) - это такие положительные целые числа D , что любое целое число, выражаемое только одним способом как x 2 ± Dy 2 (где x 2 является взаимно простым с Dy 2 ), является степенью простого числа или вдвое большей мощности. В частности, число, которое имеет два различных представления в виде суммы двух квадратов, является составным . Каждое идонеальное число порождает набор, содержащий бесконечно много простых чисел и пропущенный бесконечно много других простых чисел.
Определение [ править ]
Положительное целое число n является идонеальным тогда и только тогда, когда оно не может быть записано как ab + bc + ac для различных положительных целых чисел a, b и c . [1]
Достаточно рассмотреть множество { n + k 2 | k 2 ≤ 3 · n ∧ НОД ( n , k ) = 1} ; если все эти числа имеют вид p , p 2 , 2 · p или 2 s для некоторого целого s , где p - простое число, то n является идонеальным. [2]
Предположительно полный список [ править ]
Есть ли 66-й идонеальный номер?
65 идонеальных чисел, найденных Леонардом Эйлером и Карлом Фридрихом Гауссом и предположительно единственными такими числами, являются
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 и 1848 (последовательность A000926 в OEIS ).
В 1973 году Питер Вайнбергер доказал, что существует не более одного другого идонеального числа, и что приведенный выше список является полным, если выполняется обобщенная гипотеза Римана . [3]
См. Также [ править ]
Примечания [ править ]
Ссылки [ править ]
- З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел . Academic Press, NY, 1966, стр. 425–430.
- Д.А. Кокс (1989). Простые числа вида x 2 + ny 2 . Wiley-Interscience. п. 61. ISBN 0-471-50654-0.
- Л. Эйлер, « Иллюстрация парадокса об идонеальных или подходящих числах », 1806 г.
- Г. Фрей, Удобные числа Эйлера, Math. Intell. Vol. 7 № 3 (1985), 55–58 и 64.
- ОЙ. Keller, Ueber die "Numeri idonei" von Euler, Beitraege Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Математика. Ред. 85м: 11019]
- Г.Б. Мэтьюз, Теория чисел , Челси, без даты, стр. 263.
- П. Рибенбойм , «Galimatias Arithmeticae», в Mathematics Magazine 71 (5) 339 1998 MAA или «Мои числа, мои друзья», глава 11 Springer-Verlag 2000 NY
- Дж. Стейниг, Об идеонеальных числах Эйлера, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
- А. Вейль , теория чисел: подход через историю; от Хаммурапи до Лежандра , Биркхойзер, Бостон, 1984; см. стр. 188.
- П. Вайнбергер, Экспоненты групп классов комплексных квадратичных полей, Acta Arith., 22 (1973), 117–124.
Внешние ссылки [ править ]
- KS Brown, Mathpages, Numeri Idonei
- М. Вальдшмидт, Открытые диофантовы проблемы
- Вайсштейн, Эрик У. «Идонеальное число» . MathWorld .