Цена безразличия

В области финансов , индифферентность ценообразование является методом ценообразования финансовых ценных бумаг , в отношении к функции полезности . Цена безразличия также известна как резервная цена или частная оценка . В частности, цена безразличия - это цена, при которой агент будет иметь такой же ожидаемый уровень полезности , выполняя финансовую транзакцию, как и не выполняя ее (в противном случае при оптимальной торговле). Обычно цена безразличия представляет собой ценовой диапазон ( спред между ценой покупки и продажи ) для конкретного агента; этот ценовой диапазон является примером разумных ограничений .^[1]

Математика [ править ]

Для данной функции полезности и заявки с известными выплатами в некоторый конечный момент времени пусть функция определяется следующим образом:${\ displaystyle u}$${\ displaystyle C_ {T}}$${\ displaystyle T,}$${\ Displaystyle V: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle V (x, k) = \ sup _ {X_ {T} \ in {\ mathcal {A}} (x)} \ mathbb {E} \ left [u \ left (X_ {T} + kC_ { T} \ right) \ right]}$,

где - первоначальное пожертвование, - это набор всех самофинансируемых портфелей на момент, начиная с эндаумента , и - это номер требования, которое будет куплено (или продано). Тогда цена предложения безразличия для единиц является решением, а цена предложения безразличия является решением . Граница цены безразличия - это диапазон . ^[2]${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} (х)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle v ^ {b} (к)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle C_ {T}}$${\ Displaystyle V (xv ^ {b} (k), k) = V (x, 0)}$${\ displaystyle v ^ {a} (к)}$${\ Displaystyle V (х + v ^ {a} (k), - k) = V (x, 0)}$${\ displaystyle \ left [v ^ {b} (k), v ^ {a} (k) \ right]}$

Пример [ править ]

Рассмотрит рынок с безрисковыми активами с и и рискованным активом с и каждым с вероятностью . Пусть ваша функция полезности задана . Чтобы найти цену безразличия спроса или предложения для единственного европейского опциона колл со страйком 110, сначала рассчитайте .${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B_ {0} = 100}$${\ displaystyle B_ {T} = 110}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S_ {0} = 100}$${\ Displaystyle S_ {T} \ in \ {90,110,130 \}}$${\displaystyle 1/3}$${\displaystyle u(x)=1-\exp(-x/10)}$${\displaystyle V(x,0)}$

${\displaystyle V(x,0)=\max _{\alpha B_{0}+\beta S_{0}=x}\mathbb {E} [1-\exp(-.1\times (\alpha B_{T}+\beta S_{T}))]}$

${\displaystyle =\max _{\beta }\left[1-{\frac {1}{3}}\left[\exp \left(-{\frac {1.10x-20\beta }{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10x}{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10x+20\beta }{10}}\right)\right]\right]}$.

Которая максимизируется тогда , когда , следовательно .${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle V(x,0)=1-\exp \left(-{\frac {1.10x}{10}}\right)}$

Теперь, чтобы найти решение цены предложения безразличия для ${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)}$

${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)=\max _{\alpha B_{0}+\beta S_{0}=x-v^{b}(1)}\mathbb {E} [1-\exp(-.1\times (\alpha B_{T}+\beta S_{T}+C_{T}))]}$

${\displaystyle =\max _{\beta }\left[1-{\frac {1}{3}}\left[\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))-20\beta }{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))}{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))+20\beta +20}{10}}\right)\right]\right]}$

Которая максимизируется тогда , когда , следовательно .${\displaystyle \beta =-{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)=1-{\frac {1}{3}}\exp(-1.10x/10)\exp(1.10v^{b}(1)/10)\left[1+2\exp(-1)\right]}$

Поэтому когда .${\displaystyle V(x,0)=V(x-v^{b}(1),1)}$${\displaystyle v^{b}(1)={\frac {10}{1.1}}\log \left({\frac {3}{1+2\exp(-1)}}\right)\approx 4.97}$

Аналогичным образом решите, чтобы найти цену предложения безразличия.${\displaystyle v^{a}(1)}$

См. Также [ править ]

• Готовность платить
• Готовность принять

Заметки [ править ]

• Если это безразличие ценовых границ для претензии, то по определению . ^[2]${\displaystyle \left[v^{b}(k),v^{a}(k)\right]}$${\displaystyle v^{b}(k)=-v^{a}(-k)}$
• Если - цена предложения безразличия для требования и - цена суперхеджирования и цена субхеджирования соответственно, то тогда . Следовательно, на полном рынке цена безразличия всегда равна цене хеджирования требования.${\displaystyle v(k)}$${\displaystyle v^{sup}(k),v^{sub}(k)}$${\displaystyle v^{sub}(k)\leq v(k)\leq v^{sup}(k)}$

Ссылки [ править ]