Тройная система
В алгебре система троек (или тернар ) — это векторное пространство V над полем F вместе с F -трилинейным отображением.
Важнейшими примерами являются системы троек Ли и системы троек Жордана . Они были введены Натаном Джейкобсоном в 1949 году для изучения подпространств ассоциативных алгебр, замкнутых относительно тройных коммутаторов [[ u , v ], w ] и тройных антикоммутаторов { u , { v , w }}. В частности, любая алгебра Ли определяет систему троек Ли, а любая йордановая алгебра определяет систему йордановых троек. Они важны в теориях симметрических пространств , особенно эрмитовых симметричных пространств и их обобщений ( симметричных R-пространств и их некомпактных двойственных пространств).
Тройная система называется тройной системой Ли, если трилинейное отображение, обозначенное , удовлетворяет следующим тождествам:
![{\displaystyle [\cdot,\cdot,\cdot]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28fe776c6d24967c92205f772c4a8c1d3c0d743)
Первые два тождества абстрагируют косую симметрию и тождество Якоби для тройного коммутатора, а третье тождество означает, что линейное отображение L u , v : V → V , определенное формулой L u , v ( w ) = [ u , v , w ], является производным тройного произведения. Тождество также показывает, что пространство k = span {L u , v : u , v ∈ V } замкнуто относительно скобки-переключателя и, следовательно, является алгеброй Ли.
можно превратить в -градуированную алгебру Ли, стандартное вложение m , со скобкой
Разложение g, очевидно, является симметричным разложением для этой скобки Ли, и, следовательно, если G — связная группа Ли с алгеброй Ли g , а K — подгруппа с алгеброй Ли k , то G / K — симметрическое пространство .