Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Не путать с пустой суммой или нулевой игрой .
Для использования в других целях, см Нулевая сумма (значения) .

В теории игр и экономической теории игра с нулевой суммой - это математическое представление ситуации, в которой преимущество, полученное одной из двух сторон, теряется другой [1] . Если сложить общие выигрыши участников и вычесть общие потери, они будут равны нулю. Таким образом, разрезание торта , когда взятие более значительного куска уменьшает количество торта, доступного для других, а также увеличивает количество, доступное для того, кто его берет, является игрой с нулевой суммой, если все участники одинаково оценивают каждую единицу торта . Другие примеры игр с нулевой суммой в повседневной жизни включают такие игры, как покер , шахматы., и мост, когда один человек выигрывает, а другой проигрывает, что приводит к нулевой чистой прибыли для каждого игрока [2] . На рынках и финансовых инструментах фьючерсные контракты и опционы также являются играми с нулевой суммой [3] . Тем не менее, ситуация, подобная фондовому рынку и т. Д., Не является игрой с нулевой суммой, потому что инвесторы могут получить прибыль или убыток от влияния цен акций на прогнозы прибыли или экономические прогнозы, а не получить прибыль от потерянных других инвесторов.

Напротив, ненулевая сумма описывает ситуацию, в которой совокупные прибыли и убытки взаимодействующих сторон могут быть меньше или больше нуля. Игра с нулевой суммой также называется строго соревновательной игрой, в то время как игры с ненулевой суммой могут быть либо соревновательными, либо неконкурентными. Антагонистические игры чаще всего решаются с минимаксной теоремой , которая тесно связана с линейным программированием двойственности , [4] или равновесиями Нэша . Дилемма заключенного - классическая игра с ненулевой суммой [5] .

Многие люди имеют когнитивную предвзятость в отношении ситуации с нулевой суммой, известную как предвзятость с нулевой суммой .

Определение [ править ]

Вариант 1Вариант 2
Вариант 1−A, AB, −B
Вариант 2С, -С−D, D
Общая игра с нулевой суммой

Свойство нулевой суммы (если один выигрывает, другой проигрывает) означает, что любой результат ситуации с нулевой суммой является оптимальным по Парето . Обычно любая игра, в которой все стратегии оптимальны по Парето, называется конфликтной. [6]

Игры с нулевой суммой представляют собой конкретный пример игр с постоянной суммой, в которых сумма каждого результата всегда равна нулю [7] . Такие игры являются распределительными, а не интегративными; пирог не может быть увеличен путем хороших переговоров.

В ситуации, когда прибыль (или убыток) одного лица, принимающего решения, не обязательно приводит к убыткам (или выгоде) другого лица, принимающего решения, они называются ненулевой суммой [8] . Таким образом, страна с избытком бананов, торгующая с другой страной за избыток яблок, где обе выгоды от сделки, находится в ситуации ненулевой суммы. Другие игры с ненулевой суммой - это игры, в которых сумма выигрышей и проигрышей игроков иногда больше или меньше той, с которой они начали.

Идея оптимального выигрыша по Парето в игре с нулевой суммой порождает обобщенный стандарт относительной эгоистической рациональности, стандарт наказания оппонента, где оба игрока всегда стремятся минимизировать выигрыш оппонента с выгодной для себя ценой, а не предпочитают большее. чем меньше. Стандарт наказания оппонента может использоваться как в играх с нулевой суммой (например, военная игра, шахматы), так и в играх с ненулевой суммой (например, в играх с объединенным выбором). [9] У игрока в игре достаточно простое желание максимизировать для себя прибыль, а противник желает минимизировать ее [10] .

Решение [ править ]

Для конечных игр с нулевой суммой для двух игроков различные теоретико-игровые концепции решения равновесия по Нэшу , минимакса и максимина дают одно и то же решение. Если игрокам разрешено играть смешанную стратегию , в игре всегда есть равновесие.

Пример [ править ]

Игра с нулевой суммой (два человека)
Синий
красный
АBC
1
−30
30
10
−10
−20
20
2
10
−10
−20
20
20
−20

Матрица выигрышей в игре - удобное представление. Рассмотрим эти ситуации в качестве примера игры с нулевой суммой для двух игроков, изображенной справа или выше.

Порядок игры следующий: первый игрок (красный) тайно выбирает одно из двух действий 1 или 2; второй игрок (синий), не зная о выборе первого игрока, тайно выбирает одно из трех действий A, B или C. Затем варианты раскрываются, и на общую сумму очков каждого игрока влияет выигрыш за этот выбор.

Пример: красный выбирает действие 2, а синий выбирает действие B. Когда выплата распределяется, красный получает 20 очков, а синий теряет 20 очков.

В этом примере игры оба игрока знают матрицу выплат и пытаются максимизировать количество своих очков. Красный мог рассуждать следующим образом: «С действием 2 я могу потерять до 20 очков и могу выиграть только 20, а с действием 1 я могу проиграть только 10, но могу выиграть до 30, поэтому действие 1 выглядит намного лучше». По аналогичным соображениям синий выберет действие C. Если оба игрока предпримут эти действия, красный получит 20 очков. Если Синий предвидит рассуждения Красного и выбор действия 1, Синий может выбрать действие Б, чтобы выиграть 10 очков. Если красный, в свою очередь, предвидит этот трюк и переходит к действию 2, это приносит красному 20 очков.

Эмиль Борель и Джон фон Нейман пришли к фундаментальному пониманию того, что вероятность дает выход из этой головоломки. Вместо принятия решения о том, какое действие следует предпринять, два игрока назначают вероятности своим действиям, а затем используют случайное устройство, которое в соответствии с этими вероятностями выбирает действие за них. Каждый игрок вычисляет вероятности, чтобы минимизировать максимальную ожидаемую потерю очков независимо от стратегии оппонента. Это приводит к проблеме линейного программирования с оптимальными стратегиями для каждого игрока. Этот минимаксный метод может вычислить, вероятно, оптимальные стратегии для всех игр с нулевой суммой для двух игроков.

В приведенном выше примере оказывается, что красный должен выбрать действие 1 с вероятностью 4/7 и действие 2 с вероятностью 3/7, а Синий должен присвоить вероятности 0, 4/7, а также 3/7 к трем действиям A, B и C. Красный тогда выиграет 20/7 очков в среднем за игру.

Решение [ править ]

Равновесие по Нэшу для двух игроков, игры с нулевой суммой в можно найти путем решения линейного программирования проблемы. Предположим, что игра с нулевой суммой имеет матрицу выплат M, где элемент M i , j - это выигрыш, полученный, когда минимизирующий игрок выбирает чистую стратегию i, а максимизирующий игрок выбирает чистую стратегию j (т. Е. Игрок, пытающийся минимизировать выигрыш, выбирает строку и игрок, пытающийся максимизировать выигрыш, выбирает столбец). Предположим, что каждый элемент Mположительный. В игре будет хотя бы одно равновесие по Нэшу. Равновесие по Нэшу можно найти (Рагхаван, 1994, с. 740), решив следующую линейную программу, чтобы найти вектор u :

Минимизировать:
С учетом ограничений:
u ≥ 0
M u ≥ 1 .

Первое ограничение говорит, что каждый элемент вектора u должен быть неотрицательным, а второе ограничение говорит, что каждый элемент вектора M u должен быть не меньше 1. Для результирующего вектора u обратная величина суммы его элементов равна значению игра. Умножение u на это значение дает вектор вероятности, дающий вероятность того, что максимизирующий игрок выберет каждую возможную чистую стратегию.

Если игровая матрица не содержит всех положительных элементов, добавьте к каждому элементу константу, которая достаточно велика, чтобы сделать их все положительными. Это увеличит ценность игры на эту константу и не повлияет на равновесные смешанные стратегии для равновесия.

Равновесная смешанная стратегия для минимизирующего игрока может быть найдена путем решения двойственной заданной линейной программы. В качестве альтернативы его можно найти, используя описанную выше процедуру для решения модифицированной матрицы выигрышей, которая представляет собой транспонирование и отрицание M (добавляя константу, чтобы она была положительной), а затем решая результирующую игру.

Если все решения линейной программы будут найдены, они будут составлять все равновесия Нэша для игры. И наоборот, любую линейную программу можно преобразовать в игру для двух игроков с нулевой суммой, используя замену переменных, которая переводит ее в форму приведенных выше уравнений, и, таким образом, такие игры в целом эквивалентны линейным программам. [11]

Универсальное решение [ править ]

Если избегание игры с нулевой суммой - это выбор действия с некоторой вероятностью для игроков, избегание всегда является стратегией равновесия по крайней мере для одного игрока в игре с нулевой суммой. Для любых игр с нулевой суммой для двух игроков, в которых ничья с нулевым результатом невозможна или недостоверна после начала игры, например, в покере, не существует другой стратегии равновесия по Нэшу, кроме избегания игры. Даже если после начала игры с нулевой суммой есть достоверная ничья с нулевым результатом, это не лучше, чем стратегия избегания. В этом смысле интересно обнаружить, что при вычислении оптимального выбора вознаграждение будет преобладать над играми с нулевой суммой для всех двух игроков в отношении того, начинать игру или нет. [12]

Самый распространенный или простой пример из подполя социальной психологии - это концепция « социальных ловушек ». В некоторых случаях преследование индивидуальных личных интересов может повысить коллективное благополучие группы, но в других ситуациях все стороны, преследующие личные интересы, приводят к взаимно деструктивному поведению.

Игры для трех человек с нулевой суммой [ править ]

Ясно, что между игроками существуют разнообразные отношения в игре с нулевой суммой для трех человек, в игре с нулевой суммой для двух человек все, что выигрывает один игрок, обязательно теряется другим, и наоборот; следовательно, всегда существует абсолютный антагонизм интересов, и это похоже на игру трех лиц [13] . Предполагается, что конкретный ход игрока в игре с нулевой суммой для трех человек будет явно выгодным для него и может нанести ущерб обоим другим игрокам или принести пользу одному и отрицательно повлиять на другого оппонента [13].. В частности, параллелизм интересов двух игроков делает желательным сотрудничество; может случиться так, что у игрока есть выбор между различными политиками: проявить интерес к параллелизму с другим игроком, изменив его поведение, или наоборот; что он может выбирать, с каким из двух других игроков он предпочитает строить такой параллелизм и в какой степени [13] . На картинке слева это типичный пример игры трех человек с нулевой суммой. Если Игрок 1 выбирает защиту, а Игрок 2 и 3 выбирают нападение, они оба получают по одному очку. В то же время Игрок 2 потеряет два очка, потому что очки отнимают другие игроки, и очевидно, что Игрок 2 и 3 имеют параллелизм интересов.

Сложность [ править ]

Роберт Райт теоретизировал в своей книге « Ненулевое значение: логика человеческой судьбы» , что общество становится все более ненулевым по мере того, как оно становится более сложным, специализированным и взаимозависимым.

Расширения [ править ]

В 1944 году Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн доказали, что любая игра с ненулевой суммой для n игроков эквивалентна игре с нулевой суммой с n  + 1 игроком; ( n  + 1) -й игрок, представляющий глобальную прибыль или убыток. [14]

Недоразумения [ править ]

Игры с нулевой суммой и особенно их решения обычно неправильно понимаются критиками теории игр , обычно в отношении независимости и рациональности игроков, а также в отношении интерпретации функций полезности. Кроме того, слово «игра» не означает, что модель действительна только для развлекательных игр . [4]

Политику иногда называют нулевой суммой. [15] [16] [17]

Мышление с нулевой суммой [ править ]

В психологии мышление с нулевой суммой относится к восприятию ситуации, подобной игре с нулевой суммой, в которой выигрыш одного человека является проигрышем другого.

См. Также [ править ]

  • Биматрикс игра
  • Сравнительное преимущество
  • Голландская болезнь
  • Прибыль от торговли
  • Заблуждение о совокупном труде
  • Игра с положительной суммой

Ссылки [ править ]

  1. ^ Кембриджский словарь делового английского языка . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. 2011. ISBN. 978-0-521-12250-4. OCLC  741548935 .
  2. ^ Фон Нейман, Джон; Оскар Моргенштерн (2007). Теория игр и экономического поведения (60-летие изд.). Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-1-4008-2946-0. OCLC  830323721 .
  3. ^ Кентон, Уилл. «Игра с нулевой суммой» . Инвестопедия . Проверено 25 апреля 2021 .
  4. ^ а б Кен Бинмор (2007). Игра по-настоящему: текст по теории игр . Oxford University Press, США. ISBN 978-0-19-530057-4., главы 1 и 7
  5. ^ Чионг, Раймонд; Янкович, Любо (2008). «Изучение дизайна игровой стратегии через повторяющуюся дилемму заключенного» . Международный журнал компьютерных приложений в технологии . 32 (3): 216. DOI : 10,1504 / ijcat.2008.020957 . ISSN 0952-8091 . 
  6. Перейти ↑ Bowles, Samuel (2004). Микроэкономика: поведение, институты и эволюция . Издательство Принстонского университета . стр.  33 -36. ISBN 0-691-09163-3.
  7. Перейти ↑ Washburn, Alan (2014). Игры с нулевой суммой для двух человек . Международная серия исследований операций и управления. 201 . Бостон, Массачусетс: Springer США. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-9050-0 . ISBN 978-1-4614-9049-4.
  8. ^ «Игра с ненулевой суммой» . Бизнес-школа Монаш . Проверено 25 апреля 2021 .
  9. ^ Вэньлян Ван (2015). Теория пульных игр и государственный пенсионный план. ISBN 978-1507658246 . Глава 1 и Глава 4. 
  10. ^ Фон Нейман, Джон; Оскар Моргенштерн (2007). Теория игр и экономического поведения (60-летие изд.). Принстон: Издательство Принстонского университета. п. 98. ISBN 978-1-4008-2946-0. OCLC  830323721 .
  11. ^ Илан Адлер (2012) Эквивалентность линейных программ и игр с нулевой суммой. Springer
  12. ^ Вэньлян Ван (2015). Теория пульных игр и государственный пенсионный план. ISBN 978-1507658246 . Глава 4. 
  13. ^ a b c Фон Нейман, Джон; Оскар Моргенштерн (2007). Теория игр и экономического поведения (60-летие изд.). Принстон: Издательство Принстонского университета. С. 220–223. ISBN 978-1-4008-2946-0. OCLC  830323721 .
  14. ^ Теория игр и экономического поведения . Издательство Принстонского университета (1953). 25 июня 2005 г. ISBN 9780691130613. Проверено 25 февраля 2018 .
  15. ^ Рубин, Дженнифер (2013-10-04). «Ошибка в политике с нулевой суммой» . Вашингтон Пост . Проверено 8 марта 2017 .
  16. ^ «Лексингтон: политика с нулевой суммой» . Экономист . 2014-02-08 . Проверено 8 марта 2017 .
  17. ^ «Игра с нулевой суммой | Определите игру с нулевой суммой в» . Dictionary.com . Проверено 8 марта 2017 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Искажение концепции игр с нулевой суммой в контексте стратегий профессионального спортивного трейдинга , сериал Pardon the Interruption (2010-09-23) ESPN , созданный Тони Корнхайзером и Майклом Уилбоном , выступление Билла Симмонса
  • Справочник по теории игр - том 2 , глава Игры двух лиц с нулевой суммой , (1994) Elsevier Amsterdam, Raghavan, TES, под редакцией Aumann and Hart, стр. 735–759, ISBN 0-444-89427-6 
  • Power: Its Forms, Bases and Uses (1997) Transaction Publishers, Деннис Ронг [ ISBN отсутствует ]

Внешние ссылки [ править ]

  • Играйте в игры с нулевой суммой онлайн от Элмера Г. Винса.
  • Теория игр и ее приложения - исчерпывающий текст по психологии и теории игр. (Содержание и предисловие ко второму изданию.)
  • Играбельная игра с нулевой суммой и ее смешанная стратегия равновесия по Нэшу.