Неявная поверхность

Неявный поверхностный тор (R = 40, a = 15).

Неявная поверхность рода 2.

Неявная неалгебраическая поверхность ( рюмка ).

В математике , неявное поверхность является поверхностью в евклидовом пространстве определяется уравнением

${\ Displaystyle F (х, y, z) = 0.}$

Неявная поверхность - это набор нулей функции трех переменных. Неявные означает , что уравнение не решается за й или у или г .

График функции обычно описывается уравнением и называется явным представлением. Третье важное описание поверхности - параметрическое : где x -, y - и z -координаты точек поверхности представлены тремя функциями, зависящими от общих параметров . Как правило, смена представлений проста только тогда, когда дано явное представление : (неявное), (параметрическое).${\ Displaystyle г = е (х, у)}$${\ Displaystyle (х (s, t), y (s, t), z (s, t))}$${\ Displaystyle х (s, t) \ ,, y (s, t) \ ,, z (s, t)}$${\ displaystyle s, t}$${\ Displaystyle г = е (х, у)}$${\ displaystyle zf (x, y) = 0}$${\ Displaystyle (s, t, f (s, t))}$

Примеры :

1. самолет ${\ displaystyle x + 2y-3z + 1 = 0.}$
2. сфера ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.}$
3. тор ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.}$
4. Поверхность рода 2: (см. Диаграмму).${\displaystyle 2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2}-1)(1-z^{2})=0}$
5. Поверхность вращения (см. Диаграмму рюмки ).${\displaystyle x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0.02=0}$

Для плоскости, сферы и тора существуют простые параметрические представления. Это неверно для четвертого примера.

Теорема о неявной функции описывает условия, при которых уравнение может быть решено (по крайней мере, неявно) относительно x , y или z . Но в целом решение не может быть явным. Эта теорема является ключом к вычислению основных геометрических характеристик поверхности: касательных плоскостей , нормалей к поверхности , кривизны (см. Ниже). Но у них есть существенный недостаток: их трудно визуализировать.${\displaystyle F(x,y,z)=0}$

Если полиномиальна от x , y и z , поверхность называется алгебраической . Пример- не -алгебраическая.${\displaystyle F(x,y,z)}$

Несмотря на сложность визуализации, неявные поверхности предоставляют относительно простые методы создания теоретически (например, поверхность Штейнера ) и практически (см. Ниже) интересных поверхностей.

Формулы [ править ]

В следующих рассуждениях неявная поверхность представляется уравнением, в котором функция удовлетворяет необходимым условиям дифференцируемости. Эти частные производные от есть .${\displaystyle F(x,y,z)=0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots }$

Касательная плоскость и вектор нормали [ править ]

Точка поверхности называется регулярным , если и только если градиент от крайнего не нулевого вектора , значение${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle (F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)}$.

Если точка поверхности является не регулярной, то она называется сингулярной .${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

Уравнение касательной плоскости в регулярной точке имеет вид${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,}$

и нормальный вектор является

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.}$

Нормальная кривизна [ править ]

Для простоты формулы аргументы опущены:${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}}$

- нормальная кривизна поверхности в регулярной точке для единичного касательного направления . это матрица Гесса из (матриц вторых производных).${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle H_{F}}$${\displaystyle F}$

Доказательство этой формулы опирается (как и в случае неявной кривой) на теорему о неявной функции и формулу для нормальной кривизны параметрической поверхности .

Применение неявных поверхностей [ править ]

Как и в случае неявных кривых, легко создать неявные поверхности желаемой формы, применяя алгебраические операции (сложение, умножение) к простым примитивам.

Эквипотенциальная поверхность точечных зарядов [ править ]

Электрический потенциал точечного заряда в точке генерирует в точке потенциал (без учета физических констант)${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$${\displaystyle \mathbf {p} =(x,y,z)}$

${\displaystyle F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.}$

Эквипотенциальная поверхность для значения потенциала - это неявная поверхность, которая представляет собой сферу с центром в точке .${\displaystyle c}$${\displaystyle F_{i}(x,y,z)-c=0}$${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$

Потенциал точечных зарядов представлен как ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.}$

На рисунке четыре заряда равны 1 и расположены в точках . Отображаемая поверхность - это эквипотенциальная поверхность (неявная поверхность) .${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0)}$${\displaystyle F(x,y,z)-2.8=0}$

Постоянное расстояние от поверхности продукта [ править ]

Овал Кассини можно определить как набор точек, для которого произведение расстояний до двух заданных точек является постоянным (напротив, для эллипса сумма постоянна). Подобным образом неявные поверхности могут быть определены как произведение постоянного расстояния до нескольких фиксированных точек.

В метаморфозах диаграммы верхняя левая поверхность порождается следующим правилом:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}}}{\Big )}\end{aligned}}}$

отображается поверхность продукта с постоянным расстоянием .${\displaystyle F(x,y,z)-1.1=0}$

Метаморфозы неявных поверхностей [ править ]

Еще один простой метод создания новых неявных поверхностей называется метаморфозом неявных поверхностей:

Для двух неявных поверхностей (на диаграмме: поверхность произведения с постоянным расстоянием и тор) новые поверхности определяются с помощью параметра проектирования :${\displaystyle F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0}$${\displaystyle \mu \in [0,1]}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0}$

На схеме расчетный параметр - последовательно .${\displaystyle \mu =0,\,0.33,\,0.66,\,1}$

Гладкие аппроксимации нескольких неявных поверхностей [ править ]

${\displaystyle \Pi }$-поверхности ^[1] могут использоваться для аппроксимации любого заданного гладкого и ограниченного объекта , поверхность которого определяется одним многочленом как произведением вспомогательных многочленов. Другими словами, мы можем спроектировать любой гладкий объект с помощью единой алгебраической поверхности. Обозначим определяющие полиномы как . Тогда аппроксимирующий объект определяется полиномом${\displaystyle R^{3}}$${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r}$^[1]

где обозначает параметр смешения, который контролирует ошибку аппроксимации.${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

Аналогично гладкой аппроксимации с неявными кривыми уравнение

${\displaystyle F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-r=0}$

представляет для подходящих параметров гладкие аппроксимации трех пересекающихся торов уравнениями${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2})=0.\end{aligned}}}$

(На схеме параметры )${\displaystyle R=1,\,a=0.2,\,r=0.01.}$

Визуализация неявных поверхностей [ править ]

Существуют различные алгоритмы визуализации неявных поверхностей ^[2], включая алгоритм марширующих кубов . ^[3] По сути, есть две идеи для визуализации неявной поверхности: одна генерирует сеть полигонов, которая визуализируется (см. Триангуляция поверхности ), а вторая полагается на трассировку лучей, которая определяет точки пересечения лучей с поверхностью. ^[4] Точки пересечения могут быть аппроксимированы трассировкой сферы , используя функцию расстояния со знаком, чтобы найти расстояние до поверхности. ^[5]

См. Также [ править ]

• Неявная кривая

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Гомес, А., Войкулеску, И., Хорхе, Дж., Вивилл, Б., Гэлбрейт, Ч .: Неявные кривые и поверхности: математика, структуры данных и алгоритмы , 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882 -405-8 
• Торп: элементарные темы в дифференциальной геометрии , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1979, ISBN 0-387-90357-7 

Внешние ссылки [ править ]

• Султанов: Implizite Flächen
• Хартманн: геометрия и алгоритмы для компьютерного проектирования
• GEOMVIEW
• K3Dsurf: генератор трехмерных поверхностей
• SURF: Visualisierung algebraischer Flächen