Промежуточный якобиан

В математике промежуточный якобиан компактного кэлерова многообразия или структуру Ходжа является комплексным тором , который является общим обобщением якобиева многообразия кривого и многообразия Пикара и Альбанеза разнообразия . Он получается путем наложения комплексной структуры на тор при нечетном n . Есть несколько различных естественных способов наложить сложную структуру на этот тор, давая несколько различных типов промежуточных якобианов, в том числе один, придуманный Андре Вейлем ( 1952 ), и один, созданный Филиппом Гриффитсом ( ${\ Displaystyle Н ^ {п} (М, \ mathbb {R}) / Н ^ {п} (М, \ mathbb {Z})}$ 1968 , 1968b ). Многообразия, построенные Вейлем, имеют естественные поляризации, если M проективно, и поэтому являются абелевыми многообразиями, а построенные Гриффитсом хорошо себя ведут при голоморфных деформациях .

Сложная структура на вещественном векторном пространстве задается автоморфизмом I с квадратом . Комплексные структуры на определяются с помощью разложения Ходжа ${\ displaystyle -1}$ ${\ Displaystyle Н ^ {п} (М, \ mathbb {R})}$

{\ displaystyle H ^ {n} (M, {\ mathbb {R}}) \ otimes {\ mathbb {C}} = H ^ {n, 0} (M) \ oplus \ cdots \ oplus H ^ {0, n} (M).}

На сложной структуре Weil является умножение , а Гриффитс комплексная структура является умножением , если и если . Обе эти сложные структуры отображаются в себе и таким образом определяют сложные структуры на нем. ${\ displaystyle H ^ {p, q}}$ ${\ displaystyle I_ {W}}$ ${\ displaystyle i ^ {pq}}$ ${\ displaystyle I_ {G}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle p> q}$ ${\ displaystyle -i}$ ${\ displaystyle p <q}$ ${\ Displaystyle Н ^ {п} (М, \ mathbb {R})}$

Ибо промежуточный якобиан - это многообразие Пикара , а для него - многообразие Альбанезе . В этих двух крайних случаях конструкции Вейля и Гриффитса эквивалентны. ${\ Displaystyle п = 1}$ $n=2\dim(M)-1$

Клеменс и Гриффитс (1972) использовали промежуточные якобианы, чтобы показать, что неособые трехмерные кубические многообразия не рациональны , даже если они унирациональны .

См. Также [ править ]

Когомологии Делиня

Ссылки [ править ]

Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филлип А. (1972), "Промежуточный якобиан кубики", Анналы математики , второй серии 95 (2): 281-356, CiteSeerX 10.1.1.401.4550 , DOI : 10,2307 / 1970801 , ISSN 0003 -486X , JSTOR 1970801 , Руководство по ремонту 0302652
Гриффитс, Филип А. (1968), "Периоды интегралов на алгебраических многообразиях I. Построение и свойства модульных сортов.", Американский журнал математики , 90 (2): 568-626, DOI : 10,2307 / 2373545 , ISSN 0002 -9327 , JSTOR 2373545 , Руководство по ремонту 0229641
Гриффитс, Филип А. (1968b), "Периоды интегралов на алгебраических многообразиях II Локальное исследование отображения периодов." . , Американский журнал математики , 90 (3): 805-865, DOI : 10,2307 / 2373485 , ISSN 0002- 9327 , JSTOR 2373485 , MR 0233825
Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), принципы алгебраической геометрии , библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , DOI : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
Куликов В.С. (2001) [1994], "Промежуточный якобиан" , Энциклопедия математики , EMS Press
Вейль, Андре (1952), "О многообразиях Пикара", Американский журнал математики , 74 (4): 865-894, DOI : 10,2307 / 2372230 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372230 , MR 0050330