Инвариантность домена

Инвариантность области — теорема топологии о гомеоморфных подмножествах евклидова пространства . Говорится: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Теорема и ее доказательство принадлежат Л. Дж. Брауэру , опубликованному в 1912 году . ^[1] Доказательство использует инструменты алгебраической топологии , в частности, теорему Брауэра о неподвижной точке .

Вывод теоремы можно эквивалентно сформулировать так: « является открытым отображением ».${\ Displaystyle е}$

Обычно, чтобы проверить, что это гомеоморфизм, нужно было бы проверить, что обе функции и их обратные функции непрерывны; теорема говорит, что если домен является открытым подмножеством и изображение также находится в нем, то непрерывность является автоматической. Кроме того, теорема говорит, что если два подмножества и гомеоморфны и открыты, то также должны быть открыты. (Обратите внимание, что открыто как подмножество, а не только в топологии подпространства. Открытость в топологии подпространства является автоматической.) Оба эти утверждения вовсе не очевидны и, как правило, неверны, если покинуть евклидово пространство.${\ Displaystyle е}$${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle е ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п},}$${\ Displaystyle е ^ {- 1}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п},}$${\ Displaystyle В}$

Карта, не являющаяся гомеоморфизмом на свой образ: с${\ Displaystyle г: (-1.1,1) \ к \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle г (т) = \ влево (т ^ {2} -1, т ^ {3} -т \ вправо).}$