Инерционная волна

Импульс экваториальной инерционной волны вызвал движение жидкости внутри стабильно вращающейся сферической камеры. Стрелки на этом поперечном сечении показывают направление и силу потока в экваториальной плоскости, поскольку сфера продолжает вращаться по часовой стрелке вокруг своей оси, показанной слева. Красный цвет указывает на выход из плоскости; синий указывает на поток в самолет.

Инерционные волны , также известные как инерционные колебания , представляют собой тип механических волн, возможных во вращающихся жидкостях . В отличие от поверхностных гравитационных волн, которые обычно наблюдаются на пляже или в ванне, инерционные волны проходят через внутреннюю часть жидкости, а не на поверхность. Как и любой другой вид волны, инерционная волна вызывается возвращающей силой и характеризуется ее длиной и частотой . Поскольку возвращающей силой для инерционных волн является сила Кориолиса , их длины волн и частоты связаны особым образом. Инерционные волны бывают поперечными. Чаще всего они наблюдаются в атмосфере, океанах, озерах и в лабораторных экспериментах. Волны Россби , геострофические течения и геострофические ветры являются примерами инерционных волн. Инерционные волны также могут существовать в расплавленном ядре вращающейся Земли .

Восстанавливающая сила [ править ]

Инерционные волны восстанавливаются до равновесия за счет силы Кориолиса в результате вращения. Чтобы быть точным, сила Кориолиса возникает (вместе с центробежной силой ) во вращающейся раме, чтобы учесть тот факт, что такая рама всегда ускоряется. Следовательно, инерционные волны не могут существовать без вращения. Сила Кориолиса, более сложная, чем натяжение струны, действует под углом 90 ° к направлению движения, и ее сила зависит от скорости вращения жидкости. Эти два свойства приводят к специфическим характеристикам инерционных волн.

Характеристики [ править ]

Инерционные волны возможны только тогда, когда жидкость вращается, и существуют в объеме жидкости, а не на ее поверхности. Как и световые волны, инерционные волны являются поперечными , что означает, что их колебания происходят перпендикулярно направлению распространения волны. Одна особенная геометрическая характеристика инерционных волн состоит в том, что их фазовая скорость , которая описывает движение гребней и впадин волны, перпендикулярна их групповой скорости , которая является мерой распространения энергии.

В то время как звуковая волна или электромагнитная волна любой частоты возможны, инерционные волны могут существовать только в диапазоне частот от нуля до удвоенной скорости вращения жидкости. Причем частота волны определяется направлением ее движения. Волны, движущиеся перпендикулярно оси вращения, имеют нулевую частоту и иногда называются геострофическими модами. Волны, бегущие параллельно оси, имеют максимальную частоту (в два раза превышающую скорость вращения), а волны под промежуточными углами имеют промежуточные частоты. В свободном пространстве инерционная волна может существовать в любом месте.частота от 0 до удвоенной скорости вращения. Однако закрытый контейнер может накладывать ограничения на возможные частоты инерционных волн, как и для любых волн. Инерционные волны в закрытом контейнере часто называют инерционными модами . В сфере, например, инерционные моды вынуждены принимать дискретные частоты, оставляя промежутки, в которых не может существовать никаких режимов.

Примеры инерционных волн [ править ]

Любая жидкость может поддерживать инерционные волны: вода, масло, жидкие металлы, воздух и другие газы. Инерционные волны чаще всего наблюдаются в планетных атмосферах ( волны Россби , геострофические ветры ), а также в океанах и озерах ( геострофические течения ), где они ответственны за большую часть происходящего перемешивания. Инерционные волны, на которые воздействует уклон дна океана, часто называют волнами Россби . Инерционные волны можно наблюдать в лабораторных экспериментах или в промышленных потоках, где жидкость вращается. Инерционные волны также могут существовать в жидком внешнем ядре Земли, и по крайней мере одна группа [1] заявила об их наличии. Точно так же инерционные волны вероятны во вращающихся астрономических потоках, таких какзвезды , аккреционные диски , планетные кольца и галактики .

Математическое описание [ править ]

Поток жидкости регулируется уравнением Навье-Стокса для количества движения. Скорость потока жидкости с вязкостью под давлением и скоростью вращения изменяется со временем в соответствии с ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle t}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {u}}} {\ partial t}} + ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {u}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ vec {\ nabla}} P + \ nu \ nabla ^ {2} {\ vec {u}} - 2 {\ vec {\ Omega}} \ times { \ vec {u}}.}

Первый член справа учитывает давление, второй - вязкую диффузию, а третий (последний) член в правой части уравнения импульса (вверху) - член Кориолиса.

Если быть точным, это скорость потока, наблюдаемая во вращающейся системе отсчета. Поскольку вращающаяся система отсчета является ускоряющейся (т.е. неинерциальной), в результате этого преобразования координат возникают две дополнительные (псевдо) силы (как упомянуто выше): центробежная сила и сила Кориолиса. В приведенном выше уравнении центробежная сила включена как часть обобщенного давления , то есть связана с обычным давлением , в зависимости от расстояния от оси вращения , соотношением ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle r}$

{\ displaystyle P = p + {\ frac {1} {2}} \ rho r ^ {2} \ Omega ^ {2}.}

В случае, когда скорость вращения велика, сила Кориолиса и центробежная сила становятся большими по сравнению с другими членами. Поскольку диффузия и «конвективная производная» (второй член слева) мала в сравнении, ее можно не учитывать. Взяв локон с обеих сторон и применив несколько векторных тождеств, результат будет

{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\vec {u}}=2({\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}.

Одним из классов решений этого уравнения являются волны, удовлетворяющие двум условиям. Во-первых, если - волновой вектор , ${\vec {k}}$

{\vec {u}}\cdot {\vec {k}}=0,

то есть волны должны быть поперечными, как упоминалось выше. Во-вторых, решения должны иметь частоту , удовлетворяющую дисперсионному соотношению $\omega$

\omega =2{\hat {k}}\cdot {\vec {\Omega }}=2\Omega \cos {\theta },

где - угол между осью вращения и направлением волны. Эти частные решения известны как инерционные волны. $\theta$

Дисперсионное соотношение очень похоже на член Кориолиса в уравнении импульса - обратите внимание на скорость вращения и множитель два. Это сразу подразумевает диапазон возможных частот для инерционных волн, а также зависимость их частоты от их направления.

Дальнейшее чтение [ править ]

Олдридж, KD; И. Ламб (1987). «Инерционные волны, обнаруженные в жидком внешнем ядре Земли». Природа . 325 (6103): 421–423. Bibcode : 1987Natur.325..421A . DOI : 10.1038 / 325421a0 .
Гринспен, HP (1969). Теория вращающихся жидкостей . Издательство Кембриджского университета.
Ландау, ЛД; Е.М. Лифшиц (1987). Механика жидкости, второе издание . Нью-Йорк: Эльзевир. ISBN 978-0-7506-2767-2.