В римановой геометрии , изопараметрическая многообразие представляет собой тип (погруженный) подмногообразия в евклидове пространства которого нормального расслоение является плоским , и чьими главными кривизны постоянны вдоль любого параллельного нормального векторного поля. Набор изопараметрических многообразий устойчив по отношению к течению средней кривизны .
Примеры [ править ]
Прямая на плоскости - очевидный пример изопараметрического многообразия. Любое аффинное подпространство евклидова n-мерного пространства также является примером, поскольку главные кривизны любого оператора формы равны нулю. Другой простейший пример изопараметрического многообразия - сфера в евклидовом пространстве.
Другой пример выглядит следующим образом. Предположим , что G является группой Ли и G / H является симметричное пространство с каноническим разложением
из алгебры Ли г из G в прямую сумму (ортогональной по отношению к форме Киллинга ) алгебры Ли ч или H с дополнительным подпространстве р . Тогда основная орбита из присоединенного представления из Н на р является изопараметрическим многообразием в р . Неглавные орбиты являются примерами так называемых подмногообразий с главной постоянной кривизной.. Фактически, по теореме Торбергссона любое полное, полное и неприводимое изопараметрическое подмногообразие коразмерности> 2 является орбитой s-представления, т. Е. H-орбитой, как указано выше, где симметрическое пространство G / H не имеет плоского фактора.
Теория изопараметрических подмногообразий глубоко связана с теорией групп голономии . Фактически любое изопараметрическое подмногообразие расслаивается на трубки голономии подмногообразия с постоянной главной кривизной, т. Е. Фокального подмногообразия. Статья «Подмногообразия с постоянной главной кривизной и нормальные группы голономии» [1] является очень хорошим введением в такую теорию. Более подробные объяснения голономических трубок и фокализаций см. В книге Подмногообразия и голономия . [2]
Ссылки [ править ]
- ^ Э. Хайнце, К. Олмос и Г. Торбергссон (1991) Подмногообразия с постоянной принципиальной кривизной и нормальными группами голономии , Международный журнал математики 2: 167–75
- ^ Дж. Берндт, С. Консоль и К. Олмос (2003) Подмногообразия и голономия , Чепмен и Холл
- Ферус Д., Керхер Х. и Мюнцнер Х. Ф. (1981). "Cliffordalgebren und neue isoparametrische Hyperflächen". Математика. Z . 177 (4): 479–502. DOI : 10.1007 / BF01219082 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- Palais, RS и Terng, CL (1987). «Общая теория канонических форм» . Труды Американского математического общества . Труды Американского математического общества, Vol. 300, No. 2. 300 (2): 771–789. DOI : 10.2307 / 2000369 . JSTOR 2000369 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- Terng, CL (1985). «Изопараметрические подмногообразия и их группы Кокстера» . Журнал дифференциальной геометрии . 21 : 79–107. DOI : 10.4310 / JDG / 1214439466 .
- Торбергссон, Г. (1991). «Изопараметрические подмногообразия и их построения». Аня. Математика. 133 : 429–446. DOI : 10.2307 / 2944343 . JSTOR 2944343 .
См. Также [ править ]
