Мгновенная фаза и частота являются важными понятиями в обработке сигналов, которые возникают в контексте представления и анализа изменяющихся во времени функций. [1] мгновенная фаза (также известная как локальная фаза или просто фазы ) от комплекснозначной функции , сек ( т ), является вещественной функцией:
где arg - функция комплексного аргумента . Мгновенная частота является временной скоростью мгновенной фазы.
А для вещественной функции s ( т ), определяются из функции в аналитическом представлении , S а ( т ): [2]
где представляет собой преобразование Гильберта от й ( т ).
Когда φ ( t ) ограничивается своим главным значением , либо интервалом (- π , π ], либо [0, 2 π ), это называется свернутой фазой . В противном случае это называется развернутой фазой , которая является непрерывной функцией аргумента t , предполагая, что s a ( t ) является непрерывной функцией t . Если не указано иное, следует предполагать непрерывную форму.
Мгновенная фаза в зависимости от времени. Функция имеет два истинных разрыва 180 °, указывающих на переход через нуль амплитуды. «Разрывы» на 360 ° на временах 37 и 91 являются артефактами наложения фаз.
Пример 1
где ω > 0.
В этом простом синусоидальном примере постоянная θ также обычно называется фазовым или фазовым сдвигом . φ ( t ) - функция времени; θ нет. В следующем примере мы также видим, что фазовый сдвиг синусоиды с действительным знаком неоднозначен, если не указана ссылка (sin или cos). φ ( t ) определен однозначно.
Пример 2
где ω > 0.
В обоих примерах локальные максимумы с ( т ) соответствуют ф ( т ) = 2 π N для целочисленных значений N . Это имеет приложения в области компьютерного зрения.
Мгновенная угловая частота определяется как:
а мгновенная (обычная) частота определяется как:
где φ ( t ) должен быть развернутым мгновенным фазовым углом. Если φ ( t ) свернут, разрывы в φ ( t ) приведут к дельта- импульсам Дирака в f ( t ).
Обратная операция, которая всегда разворачивает фазу, выглядит следующим образом:
Эта мгновенная частота, ω ( т ), может быть получена непосредственно из действительных и мнимых частей от й ( т ), вместо сложного арг , не заботясь о фазовом разворачивании.
2 m 1 π и m 2 π являются целыми числами, кратными π, которые необходимо добавить, чтобы развернуть фазу. При значениях времени t , когда нет изменения целого m 2 , производная φ ( t ) равна
Для функций с дискретным временем это можно записать как рекурсию:
Разрывы затем можно удалить, добавляя 2 π, если Δ φ [ n ] ≤ - π , и вычитая 2 π, если Δ φ [ n ]> π . Это позволяет φ [ n ] накапливаться без ограничений и дает развернутую мгновенную фазу. Эквивалентная формулировка, в которой операция по модулю 2 π заменяется комплексным умножением:
где звездочка означает комплексное сопряжение. Мгновенная частота дискретного времени (в радианах на выборку) - это просто сдвиг фазы для этой выборки.
В некоторых приложениях, например при усреднении значений фазы в несколько моментов времени, может быть полезно преобразовать каждое значение в комплексное число или векторное представление: [3]
Это представление похоже на представление обернутой фазы в том, что оно не различает кратные 2π в фазе, но похоже на представление развернутой фазы, поскольку оно непрерывно. Среднюю векторную фазу можно получить как аргумент суммы комплексных чисел, не беспокоясь о циклическом преобразовании.