Групповое действие

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Фактор группа (Полу-) прямое произведение Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема Холла р-группа Элементарная абелева группа группа Фробениуса Множитель Шура Симметрическая группа Sn Кляйн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Бесплатная группа Модульные группы ПСЛ(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ПЛ(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические и группы Ли соленоид Круг Общий линейный GL( n ) Специальный линейный SL( n ) Ортогональный O( n ) Евклидово E( n ) Специальный ортогональный SO( n ) Унитарное U( n ) Специальные унитарные SU( n ) Симплектический Sp( n ) Г 2 Ф 4 Е 6 Е 7 Е 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли О (∞) СУ (∞) Сп (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа абелева разновидность Эллиптическая кривая
в т е

В математике групповое действие на пространстве — это групповой гомоморфизм данной группы в группу преобразований пространства. Точно так же действие группы на математическую структуру является групповым гомоморфизмом группы в группу автоморфизмов структуры. Говорят, что группа воздействует на пространство или структуру. Если группа воздействует на структуру, она обычно действует и на объекты, построенные на основе этой структуры. Например, группа евклидовых изометрий действует на евклидовом пространствеа также на нарисованных в нем фигурах. В частности, он действует на множестве всех треугольников . Аналогично группа симметрий многогранника действует на вершины , ребра и грани многогранника .

Действие группы на (конечномерном) векторном пространстве называется представлением группы. Это позволяет отождествить многие группы с подгруппами GL( n , K ) , группы обратимых матриц размерности n над полем K .

Симметрическая группа Sn действует на любом множестве из _n элементов, переставляя элементы множества. Хотя группа всех перестановок множества формально зависит от множества, понятие группового действия позволяет рассматривать единую группу для изучения перестановок всех множеств одинаковой мощности .

Определение

Действие левой группы

Если G — группа с единичным элементом e , а X — множество, то ( левое ) групповое действие α группы G на X является функцией

${\displaystyle \alpha \colon G\times X\to X,}$

которое удовлетворяет следующим двум аксиомам: ^[1]

Личность:	${\displaystyle \alpha (e,x)=x}$
Совместимость:	${\displaystyle \alpha \left(g,\alpha \left(h,x\right)\right)=\alpha \left(gh,x\right)}$

(где α ( g , x ) часто сокращается до gx или g ⋅ x , когда рассматриваемое действие ясно из контекста):

Личность:	${\displaystyle e\cdot x=x}$
Совместимость:	${\displaystyle g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x}$

для всех g и h в G и всех x в X .

Говорят, что группа G действует на X (слева). Множество X вместе с действием группы G называется ( левым ) G - множеством .

Из этих двух аксиом следует, что для любого фиксированного g в G функция из X в себя, которая отображает x в g ⋅ x , является биекцией с обратной биекцией, соответствующей картой для g ⁻¹ . Поэтому можно эквивалентно определить групповое действие G на X как групповой гомоморфизм из G в симметрическую группу Sym( X ) всех биекций из X в себя. ^[2]

Правильное групповое действие

Точно так же правое групповое действие группы G на X является функцией

${\displaystyle \alpha \colon X\times G\to X,}$

удовлетворяющая аналогичным аксиомам: ^[3]

Личность:	${\displaystyle \alpha (x,e)=x}$
Совместимость:	${\displaystyle \alpha \left(\alpha \left(x,g\right),h\right)=\alpha \left(x,gh\right)}$

(где α ( x , g ) часто сокращается до xg или x ⋅ g , когда рассматриваемое действие ясно из контекста)

Личность:	${\displaystyle x\cdot e=x}$
Совместимость:	${\displaystyle (x\cdot g)\cdot h=x\cdot (gh)}$

для всех g и h в G и всех x в X .

Разница между левыми и правыми действиями заключается в порядке, в котором произведение gh действует на x . Для левого действия сначала действует h , а затем - g . При правильном действии сначала действует g , а затем h . Из-за формулы ( gh ) ⁻¹ = h ⁻¹ g ⁻¹ левое действие может быть построено из правого действия путем компоновки с обратной операцией группы. Кроме того, правое действие группы G на X можно рассматривать как левое действие противоположной ей группы G ^op на X.Х .

Таким образом, для установления общих свойств групповых действий достаточно рассматривать только левые действия. Однако бывают случаи, когда это невозможно. Например, умножение группы индуцирует как левое, так и правое действие на саму группу — умножение слева и справа соответственно.

Типы действий

Действие G на X называется:

• Транзитивный , еслиXнепустоиесли для каждой парыx,yвXсуществуетgвGтакой, что g ⋅ x = y . Например, действие симметрической группыXтранзитивно, действиеобщей линейной группыилиспециальной линейной группывекторного пространстваVна V ∖ {0}транзитивно, но действиеортогональной группыевклидова пространствоEне транзитивно на E∖ {0} (однако он транзитивен на единичной сфере E ) .
• Верный (илиэффективным ), если для любых двух различныхg,hвGсуществуетxвXтакое, что g ⋅ x ≠ h ⋅ x ; или, что то же самое, если для каждого g ≠ e вGсуществуетxвXтакой, что g ⋅ x ≠ x . Другими словами, в точном групповом действии разные элементыGиндуцируют разные перестановкиX. ^[a] В алгебраических терминах группаG точно действует на X тогда и только тогда, когда соответствующий гомоморфизм симметрической группе G → Sym( X ) имеет тривиальное ядро . Таким образом, для точного действия G вкладывается в группу подстановок на X ; в частности, G изоморфна своему образу в Sym( X ). Если G не действует точно на X , мы можем легко модифицировать группу, чтобы получить точное действие. Если мы определим N = { г в G  : г ⋅ х = хдля всех x в X } , то N нормальная подгруппа в G ; действительно, это ядро ​​гомоморфизма G → Sym( X ) . Фактор- группа G / N точно действует на X , устанавливая ( gN )⋅ x = g ⋅ x . Исходное действие G на X точно тогда и только тогда, когда N = { e }. Наименьшее множество, на котором можно определить точное действие, может сильно различаться для групп одинакового размера. Например:
  • Три группы размера 120 — это симметрическая группа S5 , _{икосаэдрическая} группа и циклическая группа . Наименьшие множества, на которых можно определить точные действия, имеют размер 5, 12 и 16 соответственно.${\displaystyle \mathbb {Z} /120\mathbb {Z} }$
  • Абелевы группы размера 2 ⁿ включают циклическую группу , а также ( прямой продукт n копий ) , но последний действует точно на множестве размера 2 n , тогда как первый не может действовать точно на множестве, меньшем, чем он сам.${\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• Свободный (илиполурегулярныйилисвободный от фиксированных точек), если для заданныхg,hвGсуществованиеxвXс g ⋅ x = h ⋅ x подразумевает g = h . Эквивалентно: еслиg- элемент группы и существуетxвXс g ⋅ x = x (то есть, еслиgимеет хотя бы одну неподвижную точку), тоgявляется личностью. Заметим, что свободное действие на непустом множестве является точным.
• Обычный (илипросто транзитивно илирезко транзитивно), если оно одновременно транзитивно и свободно; это эквивалентно утверждению, что для любых двухx,yвXсуществует ровно одинgвGтакой, что g ⋅ x = y . В этом случаеXназываетсяглавным однородным пространствомдляGилиG-торсором. Действие любой группыGна себя левым умножением регулярно, а значит, и точно. Таким образом, каждая группа может быть вложена в симметричную группу на своих элементах Sym(G). Этот результат известен как теорема Кэли .
• n -транзитивным , если X имеет не менее n элементов и для всех различных x ₁ , ..., x _n и всех различных y ₁ , ..., y _n существует g в G такой, что g ⋅ x _k = y _k для 1 ≤ k ≤ n . 2-транзитивное действие также называетсядважды транзитивно , 3-транзитивное действие также называетсятрижды транзитивнои так далее. Такие действия определяют интересные классы подгрупп в симметричных группах:2-транзитивные группыи, в более общем случае,кратно транзитивные группы. Действие симметрической группы на множестве изnэлементов всегдаn-транзитивно; действиезнакопеременной группы(n − 2)-транзитивно.
• Точно n -транзитивным , если существует ровно один такойg.
• Примитивный , если он транзитивен и не сохраняет нетривиальных разделовX. Подробнее смгруппе примитивных перестановок.
• Локально свободна , если G — топологическая группа и существует окрестность U точки e в G такая, что ограничение действия на U свободно; то есть, если g ⋅ x = x для некоторого x и некоторого g в U , то g = e .

Кроме того, если G действует на топологическом пространстве X , то это действие:

• Блуждание ,если каждая точка x в X имеет конечнуюокрестность U. ^[4] Например, действиеonby translations является блуждающим. Действие модулярной группы на полуплоскости Пуанкаре также является блуждающим.${\displaystyle \{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Собственно разрывным , если X — локально компактное пространство и для любого компактного подмножества K  ⊂  X множество конечно. Блуждающие действия, приведенные выше, также должным образом разрывны. С другой стороны, действие на данное посредством является блуждающим и свободным, но не прерывистым в собственном смысле слова. ^[5]${\displaystyle \{g\in G:gK\cap K\neq \emptyset \}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$${\displaystyle n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)}$
• Собственный , еслиGтопологическая группа и отображение изявляетсясобственным. ^[6] ЕслиGдискретна,правильностьэквивалентна правильной разрывности дляG-действий.${\displaystyle G\times X\rightarrow X\times X:(g,x)\mapsto (g\cdot x,x)}$
• Говорят, что он имеет дискретные орбиты , если орбита каждого x в X под действием G дискретна в X . ^[4]
• Действие накрывающего пространства, если каждая точка x в X имеет окрестность U такую, что . ^[7]${\displaystyle \{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}=\{e\}}$

Если X — ненулевой модуль над кольцом R и действие группы G R - линейно, то говорят, что

• Неприводим , если нет ненулевого собственного инвариантного подмодуля.

Орбиты и стабилизаторы

Рассмотрим группу G , действующую на множестве X . Тоорбита элементаxвX— это множество элементов вX, к которымxможет быть перемещен элементамиG. Орбитаxобозначается:${\displaystyle G\cdot x}$

Определяющие свойства группы гарантируют, что множество орбит (точек x в ) X под действием G образует разбиение X . Ассоциированное отношение эквивалентности определяется следующим образом: тогда и только тогда , когда существует g в G с Орбиты являются классами эквивалентности в соответствии с этим отношением; два элемента x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда их орбиты совпадают, т. е.${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle g\cdot x=y.}$${\displaystyle G\cdot x=G\cdot y.}$

Действие группы транзитивно тогда и только тогда, когда оно имеет ровно одну орбиту, то есть если существует x в X с Это имеет место тогда и только тогда, когда для всех x в X (при условии, что X непусто).${\displaystyle G\cdot x=X.}$${\displaystyle G\cdot x=X}$

Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G (или реже: G \ X ) и называетсякоэффициент действия. В геометрических ситуациях его можно назватьпространство орбит , в то время как в алгебраических ситуациях его можно назвать пространствомкоинварианты и написаныв отличие от инвариантов (неподвижных точек), обозначенныхX ^G : коинварианты являютсячастными, а инварианты являютсяподмножеством. Коинвариантная терминология и обозначения используются, в частности, вгрупповых когомологияхигрупповых гомологиях, которые используют одно и то же соглашение над индексом и индексом.${\displaystyle X_{G},}$

Инвариантные подмножества

Если Y является подмножеством X , то обозначает множество Подмножество Y называется инвариантным относительно G , если (что эквивалентно ). В этом случае G также действует на Y , ограничивая действие Y . Подмножество Y называется фиксированным относительно G , если для всех g в G и всех y в Y . Каждое подмножество, фиксированное относительно G , также инвариантно относительно G , но не наоборот.${\displaystyle G\cdot Y}$${\displaystyle \{g\cdot y:g\in G{\text{ and }}y\in Y\}.}$${\displaystyle G\cdot Y=Y}$${\displaystyle G\cdot Y\subseteq Y}$${\displaystyle g\cdot y=y}$

Каждая орбита является инвариантным подмножеством X , на котором G действует транзитивно . И наоборот, любое инвариантное подмножество X является объединением орбит. Действие G на X транзитивно тогда и только тогда , когда все элементы эквивалентны, а это означает, что существует только одна орбита.

G-инвариантный элемент X таков , что для всех Множество всех таких x обозначается и называется G - инвариантами X . Когда X является G - модулем , ^XG является нулевой группой когомологий G с коэффициентами в X , а высшие группы когомологий являются производными функторами функтора от G - инвариантов.${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle g\cdot x=x}$${\displaystyle g\in G.}$${\displaystyle X_{G}}$

Неподвижные точки и подгруппы стабилизаторов

Для данных g в G и x в X говорят, что « x является неподвижной точкой g » или что « g фиксирует x ». Для каждого x в X${\displaystyle g\cdot x=x,}$стабилизирующая подгруппа Gотносительноx(также называемая группойизотропииилималой группой ^[8] ) — это множество всех элементов вG, которые фиксируютx:

Это подгруппа группы G , хотя обычно она не является нормальной. Действие группы G на X свободно тогда и только тогда, когда все стабилизаторы тривиальны. Ядро N гомоморфизма с симметрической группой задается пересечением стабилизаторов G _x для всех x в X . Если N тривиально, действие называется точным (или эффективным).${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (X),}$

Пусть x и y будут двумя элементами в X , и пусть будет таким групповым элементом, что Тогда две группы стабилизаторов и связаны Доказательством: по определению, если и только если Применение к обеим частям этого равенства дает , то есть Противоположное включение следует аналогично, взяв и предположив${\displaystyle g}$${\displaystyle y=g\cdot x.}$${\displaystyle G_{x}}$${\displaystyle G_{y}}$${\displaystyle G_{y}=gG_{x}g^{-1}.}$${\displaystyle h\in G_{y}}$${\displaystyle h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x.}$${\displaystyle g^{-1}}$${\displaystyle \left(g^{-1}hg\right)\cdot x=x;}$${\displaystyle g^{-1}hg\in G_{x}.}$${\displaystyle h\in G_{x}}$${\displaystyle x=g^{-1}\cdot y.}$

Выше сказано, что стабилизаторы элементов на одной орбите сопряжены друг с другом. Таким образом, каждой орбите можно поставить в соответствие класс сопряженности подгруппы G (т. е. множество всех сопряженных подгруппы). Обозначим класс сопряженности H . Тогда орбита O имеет тип , если стабилизатор некоторого/любого x в O принадлежит . Тип максимальной орбиты часто называют основным типом орбиты .${\displaystyle (H)}$${\displaystyle (H)}$${\displaystyle G_{x}}$${\displaystyle (H)}$

Теорема о стабилизаторе орбиты и лемма Бернсайда

Орбиты и стабилизаторы тесно связаны. Для фиксированного x в X рассмотрим карту , заданную По определению, образ этой карты есть орбита . Условие для двух элементов иметь одинаковый образ:${\displaystyle f:G\to X}$${\displaystyle g\mapsto g\cdot x.}$${\displaystyle f(G)}$${\displaystyle G\cdot x.}$

Другими словами, тогда и только тогда , когда и лежат в одном смежном классе для стабилизатора подгруппы . Таким образом, слой f над любым y из G · x содержится в таком смежном классе, и каждый такой смежный класс также встречается как слой. Поэтому f определяет взаимное соответствие между набором смежных классов для подгруппы стабилизатора и орбитой , которая посылает . ^[9] Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты .${\displaystyle f(g)=f(h)}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})}$${\displaystyle G/G_{x}}$${\displaystyle G\cdot x,}$${\displaystyle gG_{x}\mapsto g\cdot x}$

Если G конечна, то теорема о стабилизаторе орбиты вместе с теоремой Лагранжа дает

другими словами, длина орбиты, умноженная на порядок ее стабилизатора, равна порядку группы. В частности, это означает, что длина орбиты является делителем группового порядка.

Пример. Пусть G — группа простого порядка p , действующая на множестве X из k элементов. Поскольку каждая орбита имеет либо 1, либо p элементов, существуют по крайней мере орбиты длины 1, являющиеся G - инвариантными элементами.${\displaystyle k{\bmod {p}}}$

Этот результат особенно полезен, поскольку его можно использовать для подсчета аргументов (обычно в ситуациях, когда X также конечно).

Пример: мы можем использовать теорему о стабилизаторе орбиты для подсчета автоморфизмов графа . Рассмотрим кубический граф , как показано на рисунке, и пусть G обозначает его группу автоморфизмов . Тогда G действует на множестве вершин {1, 2,..., 8}, и это действие транзитивно, как можно увидеть, составив повороты вокруг центра куба. Таким образом, по теореме о стабилизаторе орбиты. Применяя теорему теперь к стабилизатору , мы можем получить Любой элемент G , который фиксирует 1, должен переводить 2 либо в 2, либо в 4, либо в 5. В качестве примера таких автоморфизмов рассмотрим вращение вокруг диагонали ось через 1 и 7 на${\displaystyle |G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.}$${\displaystyle G_{1},}$${\displaystyle |G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|.}$${\displaystyle 2\pi /3}$который переставляет 2,4,5 и 3,6,8 и фиксирует 1 и 7. Таким образом, применение теоремы в третий раз дает любой элемент G , который фиксирует 1 и 2, должен переводить 3 либо в 3, либо в 6. Отражение куба на плоскости через 1,2,7 и 8 есть такой автоморфизм, переводящий 3 в 6, таким образом . Также видно, что он состоит только из тождественного автоморфизма, так как любой элемент G , фиксирующий 1, 2 и 3, должен также фиксировать все остальные вершины, так как они определяются своей смежностью с 1, 2 и 3. Комбинируя предыдущие вычисления, мы можем теперь получить${\displaystyle \left|(G_{1})\cdot 2\right|=3.}$${\displaystyle |\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.}$${\displaystyle \left|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3\right|=2}$${\displaystyle \left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}}$${\displaystyle |G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48.}$

Результатом, тесно связанным с теоремой о стабилизаторе орбиты, является лемма Бернсайда :

где X ^g — множество точек, зафиксированных g . Этот результат полезен в основном, когда G и X конечны, когда его можно интерпретировать следующим образом: число орбит равно среднему числу фиксированных точек на элемент группы.

Фиксируя группу G , множество формальных разностей конечных G -множеств образует кольцо, называемое кольцом Бернсайда группы G , где сложение соответствует несвязному объединению , а умножение — декартовому произведению .

Примеры

• То тривиальное действие любой группыGна любом множествеXопределяется как g ⋅ x = x для всехgвGи всехxвX; то есть каждый элемент группы индуцируеттождественную перестановкунаX. ^[10]
• В каждой группе G левое умножение есть действие G на G : g ⋅ x = gx для всех g , x в G. Это действие свободно и транзитивно (регулярно) и составляет основу быстрого доказательства теоремы Кэли о том , что каждая группа изоморфна подгруппе симметрической группы перестановок множества G .
• В каждой группе G с подгруппой H левое умножение есть действие G на множестве смежных классов G/H : g ⋅ aH = gaH для всех g , a в G . В частности, если H не содержит нетривиальных нормальных подгрупп из G , это индуцирует изоморфизм из G в подгруппу группы подстановок степени [G : H] .
• В каждой группе G сопряжение есть действие G на G : g ⋅ x = gxg− ¹ . Для варианта правого действия обычно используется экспоненциальное обозначение: x ^g = g ⁻¹ xg ; он удовлетворяет ( x ^g ) ^час знак равно x ^gh .
• В каждой группе G с подгруппой H сопряжение есть действие группы G на сопряженных элементах H : g ⋅ K = gKg− ¹ для всех g в G и K сопряженных элементов H .
• Симметрическая группа Sn и ее подгруппы действуют на множестве {1,..., _n } , переставляя его элементы
• Группа симметрии многогранника действует на множестве вершин этого многогранника. Он также действует на множество граней или множество ребер многогранника.
• Группа симметрии любого геометрического объекта действует на множество точек этого объекта.
• Группа автоморфизмов векторного пространства (или графа , или группы, или кольца...) действует на векторное пространство (или множество вершин графа, или группу, или кольцо...).
• Общая линейная группа GL( n , K ) и ее подгруппы, в частности ее подгруппы Ли (включая специальную линейную группу SL( n , K ) , ортогональную группу O( n , K ) , специальную ортогональную группу SO( n , K ) , и симплектическая группа Sp( n , K ) ) являются группами Ли , действующими на векторном пространстве K ⁿ. Групповые операции задаются умножением матриц из групп на векторы из K ⁿ .
• Общая линейная группа GL( n , Z ) действует на Z ⁿ естественным матричным действием. Орбиты его действия классифицируются по наибольшему общему делителю координат вектора в Z ⁿ .
• Аффинная группа действует транзитивно на точки аффинного пространства , а подгруппа V аффинной группы (т. е. векторного пространства) имеет транзитивное и свободное (т. е. регулярное ) действие на эти точки; ^[11] действительно, это может быть использовано для определения аффинного пространства .
• Проективная линейная группа PGL ( n + 1, K ) и ее подгруппы, в частности ее подгруппы Ли, которые являются группами Ли, действующими на проективном пространстве P ⁿ ( K ). Это фактор действия общей линейной группы на проективном пространстве. Особенно примечательна PGL(2, K ) , симметрия проективной прямой, которая точно 3-транзитивна, сохраняя перекрестное отношение ; группа Мёбиуса PGL(2, C ) представляет особый интерес.
• Изометрии плоскости воздействуют на набор 2D-изображений и узоров, таких как узоры обоев . Определение можно уточнить, указав, что подразумевается под изображением или узором, например, функцией положения со значениями в наборе цветов. Изометрии на самом деле являются одним из примеров аффинной группы (действия). ^{[ сомнительно - обсудить ]}
• Множества, на которые действует группа G , составляют категорию G -множеств, в которых объекты являются G -множествами, а морфизмы являются гомоморфизмами G -множеств: функции f  : X → Y такие, что g ⋅( f ( x )) = f ( г ⋅ Икс ) для каждого г в G .
• Группа Галуа расширения поля L / K действует на поле L, но тривиально действует на элементы подполя K. Подгруппы Gal(L/K) соответствуют подполям L, содержащим K, т. е. промежуточному полю расширения между L и K.
• Аддитивная группа действительных чисел ( R , + ) действует на фазовое пространство « хороших » систем в классической механике (и в более общих динамических системах ) путем переноса времени : если t находится в R и x находится в фазе пространстве, то x описывает состояние системы, а t + x определяется как состояние системы через t секунд, если t положительное, или - t секунд назад, если t отрицательное.
• Аддитивная группа действительных чисел ( R , + ) по-разному действует на множество действительных функций вещественной переменной, причем ( t ⋅ f )( x ) равно, например, f ( x + t ) , f ( x ) + t , f ( xet ) , f ( x ) e ^t , f ( x + t ) e ^t , или f ( ^x e ^t)+ t , но не f ( xe ^t + t ) .
• Учитывая групповое действие G на X , мы можем определить индуцированное действие G на множестве мощности из X , полагая г ⋅ U = { г ⋅ U  : U ∈ U } для каждого подмножества U из X и любого г в G . Это полезно, например, при изучении действия большой группы Матье на 24-множестве и при изучении симметрии в некоторых моделях конечных геометрий .
• Кватернионы с нормой 1 ( версоры ) как мультипликативная группа действуют на R ³ : для любого такого кватерниона z = cos α /2 + v sin α /2 отображение f ( x ) = z x z ^∗ является вращение против часовой стрелки на угол α вокруг оси, заданной единичным вектором v ; z — то же вращение; см. кватернионы и пространственное вращение. Обратите внимание, что это не точное действие, потому что кватернион -1 оставляет все точки там, где они были, как и кватернион 1.
• Для заданных левых G - множеств существует левое G - множество , элементы которого являются G - эквивариантными отображениями и с левым G - действием, заданным (где " " указывает правое умножение на ). Это G -множество обладает тем свойством, что его неподвижные точки соответствуют эквивариантным отображениям ; в более общем смысле это экспоненциальный объект в категории G -множеств.${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle \alpha :X\times G\to Y}$${\displaystyle g\cdot \alpha =\alpha \circ (id_{X}\times -g)}$${\displaystyle -g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X\to Y}$

Групповые действия и группоиды

Понятие группового действия можно поместить в более широкий контекст, используя группоид действия , связанный с групповым действием, что позволяет использовать методы теории группоидов, такие как представления и расслоения . Далее стабилизаторы действия — это группы вершин, а орбиты действия — компоненты группоида действия. Дополнительные сведения см. в книге « Топология и группоиды », на которую ссылаются ниже.${\displaystyle G'=G\ltimes X}$

Этот группоид действия поставляется с морфизмом p :  G′ → G , который является покрывающим морфизмом группоидов . Это позволяет установить связь между такими морфизмами и покрывающими картами в топологии.

Морфизмы и изоморфизмы между G -множествами

Если X и Y - два G -множества, морфизм из X в Y - это функция f  : X → Y такая, что f ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x ) для всех g в G и всех x в X . Морфизмы G - множеств также называются эквивариантными отображениями или G-отображениями .

Композиция двух морфизмов снова является морфизмом. Если морфизм f биективен, то его обратный также является морфизмом. В этом случае f называется изоморфизмом , а два G - множества X и Y называются изоморфными ; для всех практических целей изоморфные G -множества неразличимы.

Некоторые примеры изоморфизмов:

• Каждое регулярное действие G изоморфно действию G на G , заданному левым умножением.
• Каждое свободное действие G изоморфно G × S , где S — некоторое множество, а G действует на G × S левым умножением по первой координате. ( S можно рассматривать как множество орбит X / G .)
• Каждое транзитивное действие G изоморфно левому умножению на G на множестве левых смежных классов некоторой подгруппы H группы G . ( H можно считать группой стабилизатора любого элемента исходного G -множества.)

При таком понятии морфизма совокупность всех G - множеств образует категорию ; эта категория является топосом Гротендика (на самом деле, если предположить классическую металогику, этот топос будет даже булевым).

Непрерывные групповые действия

Часто рассматриваются непрерывные групповые действия : группа G является топологической группой, X является топологическим пространством, а отображение G × X → X непрерывно относительно топологии произведения G × X. В этом случае пространство X также называется G-пространством . Это действительно обобщение, поскольку каждую группу можно рассматривать как топологическую группу, используя дискретную топологию . Все понятия, введенные выше, все еще работают в этом контексте, однако мы определяем морфизмы между G -пространствами какнепрерывные отображения, совместимые с действием группы G . Фактор -топология X / G наследует фактор-топологию от X и называется фактор-пространством действия. Приведенные выше утверждения об изоморфизмах для регулярных, свободных и транзитивных действий больше не справедливы для непрерывных групповых действий.

Если X является регулярным накрывающим пространством другого топологического пространства Y , то действие группы преобразований колоды на X является собственно разрывным и свободным. Каждое свободное, собственно разрывное действие группы G на линейно-связном топологическом пространстве X возникает таким образом: фактор-отображение X ↦ X / G является регулярным накрывающим отображением, а группа преобразований колоды — заданным действием группы G на X . Кроме того, если X односвязно, фундаментальная группа X/ G будет изоморфна G .

Эти результаты были обобщены в книге « Топология и группоиды», на которую ссылаются ниже, для получения фундаментального группоида пространства орбит разрывного действия дискретной группы в хаусдорфовом пространстве, как, при разумных локальных условиях, группоида орбит фундаментального группоида космос. Это позволяет выполнять такие вычисления, как фундаментальная группа симметричного квадрата пространства X , а именно пространство орбит произведения X на самого себя под действием кручения циклической группы порядка 2, переводящей ( x , y ) в ( y , x ) .

Действие группы G на локально компактном пространстве X кокомпактно , если существует компактное подмножество A пространства X такое, что GA = X . Для собственно разрывного действия кокомпактность эквивалентна компактности фактор-пространства X/G .

Действие G на X называется правильным , если отображение G × X → X × X , переводящее ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ) , является правильным отображением .

Сильно непрерывное групповое действие и гладкие точки

Групповое действие топологической группы G на топологическом пространстве X называется сильно непрерывным , если для всех x в X отображение g ↦ g ⋅ x непрерывно относительно соответствующих топологий. Такое действие индуцирует действие в пространстве непрерывных функций на X , определяя ( g ⋅ f )( x ) = f ( g ⁻¹ ⋅ x ) для каждого g в G , fнепрерывная функция на X и x в X . Обратите внимание, что, хотя каждое непрерывное групповое действие сильно непрерывно, обратное, вообще говоря, неверно. ^[12]

Подпространство гладких точек для действия — это подпространство X точек x таких, что g ↦ g ⋅ x является гладким, т. е. непрерывным и все производные ^{[ где? ]} непрерывны.

Варианты и обобщения

Мы также можем рассмотреть действия моноидов на множествах, используя те же две аксиомы, что и выше. Однако это не определяет биективные карты и отношения эквивалентности. См . действие полугруппы .

Вместо действий над множествами мы можем определить действия групп и моноидов над объектами произвольной категории: начать с объекта X некоторой категории, а затем определить действие на X как гомоморфизм моноида в моноид эндоморфизмов X . Если X имеет базовое множество, то все определения и факты, изложенные выше, могут быть перенесены. Например, если мы возьмем категорию векторных пространств, мы получим групповые представления таким образом.

Мы можем рассматривать группу G как категорию с единственным объектом, в котором каждый морфизм обратим. Тогда (левое) групповое действие есть не что иное, как (ковариантный) функтор из G в категорию множеств , а групповое представление есть функтор из G в категорию векторных пространств . Тогда морфизм между G-множествами является естественным преобразованием между функторами группового действия. По аналогии, действие группоида — это функтор из группоида в категорию множеств или в какую-либо другую категорию.

Помимо непрерывных действий топологических групп на топологических пространствах, также часто рассматриваются гладкие действия групп Ли на гладких многообразиях , регулярные действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях и действия групповых схем на схемах . Все это примеры групповых объектов, действующих на объекты соответствующей категории.

Галерея

• Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечен красным) под действием полной октаэдрической группы.

• Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечен красным) под действием полной группы икосаэдра.

Смотрите также

• График усиления
• Группа с операторами
• Измеримое групповое действие
• Моноидное действие

Примечания

Цитаты

использованная литература

• Ашбахер, Майкл (2000). Теория конечных групп . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78675-1. МР  1777008 .
• Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды , Booksurge PLC, ISBN 1-4196-2722-8 . 
• Категории и группоиды , П. Дж. Хиггинс , доступное для скачивания переиздание « Заметок ван Ностранда по математике» , 1971 г., в которых рассматриваются приложения группоидов в теории групп и топологии.
• Даммит, Дэвид; Ричард Фут (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-43334-9.
• Эйе, Миньинг; Чанг, Шоу-Те (2010). Курс абстрактной алгебры . Всемирная научная. ISBN 978-981-4271-88-2.
• Ротман, Джозеф (1995). Введение в теорию групп . Тексты для выпускников по математике 148 (4-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94285-8.
• Смит, Джонатан Д.Х. (2008). Введение в абстрактную алгебру . Учебники по математике. КПР Пресс. ISBN 978-1-4200-6371-4.

внешняя ссылка

• «Действие группы на многообразии» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Групповое действие» . Мир Математики .