Лагранжева механика

Представленная итало-французским математиком и астрономом Жозефом-Луи Лагранжем в 1788 году из его работы « Аналитическая механика », лагранжева механика представляет собой формулировку классической механики и основана на принципе стационарного действия .

Лагранжева механика определяет механическую систему как пару конфигурационного пространства и гладкой функции, называемой лагранжианом . Условно, где и – кинетическая и потенциальная энергии системы соответственно. Здесь и вектор скорости в является касательным к (Для тех, кто знаком с касательными расслоениями и . )${\ Displaystyle (М, Л)}$ ${\ Displaystyle М}$${\ Displaystyle L = L (д, v, т)}$${\ Displaystyle L = телевизор,}$${\ Displaystyle Т}$${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle д \ в М,}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle д}$ ${\ Displaystyle (в}$${\ Displaystyle М).}$${\ Displaystyle L: ТМ \ раз \ mathbb {R} _ {т} \ к \ mathbb {R},}$${\ Displaystyle v \ в T_ {q} M}$

Учитывая моменты времени и лагранжевую механику, постулируется, что гладкий путь описывает временную эволюцию данной системы тогда и только тогда , когда является стационарной точкой функционала действия${\ Displaystyle т_ {1}}$${\ Displaystyle т_ {2},}$${\ displaystyle x_ {0}: [t_ {1}, t_ {2}] \ to M}$${\ Displaystyle х_ {0}}$

Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813)

Бусинка вынуждена двигаться по проволоке без трения. Проволока оказывает на шарик реактивную силу С , удерживая ее на проволоке. Несвязывающей силой N в этом случае является сила тяжести. Обратите внимание, что начальное положение провода может привести к различным движениям.

Простой маятник. Поскольку стержень жесткий, положение грузика ограничено согласно уравнению f ( x , y ) = 0, сила связи C есть натяжение стержня. Опять же, не ограничивающей силой N в этом случае является сила тяжести.

Исаак Ньютон (1642—1727)

Жан д'Аламбер (1717—1783)

Две степени свободы.

Ограничивающая сила C и виртуальное перемещение δ r для частицы массы m , ограниченной кривой. Результирующая неограниченная сила равна N.

По мере развития системы q прослеживает путь в конфигурационном пространстве (показаны только некоторые из них). Путь, пройденный системой (красный), имеет стационарное действие (δ S = 0) при небольших изменениях конфигурации системы (δ q ). ^[17]

Эскиз ситуации с определением координат (кликните для увеличения)