Покер куна

Покер Куна - это чрезвычайно упрощенная форма покера, разработанная Гарольдом В. Куном как простая модель игры с неполной информацией для двух игроков с нулевой суммой , поддающаяся полному теоретико-игровому анализу. В покере Куна в колоде всего три игральные карты , например король, дама и валет. Каждому игроку раздается по одной карте, который может делать ставки аналогично стандартному покеру. Если оба игрока делают ставку или оба игрока пасуют, выигрывает игрок с большей картой, в противном случае выигрывает тот, кто делает ставку.

Описание игры [ править ]

В обычных условиях покера игра в покер Куна протекает следующим образом:

• Каждый игрок ставит 1 анте .
• Каждому игроку сдается по одной из трех карт, а третья откладывается незаметно.
• Первый игрок может сделать чек или поставить 1.
  • Если первый игрок делает чек, то второй игрок может сделать чек или поставить 1.
    • Если второй игрок делает чек, происходит вскрытие банка из 2 (т.е. более высокая карта выигрывает 1 у другого игрока).
    • Если второй игрок делает ставку, то первый игрок может сбросить карты или уравнять .
      • Если первый игрок сбрасывает карты, второй игрок забирает банк 3 (т.е. выигрывает 1 у игрока 1).
      • Если первый игрок делает колл, происходит вскрытие банка из 4 (т.е. более высокая карта выигрывает 2 у другого игрока).
  • Если игрок 1 делает ставку, то игрок 2 может сбросить карты или уравнять.
    • Если второй игрок сбрасывает карты, то первый игрок забирает банк 3 (т.е. выигрывает 1 у игрока 2).
    • Если второй игрок отвечает, происходит вскрытие банка из 4 (т.е. более высокая карта выигрывает 2 у другого игрока).

Оптимальная стратегия [ править ]

В игре присутствует равновесие по Нэшу со смешанной стратегией ; когда оба игрока играют в стратегии равновесия, первый игрок должен ожидать проигрыша со скоростью -1/18 за руку (так как игра ведется с нулевой суммой, второй игрок должен ожидать выигрыша со скоростью +1/18). Там нет чистой стратегии равновесия.

Кун продемонстрировал, что существует бесконечно много равновесных стратегий для первого игрока, образующих континуум, управляемый одним параметром. В одной из возможных формулировок первый игрок свободно выбирает вероятность, с которой он будет делать ставку, имея валета (в противном случае он делает чек; если другой игрок делает ставку, он всегда должен сбрасывать карты). Когда у него есть король, он должен делать ставку с вероятностью (в противном случае он делает чек; если другой игрок делает ставку, он всегда должен уравнять). Он всегда должен делать чек, когда у него есть дама, и если другой игрок сделает ставку после этого чека, он должен уравнять с вероятностью .${\ Displaystyle \ альфа \ в [0,1 / 3]}$${\ displaystyle 3 \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha +1/3}$

У второго игрока есть единственная стратегия равновесия: всегда делать ставки или коллировать, когда у него король; при наличии дамы, по возможности, чек, в противном случае - колл с вероятностью 1/3; при наличии валета никогда не коллировать и делать ставки с вероятностью 1/3.

Полное дерево покера Куна, включая вероятности равновесия по Нэшу для смешанной стратегии. Пунктирными линиями отмечены поддеревья для доминируемых стратегий .

Обобщенные версии [ править ]

В дополнение к базовой версии, изобретенной Куном, появились другие версии, добавляющие большую колоду, больше игроков, раунды ставок и т. Д., Увеличивая сложность игры.

Kuhn Poker для 3 игроков [ править ]

Вариант для трех игроков был представлен в 2010 году Ником Абу Риском и Дуэйном Сафроном. В этой версии колода включает четыре карты (добавление десяти карт), из которых три раздаются игрокам; в остальном основная структура такая же: пока нет невыполненной ставки, игрок может сделать чек или сделать ставку, при невыполненной ставке игрок может уравнять или сбросить карты. Если все игроки сделали чек или хотя бы один игрок ответил коллом, игра переходит к вскрытию карт, в противном случае игрок, делающий ставки, выигрывает.

Семейство равновесий Нэша для покера Куна для трех игроков известно аналитически, что делает его самой крупной игрой с более чем двумя игроками с аналитическим решением. ^[1] Семейство параметризуется с помощью 4–6 параметров (в зависимости от выбранного равновесия). Во всех состояниях равновесия у игрока 1 фиксированная стратегия, и он всегда делает чек первым действием; полезность игрока 2 постоянна и равна –1/48 на руку. Обнаруженные профили равновесия демонстрируют интересную особенность: регулируя параметр стратегии (от 0 до 1), игрок 2 может свободно переключать полезность между двумя другими игроками, оставаясь при этом в равновесии; полезность игрока 1 равна (что всегда хуже, чем полезность игрока 2), полезность игрока 3 равна .${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle - {\ frac {1 + 2 \ beta} {48}}}$${\ displaystyle {\ frac {1+ \ beta} {24}}}$

Неизвестно, покрывает ли это семейство равновесий все равновесия по Нэшу для игры.

Ссылки [ править ]

• Кун, HW (1950). «Упрощенный покер на двоих». В Kuhn, HW; Такер, А. В. (ред.). Вклад в теорию игр . 1 . Издательство Принстонского университета. С. 97–103.
• Джеймс Пек. «Идеальное байесовское равновесие» (PDF) . Государственный университет Огайо . Дата обращения 2 сентября 2016 .^{: 19–29}

Внешние ссылки [ править ]

• Эффективная краткосрочная эксплуатация оппонентов в упрощенном покере