В математике , дзета - функция Игуса представляет собой тип генерации функции , подсчет числа решений уравнения, по модулю р , р 2 , р 3 , и так далее.
Определение
Для простого числа p пусть K - p-адическое поле , т. Е., R - кольцо нормирования и P - максимальный идеал . Для обозначим через оценка по г ,, а также для униформизирующего параметра я из R .
Кроме того, пусть - функция Шварца – Брюа , т. е. локально постоянная функция с компактным носителем, и пустьбыть персонаж из.
В этой ситуации ассоциируется непостоянный многочлен дзета-функция Игуса
где а dx - мера Хаара, нормализованная так, что имеет меру 1.
Теорема игусы
Джун-Ичи Игуса ( 1974 ) показал, что является рациональной функцией в . Доказательство использует теорему Хейсуке Хиронака о разрешении особенностей . Позже Ян Денеф дал совершенно другое доказательство, используя разложение p-адических клеток. Однако о явных формулах известно немного. (Есть некоторые результаты о дзета-функциях Игуса разновидностей Ферма .)
Сравнения по модулю степеней
В дальнейшем мы берем чтобы быть характеристической функцией из а также быть тривиальным персонажем. Позволятьобозначим количество решений сравнения
- .
Тогда дзета-функция Игуса
тесно связан с рядом Пуанкаре
от
Рекомендации
- Igusa, июнь-Ichi (1974), "Комплексные степени и асимптотические разложения I. Функции некоторых типов", Journal für фильеры Reine унд Angewandte Mathematik , 1974 (268-269): 110-130, DOI : 10.1515 / crll.1974.268 -269,110 , Zbl 0287,43007
- Информация для этой статьи была взята из J. Denef, Report on Igusa's Local Zeta Function, Séminaire Bourbaki 43 (1990-1991), exp. 741; Astérisque 201-202-203 (1991), 359-386