Обратная функция

В математике обратная функция функции f (также называемая обратной f ) — это функция , которая отменяет операцию f . Обратное к f существует тогда и только тогда, когда f биективно , и если оно существует, то обозначается${\ Displaystyle е ^ {- 1}.}$

Для функции обратная функция допускает явное описание: она переводит каждый элемент в уникальный элемент такой, что f ( x ) = y .${\ Displaystyle е \ двоеточие X \ к Y}$${\ Displaystyle е ^ {- 1} \ двоеточие Y \ к X}$${\ Displaystyle у \ в Y}$${\ Displaystyle х \ в X}$

В качестве примера рассмотрим функцию с действительным знаком действительной переменной, заданную как f ( x ) = 5 x − 7 . Можно думать о f как о функции, которая умножает свои входные данные на 5, а затем вычитает 7 из результата. Чтобы отменить это, к входным данным добавляется 7, а затем результат делится на 5. Следовательно, обратная функция f — это функция, определяемая формулой${\ Displaystyle е ^ {- 1} \ двоеточие \ mathbb {R} \ к \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = {\ frac {y + 7} {5}}.}$

Пусть f будет функцией, областью определения которой является множество X , а областью определения является множество Y . Тогда f обратима , если существует функция g из Y в X такая, что для всех и для всех . ^[1]${\ Displaystyle г (е (х)) = х}$${\ Displaystyle х \ в X}$${\ Displaystyle е (г (у)) = у}$${\ Displaystyle у \ в Y}$

Если f обратима, то существует ровно одна функция g, удовлетворяющая этому свойству. Функция g называется обратной функцией f и обычно обозначается как f ⁻¹ — обозначение, введенное Джоном Фредериком Уильямом Гершелем в 1813 году. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [nb 1]}

Функция f обратима тогда и только тогда, когда она биективна. Это потому , что условие для всех подразумевает, что f инъективно , а условие для всех подразумевает, что f сюръективно .${\ Displaystyle г (е (х)) = х}$${\ Displaystyle х \ в X}$${\ Displaystyle е (г (у)) = у}$${\ Displaystyle у \ в Y}$

Функция f и ее обратная функция f ⁻¹ . Поскольку f отображает a в 3, обратный f ⁻¹ отображает 3 обратно в a .

Если f отображает X в Y , то f ⁻¹ отображает Y обратно в X .

Обратное к g  ∘  f есть f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ .

Графики y = f ( x ) и y = f ⁻¹ ( x ) . Пунктирная линия y = x .

Квадратный корень из x является частично обратным к f ( x ) = x ² .

Обратная эта кубическая функция имеет три ветви.

Арксинус - это частичная обратная функция синуса .

Пример правой обратной с неинъективной сюръективной функцией