Обратное гауссово распределение

Обратный гауссовский

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Обозначение	${\displaystyle \operatorname {IG} \left(\mu ,\lambda \right)}$
Параметры	${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle \lambda >0}$
Поддерживать	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left[-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right]}$
CDF	${\displaystyle \Phi \left({\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}-1\right)\right)}$ ${\displaystyle {}+\exp \left({\frac {2\lambda }{\mu }}\right)\Phi \left(-{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}+1\right)\right)}$ где - стандартное нормальное (стандартное гауссово) распределение cdf${\displaystyle \Phi }$
Иметь в виду	${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {E} [{\frac {1}{X}}]={\frac {1}{\mu }}+{\frac {1}{\lambda }}}$
Режим	${\displaystyle \mu \left[\left(1+{\frac {9\mu ^{2}}{4\lambda ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}-{\frac {3\mu }{2\lambda }}\right]}$
Дисперсия	${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [{\frac {1}{X}}]={\frac {1}{\mu \lambda }}+{\frac {2}{\lambda ^{2}}}}$
Асимметрия	${\displaystyle 3\left({\frac {\mu }{\lambda }}\right)^{1/2}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {15\mu }{\lambda }}}$
MGF	${\displaystyle \exp \left[{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}t}{\lambda }}}}\right)}\right]}$
CF	${\displaystyle \exp \left[{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}\mathrm {i} t}{\lambda }}}}\right)}\right]}$

В теории вероятностей , то обратное распределение Гаусса (также известное как распределение Wald ) является двухпараметрическим семейством непрерывных вероятностных распределений с поддержкой на (0, ∞).

Его функция плотности вероятности определяется выражением

${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}{\biggr )}}$

для x > 0, где - среднее значение, а - параметр формы. ^[1]${\displaystyle \mu >0}$${\displaystyle \lambda >0}$

Когда λ стремится к бесконечности, обратное гауссово распределение становится больше похожим на нормальное (гауссово) распределение . Обратное гауссово распределение имеет несколько свойств, аналогичных гауссовскому распределению. Название может вводить в заблуждение: это «обратное» только в том смысле, что, в то время как гауссиан описывает уровень броуновского движения в фиксированный момент времени, обратный гауссовский тип описывает распределение времени, которое требуется броуновскому движению с положительным дрейфом для достижения фиксированного положительного значения. уровень.

Его кумулянтная производящая функция (логарифм характеристической функции) является обратной к кумулянтной производящей функции гауссовой случайной величины.

Чтобы указать, что случайная величина X имеет обратное распределение по Гауссу со средним значением μ и параметром формы λ, мы пишем .${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,\!}$

Свойства [ править ]

Форма с одним параметром [ править ]

Функция плотности вероятности (pdf) обратного гауссова распределения имеет однопараметрическую форму, задаваемую формулой

${\displaystyle f(x;\mu ,\mu ^{2})={\frac {\mu }{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2x}}{\biggr )}.}$

В этой форме среднее и дисперсия распределения равны, ${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\text{Var}}(X).}$

Кроме того, кумулятивная функция распределения (cdf) однопараметрического обратного гауссова распределения связана со стандартным нормальным распределением соотношением

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X<x)&=\Phi (z_{1})+e^{\mu }\Phi (z_{2}),&{\text{for}}&\quad 0<x\leq \mu ,\\\Pr(X>x)&=\Phi (-z_{1})-e^{\mu }\Phi (z_{2}),&{\text{for}}&\quad x\geq \mu .\end{aligned}}}$

где и где - cdf стандартного нормального распределения. Переменные и связаны друг с другом тождеством${\displaystyle z_{1}={\frac {\mu }{x^{1/2}}}-x^{1/2}}$${\displaystyle z_{2}={\frac {\mu }{x^{1/2}}}+x^{1/2},}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle z_{2}^{2}=z_{1}^{2}+4\mu .}$

В форме с одним параметром MGF упрощается до

${\displaystyle M(t)=\exp[\mu (1-{\sqrt {1-2t}})].}$

Обратное гауссово распределение в форме с двумя параметрами может быть преобразовано в форму с одним параметром путем соответствующего масштабирования, где${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )}$${\displaystyle f(y;\mu _{0},\mu _{0}^{2})}$${\displaystyle y={\frac {\mu ^{2}x}{\lambda }},}$${\displaystyle \mu _{0}=\mu ^{3}/\lambda .}$

Стандартная форма обратного гауссова распределения:

${\displaystyle f(x;1,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-1)^{2}}{2x}}{\biggr )}.}$

Суммирование [ править ]

Если X _я имеет распределение для я  = 1, 2, ...,  п , и все X _я являются независимыми , то${\displaystyle \operatorname {IG} (\mu _{0}w_{i},\lambda _{0}w_{i}^{2})\,\!}$

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\mu _{0}\sum w_{i},\lambda _{0}\left(\sum w_{i}\right)^{2}\right).}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Var} (X_{i})}{\operatorname {E} (X_{i})}}={\frac {\mu _{0}^{2}w_{i}^{2}}{\lambda _{0}w_{i}^{2}}}={\frac {\mu _{0}^{2}}{\lambda _{0}}}}$

постоянно для всех i . Это необходимое условие для суммирования. В противном случае S не было бы распределено по Гауссу.

Масштабирование [ править ]

Для любого t > 0 выполняется

${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,tX\sim \operatorname {IG} (t\mu ,t\lambda ).}$

Экспоненциальная семья [ править ]

Обратное гауссово распределение является двухпараметрическим экспоненциальным семейством с естественными параметрами - λ / (2 μ ² ) и - λ / 2, а также природные статистики X и 1 / Х .

Связь с броуновским движением [ править ]

Пусть случайный процесс X _t задается формулой

${\displaystyle X_{0}=0\quad }$

${\displaystyle X_{t}=\nu t+\sigma W_{t}\quad \quad \quad \quad }$

где W _t - стандартное броуновское движение . То есть X _t - броуновское движение со сносом .${\displaystyle \nu >0}$

Тогда время первого прохождения фиксированного уровня по X _t распределяется согласно обратному гауссову:${\displaystyle \alpha >0}$

${\displaystyle T_{\alpha }=\inf\{t>0\mid X_{t}=\alpha \}\sim \operatorname {IG} \left({\frac {\alpha }{\nu }},\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu x)^{2}}{2\sigma ^{2}x}}{\biggr )}}$

(см. уравнение Шредингера ^[2], уравнение 19, Смолуховский ^[3] , уравнение 8, и Фолкса ^[4] , уравнение 1).

Когда дрейф равен нулю [ править ]

Обычный частный случай вышеизложенного возникает, когда броуновское движение не имеет дрейфа. В этом случае параметр μ стремится к бесконечности, и время первого перехода для фиксированного уровня α имеет функцию плотности вероятности

${\displaystyle f\left(x;0,\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp \left(-{\frac {\alpha ^{2}}{2\sigma ^{2}x}}\right)}$

(см. также Башелье ^{[5] : 74 [6] : 39} ). Это распределение Леви с параметрами и .${\displaystyle c=\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}}$${\displaystyle \mu =0}$

Максимальная вероятность [ править ]

Модель, где

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda w_{i}),\,\,\,\,\,\,i=1,2,\ldots ,n}$

со всеми известными w _i, неизвестными ( μ ,  λ ) и независимыми X _i имеет следующую функцию правдоподобия

${\displaystyle L(\mu ,\lambda )=\left({\frac {\lambda }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{X_{i}^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\lambda }{\mu }}\sum _{i=1}^{n}w_{i}-{\frac {\lambda }{2\mu ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}-{\frac {\lambda }{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{X_{i}}}\right).}$

Решение уравнения правдоподобия дает следующие оценки максимального правдоподобия

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {1}{\widehat {\lambda }}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {1}{X_{i}}}-{\frac {1}{\widehat {\mu }}}\right).}$

${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$и независимы и${\displaystyle {\widehat {\lambda }}}$

${\displaystyle {\widehat {\mu }}\sim \operatorname {IG} \left(\mu ,\lambda \sum _{i=1}^{n}w_{i}\right),\qquad {\frac {n}{\widehat {\lambda }}}\sim {\frac {1}{\lambda }}\chi _{n-1}^{2}.}$

Выборка из обратного гауссова распределения [ править ]

Можно использовать следующий алгоритм. ^[7]

Сгенерируйте случайную переменную из нормального распределения со средним значением 0 и стандартным отклонением, равным 1

${\displaystyle \displaystyle \nu \sim N(0,1).}$

Возвести значение в квадрат

${\displaystyle \displaystyle y=\nu ^{2}}$

и использовать соотношение

${\displaystyle x=\mu +{\frac {\mu ^{2}y}{2\lambda }}-{\frac {\mu }{2\lambda }}{\sqrt {4\mu \lambda y+\mu ^{2}y^{2}}}.}$

Создайте еще одну случайную переменную, на этот раз выбранную из равномерного распределения от 0 до 1.

${\displaystyle \displaystyle z\sim U(0,1).}$

Если затем вернуться, еще вернуться${\displaystyle z\leq {\frac {\mu }{\mu +x}}}$${\displaystyle \displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{x}}.}$

Пример кода на Java :

общедоступный  двойной  inverseGaussian ( двойной  mu ,  двойной  лямбда )  {  Random  rand  =  new  Random ();  двойной  v  =  рандом . nextGaussian ();  // Выборка из нормального распределения со средним значением 0 и 1 стандартным отклонением  double  y  =  v  *  v ;  двойной  x  =  mu  +  ( mu  *  mu  *  y )  /  ( 2  *  лямбда)  -  ( мю  /  ( 2  *  лямбда ))  *  Мат . sqrt ( 4  *  му  *  лямбда  *  у  +  му  *  му  *  у  *  у );  двойной  тест  =  рандом . nextDouble ();  // Выборка из равномерного распределения от 0 до 1  if  ( test  <=  ( mu )  /  ( mu  +  x ))  return х ;  иначе  return  ( mu  *  mu )  /  x ; }

И чтобы построить распределение Вальда в Python с помощью matplotlib и NumPy :

импортировать  matplotlib.pyplot  как  plt импортировать  numpy  как  nph  =  plt . hist ( np . random . wald ( 3 ,  2 ,  100000 ),  ячейки = 200 ,  плотность = True )plt . показать ()

Связанные дистрибутивы [ править ]

• Если , то для любого числа ^[1]${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}$${\displaystyle kX\sim \operatorname {IG} (k\mu ,k\lambda )}$${\displaystyle k>0.}$
• Если тогда${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} (n\mu ,n^{2}\lambda )\,}$
• Если на то${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n\,}$${\displaystyle {\bar {X}}\sim \operatorname {IG} (\mu ,n\lambda )\,}$
• Если тогда${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu _{i},2\mu _{i}^{2})\,}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},2\left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\right)^{2}\right)\,}$
• Если , то . ^[8]${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}$${\displaystyle \lambda (X-\mu )^{2}/\mu ^{2}X\sim \chi ^{2}(1)}$

Свертка обратного распределения Гаусса (распределение Вальда) и экспоненты (распределение бывшего Вальда) используется в качестве модели времени отклика в психологии ^[9] с визуальным поиском в качестве одного примера. ^[10]

История [ править ]

Это распределение, по-видимому, было впервые получено в 1900 году Луи Башелье ^{[5] [6],} когда акция впервые достигла определенной цены. В 1915 году он независимо использовался Эрвином Шредингером ^[2] и Марианом фон Смолуховски ^[3] как время первого прохождения броуновского движения. В области моделирования воспроизводства она известна как функция Хадвигера в честь Хьюго Хадвигера , описавшего ее в 1940 году. ^[11] Абрахам Вальд повторно вывел это распределение в 1944 году ^[12] как предельную форму выборки в последовательном соотношении вероятностей. тест. Название инверсный гауссовский предложил Морис Твиди.в 1945 г. ^[13] Твиди исследовал это распределение в 1956 ^[14] и 1957 ^{[15] [16]} и установил некоторые его статистические свойства. Распределение было подробно рассмотрено Фолксом и Чикарой в 1978 г. ^[4]

Числовые вычисления и программное обеспечение [ править ]

Несмотря на простую формулу для функции плотности вероятности, численные вычисления вероятности для обратного распределения Гаусса, тем не менее, требуют особой осторожности для достижения полной машинной точности в арифметике с плавающей запятой для всех значений параметров. ^[17] Функции для обратного гауссовского распределения предоставляются для языка программирования R несколькими пакетами, включая rmutil, ^{[18] [19]} SuppDists, ^[20] STAR, ^[21] invGauss, ^[22] LaplacesDemon, ^[23] и statmod. . ^[24]

См. Также [ править ]

• Обобщенное обратное гауссово распределение
• Распределения Твиди - обратное распределение Гаусса является членом семейства моделей экспоненциальной дисперсии Твиди.
• Время остановки

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Хёйланд, Арнльот ; Раусанд, Марвин (1994). Теория надежности системы . Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-59397-3.
• Сешадри, В. (1993). Обратное гауссовское распределение . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-852243-0.

Внешние ссылки [ править ]

• Обратное распределение Гаусса на сайте Wolfram.