Жан-Франсуа Мертенс (11 марта 1946 - 17 июля 2012) был бельгийским теоретиком игр и экономистом-математиком. [1]
Жан-Франсуа Мертенс | |
---|---|
Родившийся | Антверпен, Бельгия | 11 марта 1946 г.
Умер | 17 июля 2012 г. [1] | (66 лет)
Национальность | Бельгия |
Альма-матер | Католический университет Лувена Docteur ès Sciences 1970 |
Награды | Член Эконометрического общества фон Неймана, преподаватель Общества теории игр |
Научная карьера | |
Поля | Теория игр Математическая экономика |
Докторант | Хосе Пэрис Жак Невё |
Влияния | Роберт Ауманн Рейнхард Зельтен Джон Харсаньи Джон фон Нейман |
Под влиянием | Клод д'Аспремон Бернар Де Мейер Амрита Диллон Франсуаза Форджес Жан Габшевич Шрихари Говиндан Абрахам Нейман Анна Рубинчик Сильвен Сорин |
Мертенс внес вклад в экономическую теорию в отношении книги заказов рыночных игр, кооперативных игр, некооперативных игр, повторяющихся игр, эпистемических моделей стратегического поведения и уточнений равновесия по Нэшу (см. Концепцию решения ). В теории кооперативных игр он внес вклад в концепции решения, названные ядром и ценностью Шепли .
Что касается повторяющихся игр и стохастических игр , обзорные статьи Мертенса 1982 [2] и 1986 [3] , а также его обзор 1994 [4], в соавторстве с Сильвеном Сорином и Шмуэлем Замиром, представляют собой сборник результатов по этой теме, включая его собственные статьи. Мертенс также внес вклад в теорию вероятностей [5] и опубликовал статьи по элементарной топологии. [6] [7]
Эпистемические модели
Мертенс и Замир [8] [9] реализовали предложение Джона Харсаньи по моделированию игр с неполной информацией, предполагая, что каждый игрок характеризуется частным образом известным типом, который описывает его возможные стратегии и выплаты, а также распределение вероятностей по другим игрокам. типы. Они построили универсальное пространство типов, в котором при определенных условиях согласованности каждый тип соответствует бесконечной иерархии его вероятностных представлений о вероятностных убеждениях других. Они также показали, что любое подпространство можно сколь угодно точно аппроксимировать конечным подпространством, что является обычной тактикой в приложениях. [10]
Повторные игры с неполной информацией
Пионерами повторных игр с неполной информацией стали Ауман и Машлер. [11] [12] Два вклада Жана-Франсуа Мертенса в эту область - это продолжение повторяющихся игр с нулевой суммой для двух человек с неполной информацией с обеих сторон как для (1) типа информации, доступной игрокам, так и (2) для сигнальная структура. [13]
- (1) Информация: Мертенс расширил теорию от независимого случая, когда личная информация игроков генерируется независимыми случайными величинами, до зависимого случая, когда корреляция разрешена.
- (2) Сигнальные структуры: стандартная теория сигнализации, где после каждого этапа оба игрока информируются о предыдущих сделанных ходах, была расширена, чтобы иметь дело с общей сигнальной структурой, где после каждого этапа каждый игрок получает частный сигнал, который может зависеть от ходов и от штат.
В этих установках Жан-Франсуа Мертенс предоставил расширение характеристики значений minmax и maxmin для бесконечной игры в зависимом случае с независимыми от состояния сигналами. [14] Кроме того, вместе с Шмуэлем Замиром [15] Жан-Франсуа Мертенс показал существование предельной ценности. Такое значение можно рассматривать как предел значений принадлежащий сценические игры, как уходит в бесконечность, или предел значений принадлежащий -игры со скидкой, поскольку агенты становятся более терпеливыми и .
Строительным блоком подхода Мертенса и Замира является построение оператора, который теперь в их честь называют просто оператором MZ. В непрерывном времени ( дифференциальные игры с неполной информацией) оператор МЦ становится бесконечно малым оператором, лежащим в основе теории таких игр. [16] [17] [18] Уникальное решение пары функциональных уравнений, Мертенс и Замир показали, что предельное значение может быть трансцендентной функцией, в отличие от maxmin или minmax (значение в случае полной информации). Мертенс также обнаружил точную скорость сходимости в случае игры с неполной информацией с одной стороны и общей сигнальной структурой. [19] Детальный анализ скорости сходимости n -этапного значения игры (конечно-повторяющегося) к ее пределу имеет глубокие связи с центральной предельной теоремой и нормальным законом, а также с максимальной вариацией ограниченных мартингалов . [20] [21] Нападая на изучение сложного случая игр с сигналами, зависящими от состояния и без рекурсивной структуры, Мертенс и Замир представили новые инструменты во введении, основанные на вспомогательной игре, сокращая набор стратегий до ядра, которое "статистически достаточно". [22] [23]
В совокупности вклад Жана-Франсуа Мертенса с Замиром (а также с Сорином) обеспечивает основу для общей теории повторяющихся игр с нулевой суммой для двух человек, которая охватывает стохастические и неполные информационные аспекты и где широко используются концепции, такие как репутация, границы рациональные уровни выплат, а также такие инструменты, как лемма о расщеплении, сигнализация и доступность. Хотя во многом работа Мертенса здесь восходит к изначальным корням теории игр фон Неймана с установкой двух человек с нулевой суммой, жизнеспособность и инновации с более широким применением были повсеместными.
Стохастические игры
Стохастические игры были введены Ллойдом Шепли в 1953 году. [24] В первой статье изучалась стохастическая игра с дисконтом двух лиц с нулевой суммой и конечным числом состояний и действий, а также продемонстрировано существование значения и стационарных оптимальных стратегий. Исследование недисконтированного случая развивалось в течение следующих трех десятилетий, с решениями частных случаев Блэквеллом и Фергюсоном в 1968 году [25] и Колбергом в 1974 году. Существование недисконтированного значения в очень сильном смысле, как единообразного значения, так и предельное среднее значение было доказано в 1981 году Жаном-Франсуа Мертенсом и Абрахамом Нейманом. [26] Изучение ненулевой суммы с общими пространствами состояний и действий привлекло большое внимание, и Мертенс и Партхасарати [27] доказали общий результат существования при условии, что переходы как функция состояния и действий , являются нормой непрерывной в своих действиях.
Рыночные игры: механизм ограничения цен
Мертенсу пришла в голову идея использовать линейную конкурентную экономику в качестве книги заказов (торговли) для моделирования лимитных заказов и обобщения двойных аукционов до многомерной системы. [28] Приемлемые относительные цены игроков выражаются их линейными предпочтениями, деньги могут быть одним из товаров, и в этом случае для агентов нормально иметь положительную предельную полезность для денег (в конце концов, на самом деле агенты - это просто заказы!). Фактически, это так для большинства порядков на практике. Более одного заказа (и соответствующего агента заказа) может исходить от одного и того же фактического агента. В состоянии равновесия проданный товар должен быть по относительной цене по сравнению с купленным товаром не ниже той, которая подразумевается функцией полезности. Товары, поступающие на рынок (количество в заказе), передаются за счет начальных запасов. Лимитный ордер представлен следующим образом: агент-ордер выводит на рынок один товар и имеет ненулевые предельные полезности для этого товара и другого (денежного или числового). Ордер на продажу по рыночной цене будет иметь нулевую полезность для товара, проданного на рынке, и положительную для денег или числительного. Мертенс очищает заказы, создавая механизм согласования , используя конкурентное равновесие, несмотря на то, что наиболее обычные внутренние условия нарушаются для вспомогательной линейной экономики. Механизм Мертенса представляет собой обобщение торговых постов Шепли-Шубика и имеет потенциал реальной реализации с лимитными ордерами на разных рынках, а не только с одним специалистом на одном рынке.
Значение Шепли
Диагональная формула в теории неатомных кооперативных игр элегантно приписывает значение Шепли каждого бесконечно малого игрока как его предельный вклад в ценность идеальной выборки игроков при усреднении по всем возможным размерам выборки. Такой предельный вклад легче всего выразить в форме производной, что привело к диагональной формуле, сформулированной Ауманом и Шепли. Это историческая причина, по которой изначально требовались некоторые условия дифференцируемости для определения ценности Шепли неатомарных кооперативных игр. Но сначала поменяв порядок получения «среднего по всем возможным размерам выборки» и взяв такую производную, Жан-Франсуа Мертенс использует эффект сглаживания такого процесса усреднения, чтобы расширить применимость диагональной формулы. [29] Этот прием сам по себе хорошо работает для большинства игр (представлен ступенчатой функцией, применяемой к проценту населения в коалиции). Еще больше используя эту коммутационную идею взятия средних значений перед производной, Жан-Франсуа Мертенс расширяется, рассматривая инвариантные преобразования и вычисляя средние по ним, прежде чем брать производную. При этом Мертенс расширяет диагональную формулу на гораздо большее пространство игр, одновременно определяя значение Шепли. [30] [31]
Уточнения и устойчивые по Мертенсу равновесия
Концепции решения, которые являются уточнением [32] равновесия по Нэшу, были мотивированы в первую очередь аргументами в пользу обратной индукции и прямой индукции. Обратная индукция утверждает, что оптимальное действие игрока теперь предвосхищает оптимальность его и других действий в будущем. Уточнение, называемое идеальным равновесием в подиграх, реализует слабую версию обратной индукции, и все более сильными версиями являются последовательное равновесие , идеальное равновесие , квази-совершенное равновесие и собственное равновесие , где последние три получаются как пределы нарушенных стратегий. Прямая индукция утверждает, что оптимальное действие игрока теперь предполагает оптимальность прошлых действий других, если это согласуется с его наблюдениями. Прямая индукция [33] удовлетворяется последовательным равновесием, при котором вера игрока в набор информации присваивает вероятность только оптимальным стратегиям других, которые позволяют достичь этой информации. В частности, поскольку полностью смешанные равновесия по Нэшу являются последовательными - такие равновесия, когда они существуют, удовлетворяют как прямой, так и обратной индукции. В своей работе Мертенсу впервые удается выбрать равновесия по Нэшу, удовлетворяющие как прямой, так и обратной индукции. Метод состоит в том, чтобы позволить такой особенности унаследовать от возмущенных игр, которые вынуждены иметь полностью смешанные стратегии - и цель достигается только с устойчивыми по Мертенсу равновесиями , а не с более простыми равновесиями Кольберга-Мертенса.
Илон Колберг и Мертенс [34] подчеркнули, что концепция решения должна согласовываться с допустимым правилом принятия решения . Более того, он должен удовлетворять принципу инвариантности, согласно которому он не должен зависеть от того, какое из множества эквивалентных представлений стратегической ситуации в виде игры в развернутой форме используется. В частности, это должно зависеть только от приведенной нормальной формы игры, полученной после исключения чистых стратегий, которые являются избыточными, потому что их выигрыши для всех игроков могут быть воспроизведены смесью других чистых стратегий. Мертенс [35] [36] также подчеркивал важность принципа малых миров, согласно которому концепция решения должна зависеть только от порядковых свойств предпочтений игроков и не должна зависеть от того, есть ли в игре посторонние игроки, действия которых не влияют на возможные стратегии и выплаты оригинальных игроков.
Кольберг и Мертенс предварительно определили концепцию многозначного решения, называемую стабильностью для игр с конечным числом чистых стратегий, которая удовлетворяет допустимости, инвариантности и прямой индукции, но контрпример показал, что она не должна удовлетворять обратной индукции; а именно набор может не включать последовательное равновесие. Впоследствии Мертенс [37] [38] определил уточнение, также называемое стабильностью и теперь часто называемое набором стабильных по Мертенсу состояний равновесия , которое имеет несколько желаемых свойств:
- Допустимость и совершенство: все равновесия в стабильном множестве идеальны, следовательно, допустимы.
- Обратная индукция и прямая индукция: стабильный набор включает в себя надлежащее равновесие нормальной формы игры, которое индуцирует квази-совершенное и последовательное равновесие в каждой игре расширенной формы с точным воспроизведением, имеющей такую же нормальную форму. Подмножество стабильного набора выживает итеративное исключение слабо доминируемых стратегий и стратегий, которые являются неполноценными ответами при каждом равновесии в наборе.
- Инвариантность и малые миры: стабильные множества игры - это проекции стабильных множеств любой более крупной игры, в которую она встроена, с сохранением возможных стратегий и выигрышей исходных игроков.
- Разложение и разделение игроков. Стабильные множества продукта двух независимых игр являются продуктами их стабильных множеств. На стабильные наборы не влияет разделение игрока на агентов, так что ни один путь по дереву игры не включает действия двух агентов.
Для игр для двух игроков с идеальным воспроизведением и общими выигрышами стабильность эквивалентна только трем из этих свойств: стабильное множество использует только недоминируемые стратегии, включает квази-совершенное равновесие и невосприимчиво к встраиванию в более крупную игру. [39]
Стабильное множество математически определяется (вкратце) существенностью отображения проекции из замкнутой связной окрестности в графе состояний равновесия Нэша над пространством возмущенных игр, полученных путем возмущения стратегий игроков в сторону полностью смешанных стратегий. Это определение влечет за собой нечто большее, чем то свойство, что каждая ближайшая игра имеет близкое равновесие. Существенность требует, кроме того, что никакая деформация проекции не отображается на границу, что гарантирует, что возмущения задачи о неподвижной точке, определяющей равновесия Нэша, имеют близкие решения. Очевидно, это необходимо для получения всех желаемых свойств, перечисленных выше.
Теория социального выбора и относительный утилитаризм
Функция социального обеспечения (SWF) сопоставляет профили индивидуальных предпочтений с социальными предпочтениями по фиксированному набору альтернатив. В основополагающей статье Эрроу (1950) [40] показана знаменитая «Теорема о невозможности» , т. Е. Не существует SWF, удовлетворяющего очень минимальной системе аксиом: неограниченная область действия , независимость несущественных альтернатив , критерий Парето и недиктатура. . В обширной литературе описаны различные способы ослабления аксиом Эрроу для получения результатов вероятностей. Относительный утилитаризм (RU) (Dhillon and Mertens, 1999) [41] - это SWF, который состоит из нормализации индивидуальных полезностей от 0 до 1 и их добавления, и является результатом «возможности», который выводится из системы очень важных аксиом. близки к оригинальным Arrow, но модифицированы с учетом предпочтений по сравнению с лотереями. В отличие от классического утилитаризма, RU не предполагает кардинальной полезности или межличностной сопоставимости. Исходя из индивидуальных предпочтений по сравнению с лотереями, которые, как предполагается, удовлетворяют аксиомам фон-Неймана-Моргенштерна (или эквивалентным), система аксиом однозначно фиксирует межличностные сравнения. Эту теорему можно интерпретировать как аксиоматическую основу для «правильных» межличностных сравнений - проблемы, которая долгое время преследовала теорию социального выбора . Аксиомы следующие:
- Индивидуализм: если все люди безразличны ко всем альтернативам, то и общество тоже,
- Нетривиальность: SWF не всегда полностью безразличен между всеми альтернативами,
- Нет злой воли : неверно, что когда все люди, кроме одного, полностью безразличны, тогда предпочтения общества противоположны его предпочтениям,
- Анонимность: при замене всех людей социальные предпочтения не меняются.
- Независимость избыточных альтернатив: эта аксиома ограничивает независимость нерелевантных альтернатив (IIA) Эрроу тем случаем, когда и до, и после изменения «нерелевантные» альтернативы представляют собой лотереи по другим альтернативам.
- Монотонность намного слабее, чем следующая «аксиома доброй воли»: Рассмотрим две лотереи. а также и два профиля предпочтений, которые совпадают для всех людей, кроме , безразлично между а также на первом профиле, но строго предпочитает к во втором профиле общество строго предпочитает к и во втором профиле.
- Наконец, аксиома непрерывности - это, по сути, свойство замкнутого графа, обеспечивающее максимально возможную сходимость профилей предпочтений.
Основная теорема показывает, что RU удовлетворяет всем аксиомам, и если количество индивидов больше трех, количество кандидатов больше 5, то любой SWF, удовлетворяющий вышеуказанным аксиомам, эквивалентен RU, если существует по крайней мере 2 индивида, которые не имеют точно такие же или прямо противоположные предпочтения.
Межпоколенческое равенство при оценке политики
Относительный утилитаризм [41] может служить для рационализации использования 2% в качестве справедливой для разных поколений социальной ставки дисконтирования для анализа затрат и выгод . Мертенс и Рубинчик [42] показывают, что инвариантная к сдвигам функция благосостояния, определенная на обширном пространстве (временных) политик, если она дифференцируема, имеет в качестве производной дисконтированную сумму политики (изменения) с фиксированной ставкой дисконтирования, т. Е. индуцированная социальная ставка дисконтирования. (Для инвариантности к сдвигу требуется, чтобы функция, оцениваемая по сдвинутой политике, возвращала аффинное преобразование значения исходной политики, в то время как коэффициенты зависят только от сдвига во времени.) В модели перекрывающихся поколений с экзогенным ростом (со временем, являющимся целая реальная линия), относительная утилитарная функция инвариантна к сдвигам при оценке (небольшой временной) политики вокруг сбалансированного равновесия роста (при экспоненциальном росте основного капитала). Когда политика представлена в виде изменений в обеспеченности людей (трансферты или налоги), а коммунальные услуги всех поколений взвешиваются одинаково, социальная ставка дисконтирования, вызванная относительным утилитаризмом, представляет собой темпы роста ВВП на душу населения (2% в США [43]). ). Это также соответствует текущей практике, описанной в Циркуляре A-4 Управления управления и бюджета США , в котором говорится:
- Если ваше правило будет иметь важные преимущества или затраты для разных поколений, вы можете рассмотреть возможность дальнейшего анализа чувствительности с использованием более низкой, но положительной ставки дисконтирования в дополнение к расчету чистой прибыли с использованием ставок дисконтирования 3 и 7 процентов. [44]
Рекомендации
- ^ a b «Жан-Франсуа Мертенс, 1946–2012« Отдых теоретического класса » . Theoryclass.wordpress.com. 2012-08-07 . Проверено 1 октября 2012 .
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа, 1982. «Повторяющиеся игры: обзор случая с нулевой суммой», «Успехи в экономической теории», под редакцией У. Хильденбранда, Cambridge University Press, Лондон и Нью-Йорк.
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа, 1986. «Повторные игры», Международный конгресс математиков. [1] Архивировано 2 февраля 2014 г. в Wayback Machine.
- ↑ Мертенс, Жан-Франсуа, Сильвен Сорин и Шмуэль Замир, 1994. «Повторяющиеся игры», части A, B, C; Документы для обсуждения 1994020, 1994021, 1994022; Католический университет Лувена, Центр исследований операций и эконометрики (CORE). «Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 2011-09-08 . Проверено 19 февраля 2012 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )«Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 2007-12-01 . Проверено 19 февраля 2012 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа (1973). «Сильно супермедианные функции и оптимальная остановка». Теория вероятностей и смежные области . 26 (2): 119–139. DOI : 10.1007 / BF00533481 . S2CID 123472255 .
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа (1992). «Существенные карты и многообразия» . Труды Американского математического общества . 115 (2): 513. DOI : 10.1090 / s0002-9939-1992-1116269-х .
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа (2003). «Локализация степени на множествах меньшей размерности». Международный журнал теории игр . 32 (3): 379–386. DOI : 10.1007 / s001820400164 . HDL : 10.1007 / s001820400164 . S2CID 32224169 .
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа; Замир, Шмуэль (1985). «Формулировка байесовского анализа для игр с неполной информацией» (PDF) . Международный журнал теории игр . 14 (1): 1-29. DOI : 10.1007 / bf01770224 . S2CID 1760385 .
- ^ Экспозиция для широкого читателя - Шмуэль Замир, 2008: «Байесовские игры: игры с неполной информацией», дискуссионный документ 486, Центр рациональности, Еврейский университет. [2] [ постоянная неработающая ссылка ]
- ^ Популярная версия в виде последовательности снов о сновидениях появляется в фильме «Начало». [3] Логические аспекты убеждений игроков относительно убеждений других связаны со знанием игроками знаний других; см.занимательный пример в головоломке «Заключенные и шляпы», а в качестведругого примера и точного определения - Общие знания (логика) .
- ^ Aumann, RJ, и Maschler, М. 1995. Повторные игры с неполной информацией . Кембридж, Лондон: MIT Press [4]
- ^ Сорин S (2002a) Первый курс по повторяющимся играм с нулевой суммой. Шпрингер, Берлин
- ^ Мертенс JF (1987) Повторные игры. В: Труды международного конгресса математиков, Беркли, 1986. Американское математическое общество, Провиденс, стр. 1528–1577.
- ^ Мертенс JF (1972) Значение повторяющихся игр с нулевой суммой для двух человек: обширный случай. Int J Game Theory 1: 217–227
- ^ Мертенс Дж. Ф., Замир С. (1971) Ценность повторяющихся игр с нулевой суммой для двух человек при отсутствии информации с обеих сторон. Int J Game Theory 1: 39–64
- ^ Cardaliaguet P (2007) Дифференциальные игры с асимметричной информацией. SIAM J Control Optim 46: 816–838
- ^ Де Мейер B (1996a) Повторяющиеся игры и уравнения в частных производных. Math Oper Res 21: 209–236
- ↑ Де Мейер Б. (1999), От повторяющихся игр до броуновских игр, «Анналы института Анри Пуанкаре, Probabilites et Statistiques», 35, 1–48.
- ^ Мертенс Ж.-Ф. (1998), Скорость сходимости в повторяющихся играх с неполной информацией с одной стороны, «Международный журнал теории игр», 27, 343–359.
- ^ Мертенс Ж.-Ф. и С. Замир (1976b), Нормальное распределение и повторяющиеся игры, «Международный журнал теории игр», 5, 187–197.
- ^ Де Мейер B (1996b) Повторяющиеся игры, двойственность и центральная предельная теорема. Math Oper Res 21: 237– 251
- ^ Мертенс JF, Замир S (1976a) О повторяющейся игре без рекурсивной структуры. Int J Game Theory 5: 173–182
- ^ Сорин S (1989) О повторяющихся играх без рекурсивной структуры: существование. Инт Дж. Теория игр 18: 45–55
- ^ Шепли, LS (1953). «Стохастические игры» . PNAS . 39 (10): 1095–1100. Bibcode : 1953PNAS ... 39.1095S . DOI : 10.1073 / pnas.39.10.1095 . PMC 1063912 . PMID 16589380 .
- ↑ Блэквелл и Фергюсон, 1968. "Большой матч", Энн. Математика. Статист. Том 39, номер 1 (1968), 159–163. [5]
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа; Нейман, Абрахам (1981). «Стохастические игры». Международный журнал теории игр . 10 (2): 53–66. DOI : 10.1007 / bf01769259 . S2CID 189830419 .
- ^ Мертенс, JF., Parthasarathy, TP 2003. Равновесия для стохастических игр со скидкой. В Neyman A, Sorin S, редакторы, Stochastic Games and Applications, Kluwer Academic Publishers, 131–172.
- ^ Мертенс, Дж. Ф. (2003). «Механизм предельной цены». Журнал математической экономики . 39 (5–6): 433–528. DOI : 10.1016 / S0304-4068 (03) 00015-6 .
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа (1980). «Стоимость и производные». Математика исследования операций . 5 (4): 523–552. DOI : 10.1287 / moor.5.4.523 . JSTOR 3689325 .
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа (1988). «Стоимость Шепли в недифференцируемом случае». Международный журнал теории игр . 17 : 1–65. DOI : 10.1007 / BF01240834 . S2CID 118017018 .
- ^ Нейман, А., 2002. Ценность игр с бесконечно большим числом игроков, "Справочник теории игр с экономическими приложениями", Справочник по теории игр с экономическими приложениями, Elsevier, издание 1, том 3, номер 3, 00. RJ Aumann & С. Харт (ред.). [6]
- ^ Говиндан, Срихари, и Роберт Уилсон, 2008. "Уточнения Nash Equilibrium," The New Palgrave словарь экономики, 2nd Edition. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 20 июня 2010 года . Проверено 12 февраля 2012 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка ) [7]
- ^ Говиндан, Срихари, и Роберт Уилсон, 2009. "Об Форвард индукции," Эконометрика, 77 (1): 1-28. [8] [9]
- ^ Кольберг, Илон; Мертенс, Жан-Франсуа (1986). «О стратегической устойчивости равновесий» (PDF) . Econometrica . 54 (5): 1003–1037. DOI : 10.2307 / 1912320 . JSTOR 1912320 .
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа (2003). «Ординальность в некооперативных играх». Международный журнал теории игр . 32 (3): 387–430. DOI : 10.1007 / s001820400166 . S2CID 8746589 .
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа, 1992. «Аксиома малых миров для стабильного равновесия», Игры и экономическое поведение, 4: 553–564. [10]
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа (1989). «Стабильное равновесие - переформулировка». Математика исследования операций . 14 (4): 575–625. DOI : 10.1287 / moor.14.4.575 .; Мертенс, Жан-Франсуа (1991). «Стабильное равновесие - переформулировка». Математика исследования операций . 16 (4): 694–753. DOI : 10.1287 / moor.16.4.694 .
- ^ Говиндан, Шрихари; Мертенс, Жан-Франсуа (2004). «Эквивалентное определение устойчивого равновесия». Международный журнал теории игр . 32 (3): 339–357. DOI : 10.1007 / s001820400165 . S2CID 28810158 .
- ^ Говиндан, Срихари, и Роберт Уилсон, 2012. «аксиоматической теории равновесия выбора для Generic двух игроков,» Эконометрика, 70. [11]
- ^ Эрроу, KJ, "Трудность в концепции социального обеспечения", Журнал политической экономии 58 (4) (август, 1950), стр. 328–346
- ^ a b Диллон, А. и Дж. Ф. Мертенс, «Относительный утилитаризм», Econometrica 67,3 (май 1999 г.) 471–498
- ^ Мертенс, Жан-Франсуа; Анна Рубинчик (февраль 2012 г.). «Межпоколенческая справедливость и дисконтная ставка для анализа политики» . Макроэкономическая динамика . 16 (1): 61–93. DOI : 10.1017 / S1365100510000386 . ЛВП : 2078/115068 . Проверено 5 октября 2012 года .
- ^ Джонстон, Л.Д. и С.Х. Уильямсон. «Каков тогда был ВВП США? Экономическая история Службы измерения стоимости» . Проверено 5 октября 2012 года .
- ^ Управление управления и бюджета США. «Циркуляр А-4» . Управление управления и бюджета . Проверено 5 октября 2012 г. - из Национального архива .