Обратное преобразование Лапласа

В математике , то обратное преобразование Лапласа функции Р ( х ) является кусочно-непрерывным и экспоненциально ограничено действительная функция F ( т ) , которая обладает свойством:

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {е \} (s) = {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} (s) = F (s),}

где обозначает преобразование Лапласа . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

Можно доказать, что если функция F ( s ) имеет обратное преобразование Лапласа f ( t ), то f ( t ) определяется однозначно (учитывая функции, которые отличаются друг от друга только на точечном множестве, имеющем нулевую меру Лебега, как одно и тоже). Этот результат был впервые доказан Матиасом Лерхом в 1903 году и известен как теорема Лерха. ^[1]^[2]

Преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа вместе обладают рядом свойств, которые делают их полезными для анализа линейных динамических систем .

Обратная формула Меллина [ править ]

Интегральная формула для обратного преобразования Лапласа , называется обратной формулой Меллина , в Бромвич интеграла , или Фурье - Меллина интеграла , задается интегралом линии :

{\ displaystyle f (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {F (s) \} (t) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {\ gamma -iT} ^ {\ gamma + iT} e ^ {st} F (s) \, ds}

где интегрирование производится по вертикали Re ( ы ) = гамма в комплексной плоскости таким образом, что γ больше , чем реальная часть всех особенностей в F ( х ) и F ( s ) ограничена по линии, например , если контурная траектория находится в зоне схождения . Если все особенности находятся в левой полуплоскости или F ( s ) является целой функцией , то γ можно установить равным нулю, и приведенная выше формула обратного интеграла становится идентичной обратному преобразованию Фурье .

На практике вычисление комплексного интеграла может быть выполнено с помощью теоремы Коши о вычетах .

Формула обращения Поста [ править ]

Формула обращения Поста для преобразований Лапласа , названная в честь Эмиля Поста , ^[3] является простой на вид, но обычно непрактичной формулой для оценки обратного преобразования Лапласа .

Формула формулируется следующим образом: пусть f ( t ) - непрерывная функция экспоненциального порядка на интервале [0, ∞), т. Е.

{\ displaystyle \ sup _ {t> 0} {\ frac {f (t)} {e ^ {bt}}} <\ infty}

для некоторого действительного числа b . Тогда для всех s > b преобразование Лапласа для f ( t ) существует и бесконечно дифференцируемо по s . Кроме того, если F ( s ) является преобразованием Лапласа для f ( t ), то обратное преобразование Лапласа для F ( s ) задается формулой

{\ Displaystyle F (T) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {F (s) \} (t) = \ lim _ {k \ to \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}} \ left ({\ frac {k} {t}} \ right) ^ {k + 1} F ^ {(k)} \ left ({\ frac {k} {t }}\верно)}

при t > 0, где F ^{( k )} - k -я производная F по s .

Как видно из формулы, необходимость оценивать производные произвольно высоких порядков делает эту формулу непрактичной для большинства целей.

С появлением мощных персональных компьютеров основные усилия по использованию этой формулы были связаны с приближением или асимптотическим анализом обратного преобразования Лапласа с использованием дифференциального интеграла Грюнвальда – Летникова для вычисления производных.

Инверсия Пост вызвал интерес в связи с улучшением вычислительной науки и тот факт , что не нужно знать , где полюса из F ( х ) лежат, которые позволяют вычислить асимптотику при больших х с помощью обратного преобразования Меллина для нескольких арифметические функции, связанные с гипотезой Римана .

Программные инструменты [ править ]

InverseLaplaceTransform выполняет символические обратные преобразования в системе Mathematica
Численное обращение преобразования Лапласа с многократной точностью с использованием комплексной области в системе Mathematica дает численные решения ^[4]
ilaplace выполняет символические обратные преобразования в MATLAB
Численное обращение преобразований Лапласа в Matlab
Численное обращение преобразований Лапласа на основе концентрированных матрично-экспоненциальных функций в Matlab

См. Также [ править ]

Обратное преобразование Фурье
Формула суммирования Пуассона

Ссылки [ править ]

^ Коэн, AM (2007). «Формулы обращения и практические результаты». Численные методы обращения преобразования Лапласа . Численные методы и алгоритмы. 5 . п. 23. DOI : 10.1007 / 978-0-387-68855-8_2 . ISBN 978-0-387-28261-9.
^ Лерх, М. (1903). "Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel" . Acta Mathematica . 27 : 339. DOI : 10.1007 / BF02421315 .
^ Сообщение, Эмиль Л. (1930). «Обобщенная дифференциация» . Труды Американского математического общества . 32 (4): 723–723. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1930-1501560-X . ISSN 0002-9947 .
^ Abate, J .; Валко, П.П. (2004). «Многоточное обращение преобразования Лапласа». Международный журнал численных методов в инженерии . 60 (5): 979. DOI : 10.1002 / nme.995 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Дэвис, Б.Дж. (2002), Интегральные преобразования и их приложения (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95314-4
Манжиров, А.В.; Полянин, Андрей Д. (1998), Справочник по интегральным уравнениям , Лондон: CRC Press , ISBN 978-0-8493-2876-3
Боас, Мэри (1983), Математические методы в физических науках , John Wiley & Sons , стр. 662 , ISBN 0-471-04409-1 (стр. 662 или поиск в указателе "Интеграл Бромвича", хорошее объяснение, показывающее связь с преобразованием Фурье)
Виддер, Д.В. (1946), Преобразование Лапласа , Princeton University Press
Элементарное обращение преобразования Лапласа . Брайан, Курт. По состоянию на 14 июня 2006 г.

Внешние ссылки [ править ]

Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Эта статья включает в себя материал из обратной формулы Меллина из PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

[1] Коэн, AM (2007). «Формулы обращения и практические результаты». Численные методы обращения преобразования Лапласа . Численные методы и алгоритмы. 5 . п. 23. DOI : 10.1007 / 978-0-387-68855-8_2 . ISBN 978-0-387-28261-9.

[2] Лерх, М. (1903). "Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel" . Acta Mathematica . 27 : 339. DOI : 10.1007 / BF02421315 .

[Post1930-3] Сообщение, Эмиль Л. (1930). «Обобщенная дифференциация» . Труды Американского математического общества . 32 (4): 723–723. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1930-1501560-X . ISSN 0002-9947 .

[4] Abate, J .; Валко, П.П. (2004). «Многоточное обращение преобразования Лапласа». Международный журнал численных методов в инженерии . 60 (5): 979. DOI : 10.1002 / nme.995 .

[1]