Принцип инвариантности ЛаСалля (также известный как принцип инвариантности , [1] принцип Барбашина-Красовского-ЛаСалля , [2] или принцип Красовского-ЛаСалля ) является критерием асимптотической устойчивости автономной (возможно, нелинейной) динамической системы .
Глобальная версия
Предположим, что система представлена как
где - вектор переменных, причем
Если (см. Гладкость ) функция можно найти так, что
- для всех (отрицательное полуопределенное),
то множество точек накопления любой траектории содержится в где представляет собой объединение полных траекторий, целиком содержащихся в множестве .
Если у нас дополнительно есть эта функция положительно определен, т. е.
- , для всех
и если не содержит траектории системы, кроме тривиальной траектории для , то начало координат асимптотически устойчиво .
Кроме того, если радиально неограничен, т. е.
- , в виде
тогда начало координат глобально асимптотически устойчиво .
Локальная версия
Если
- , когда
держать только для в каком-то районе происхождения, а множество
не содержит никаких траекторий системы, кроме траектории , то локальная версия принципа инвариантности утверждает, что начало координат локально асимптотически устойчиво .
Отношение к теории Ляпунова
Если это отрицательно определена , глобальная асимптотическая устойчивость происхождения является следствием второй теоремы Ляпунова . Принцип инвариантности дает критерий асимптотической устойчивости в случае, когдаявляется только отрицательным полуопределенным .
Пример: маятник с трением
В этом разделе мы применим принцип инвариантности для установления локальной асимптотической устойчивости простой системы - маятника с трением. Эту систему можно смоделировать с помощью дифференциального уравнения [1]
где - угол маятника с вертикальной нормалью, масса маятника, длина маятника, - коэффициент трения , а g - ускорение свободного падения.
Это, в свою очередь, можно записать в виде системы уравнений
Используя принцип инвариантности, можно показать, что все траектории, которые начинаются в шаре определенного размера вокруг начала координат асимптотически сходятся к началу координат. Мы определяем в виде
Этот это просто масштабируется энергия системы [2] Очевидно,является положительно определенной в открытом шаре радиусавокруг происхождения. Вычисляя производную,
Заметьте, что . Если бы это было правдой,, мы могли заключить, что каждая траектория приближается к началу координат по второй теореме Ляпунова . К несчастью, а также является только отрицательно полуопределенным, поскольку может быть ненулевым, когда . Однако набор
что просто набор
не содержит никакой траектории системы, кроме тривиальной траектории x = 0 . Действительно, если когда-нибудь, , тогда потому что должно быть меньше чем вдали от начала, а также . В результате траектория не останется в заданной.
Все условия локальной версии принципа инвариантности выполнены, и мы можем сделать вывод, что каждая траектория, начинающаяся в некоторой окрестности начала координат, будет сходиться к началу координат как [3] .
История
Общий результат был независимо открыт JP LaSalle (затем в RIAS ) и Н.Н. Красовским , которые опубликовали в 1960 и 1959 годах соответственно. В то время как ЛаСалль был первым автором на Западе, опубликовавшим общую теорему в 1960 году, частный случай теоремы был сообщен в 1952 году Барбашиным и Красовским , после чего общий результат был опубликован в 1959 году Красовским [4] .
Смотрите также
Оригинальные статьи
- LaSalle, JP Некоторые расширения второго метода Ляпунова, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. ( PDF )
- Барбашин Э.А. Николай Николаевич Красовский (1952).Об устойчивости движения в целом[Об устойчивости движения в целом]. Доклады Академии Наук СССР . 86 : 453–456.
- Красовский Н.Н. Проблемы теории устойчивости движения, 1959. Английский перевод: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.
Учебники
- LaSalle, JP ; Лефшец, С. (1961). Устойчивость прямым методом Ляпунова . Академическая пресса.
- Хаддад, WM ; Челлабойна, VS (2008). Нелинейные динамические системы и управление, подход, основанный на Ляпунове . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691133294.
- Тешл, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- Виггинс, С. (2003). Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос (2-е изд.). Нью-Йорк : Springer Verlag . ISBN 0-387-00177-8.
Лекции
- Заметки Техасского университета A&M о принципе инвариантности ( PDF )
- Замечания государственного университета Северной Каролины о принципе инвариантности LaSalle ( PDF ).
- Заметки Калифорнийского технологического института о принципе инвариантности ЛаСалля ( PDF ).
- Заметки MIT OpenCourseware по анализу устойчивости по Ляпунову и принципу инвариантности ( PDF ).
- Заметки университета Пердью по теории устойчивости и принципу инвариантности ЛаСалля ( PDF [ постоянная мертвая ссылка ] ).
Рекомендации
- ^ Халил, Хасан (2002). Нелинейные системы (3-е изд.). Верхняя река Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall.
- ^ Вассим, Хаддад; Chellaboina, VijaySekhar (2008). Нелинейные динамические системы и управление, подход, основанный на Ляпунове . Издательство Принстонского университета.
- ↑ Конспект лекций по нелинейному управлению, Университет Нотр-Дам, инструктор: Майкл Леммон, лекция 4.
- ^ там же.
- ↑ Конспект лекций по нелинейному анализу, Национальный университет Тайваня, преподаватель: Фэн-Ли Лянь, лекция 4-2.
- ^ Видьясагар, М.Нелинейный системный анализ,Классика SIAM в прикладной математике, SIAM Press, 2002.