В математике , то тождество Якоби является свойством бинарной операции , которая описывает , как порядок оценки, расстановка скобок в кратном продукта, влияет на результате операции. Напротив, для операций с ассоциативным свойством любой порядок оценки дает тот же результат (скобки в нескольких продуктах не нужны). Идентичность названа в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби .
Перекрестное произведение и операция скобки Ли оба удовлетворяют тождеству Якоби. В аналитической механике тождеству Якоби удовлетворяют скобки Пуассона . В квантовой механике ему удовлетворяют операторные коммутаторы в гильбертовом пространстве и, что эквивалентно, в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве - скобка Мойала .
Определение
Множество A с двумя бинарными операциями + и × с аддитивным тождеством 0 удовлетворяет тождеству Якоби, если:
Левая часть представляет собой сумму всех четных перестановок x × ( y × z ) : круглые скобки остаются неизменными, а буквы меняются местами четное количество раз.
Форма кронштейна коммутатора
Простейший информативный пример алгебры Ли строится из (ассоциативного) кольцаматрицы, которые можно рассматривать как бесконечно малые движения n- мерного векторного пространства. Операция × - это коммутатор , который измеряет отказ коммутативности при умножении матриц. Вместо, используются скобки Ли:
В этих обозначениях тождество Якоби:
Это легко проверить расчетом.
В более общем смысле, если A - ассоциативная алгебра, а V - подпространство в A , замкнутое при операции скобок:принадлежит V для всех, Тождество Якоби продолжает удерживать на V . [1] Таким образом, если бинарная операция удовлетворяет тождеству Якоби, можно сказать, что оно ведет себя так, как если бы оно было задано в некоторой ассоциативной алгебре, даже если она фактически не определена таким образом.
Использование свойства антисимметрии , тождество Якоби можно переписать как модификацию ассоциативного свойства :
Если есть действие бесконечно малого движения X на Z , которое можно сформулировать как:
Действие Y, за которым следует X (оператор), за вычетом действия X, за которым следует Y (оператор), равно действию , (оператор ).
Существует также множество градуированных тождеств Якоби, содержащих антикоммутаторы. , такой как:
Присоединенная форма
Наиболее распространенные примеры тождества Якоби - умножение скобок на алгебрах Ли и кольцах Ли . Личность Якоби записывается как:
Поскольку умножение скобок антисимметрично , тождество Якоби допускает две эквивалентные переформулировки. Определение сопряженного оператора , личность становится:
Таким образом, тождество Якоби для алгебр Ли утверждает, что действие любого элемента на алгебре является дифференцированием . Эта форма тождества Якоби также используется для определения понятия алгебры Лейбница .
Другая перестановка показывает, что тождество Якоби эквивалентно следующему тождеству между операторами присоединенного представления:
Здесь скобка слева - это операция исходной алгебры, скобка справа - коммутатор композиции операторов, а тождество утверждает, что отображение, переводящее каждый элемент в его присоединенное действие, является гомоморфизмом алгебры Ли .
Связанные личности
Идентичность Холла-Витта является аналогичным тождеством для коллекторной работы в группе .
Следующее тождество следует из антикоммутативности и тождества Якоби и имеет место в произвольной алгебре Ли: [2]
Смотрите также
- Структурные константы
- Супер идентичность Якоби
- Лемма о трех подгруппах (тождество Холла – Витта)
Рекомендации
- ^ Холл 2015 Пример 3.3
- ↑ Алексеев, Илья; Иванов, Сергей О. (18 апреля 2016 г.). «Высшие личности Якоби». arXiv : 1604.05281 .
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.