Формула Ландау – Зинера представляет собой аналитическое решение уравнений движения, определяющих динамику перехода квантовой системы с двумя состояниями , при этом гамильтониан, зависящий от времени, изменяется таким образом, что разделение энергии двух состояний является линейной функцией времени. Формула, давая вероятность диабатического (не адиабатическим ) перехода между двумя энергетическими состояниями, была опубликована отдельно Л. Д. Ландау , [1] Зенер , [2] Штюкельберг , [3] и Этторе майорановский , [4] , в 1932 г.
Если система запускается в бесконечном прошлом в собственном состоянии с более низкой энергией, мы хотим вычислить вероятность нахождения системы в состоянии с более высокой энергией в бесконечном будущем (так называемый переход Ландау – Зинера). Для бесконечно медленного изменения разности энергий (то есть скорости Ландау – Зинера, равной нулю) адиабатическая теорема говорит нам, что такого перехода не будет, поскольку система всегда будет в мгновенном собственном состоянии гамильтониана в этот момент во время. При ненулевых скоростях переходы происходят с вероятностью, как описано формулой Ландау – Зинера.
Условия и приближение
Такие переходы происходят между состояниями всей системы, поэтому любое описание системы должно включать все внешние воздействия, включая столкновения и внешние электрические и магнитные поля. Для того чтобы уравнения движения системы могли быть решены аналитически, сделан ряд упрощений, известных под общим названием приближение Ландау – Зинера. Упрощения заключаются в следующем:
- Параметр возмущения в гамильтониане - это известная линейная функция времени
- Энергетическое разделение диабатических состояний линейно изменяется со временем.
- Связь в диабатической матрице гамильтониана не зависит от времени
Первое упрощение делает это лечение полуклассическим. В случае атома в магнитном поле напряженность поля становится классической переменной, которую можно точно измерить во время перехода. Это требование является весьма ограничительным, поскольку линейное изменение, как правило, не будет оптимальным профилем для достижения желаемой вероятности перехода.
Второе упрощение позволяет сделать замену
где а также энергии двух состояний во время , задаваемый диагональными элементами матрицы гамильтониана, и является константой. В случае атома в магнитном поле это соответствует линейному изменению магнитного поля. Для линейного зеемановского сдвига это непосредственно следует из пункта 1.
Окончательное упрощение требует, чтобы зависящее от времени возмущение не связывало диабатические состояния; скорее, сцепление должно происходить из-за статического отклонения от кулоновский потенциал , обычно описываемый квантовым дефектом .
Формула
Детали решения Зенера несколько непрозрачны, поскольку он основан на ряде подстановок, чтобы преобразовать уравнение движения в форму уравнения Вебера [5], и с использованием известного решения. Более прозрачное решение было предложено Куртом Виттигом [6] с использованием контурной интеграции .
Ключевым показателем этого подхода является скорость Ландау – Зинера:
где - переменная возмущения (электрическое или магнитное поле, длина молекулярной связи или любое другое возмущение в системе), и а также - энергии двух диабатических (пересекающихся) состояний. Большой приводит к большой вероятности диабатического перехода и наоборот.
Используя формулу Ландау – Зинера, вероятность, , диабатического перехода определяется выражением
Количество является недиагональным элементом гамильтониана двухуровневой системы, связывающего базисы, и, как таковой, составляет половину расстояния между двумя невозмущенными собственными энергиями на избегаемом пересечении, когда.
Проблема с несколькими состояниями
Простейшим обобщением модели Ландау – Зинера с двумя состояниями является многоступенчатая система с гамильтонианом вида
,
где A и B - эрмитовы матрицы N x N с элементами, не зависящими от времени. Целью многоступенчатой теории Ландау – Зинера является определение элементов матрицы рассеяния и вероятностей перехода между состояниями этой модели после эволюции с таким гамильтонианом от отрицательного бесконечного к положительному бесконечному времени. Вероятности переходов представляют собой квадрат модуля элементов матрицы рассеяния.
Существуют точные формулы, называемые ограничениями иерархии, которые обеспечивают аналитические выражения для специальных элементов матрицы рассеяния в любой модели Ландау – Зинера с несколькими состояниями. [7] Частные случаи этих соотношений известны как формула Брандоблера – Эльзера (BE) (отмеченная Брандоблером и Эльзером при численном моделировании [8] и строго доказанная Добреску и Синицыным [9] после вклада Волкова и Островского [ 10] ) и непроходимую теорему [11] , [12] ). Дискретные симметрии часто приводят к ограничениям, которые уменьшают количество независимых элементов матрицы рассеяния. [13] [14]
Существуют условия интегрируемости, выполнение которых приводит к точным выражениям для матриц рассеяния в мультисостояниях моделей Ландау – Зинера. [15] При этих условиях были идентифицированы и исследованы многочисленные полностью решаемые многосостояния модели Ландау – Зинера, в том числе:
- Модель Демкова – Ошерова [16] , описывающая единственный уровень, пересекающий полосу параллельных уровней. Удивительным фактом в решении этой модели является совпадение точно полученной матрицы вероятности перехода с ее формой, полученной с помощью простого квазиклассического приближения независимых пересечений. С некоторыми обобщениями это свойство проявляется почти во всех разрешимых системах Ландау – Зинера с конечным числом взаимодействующих состояний.
- Обобщенная модель галстука-бабочки. [17] Модель описывает связь двух (или одного в пределе вырожденного случая) уровня с набором невзаимодействующих диабатических состояний, которые пересекаются в одной точке.
- Управляемая модель Тэвиса – Каммингса [18] описывает взаимодействие N спинов-1/2 с бозонной модой в линейно-зависящем от времени магнитном поле. Это самая богатая из известных решенных систем. Она имеет комбинаторную сложность: размерность ее векторного пространства состояния растет экспоненциально с увеличением числа спинов N. Вероятности переходов в этой модели описываются q-деформированной биномиальной статистикой. [19]
- Спиновые кластеры, взаимодействующие с зависящими от времени магнитными полями. [20] Этот класс моделей показывает относительно сложное поведение вероятностей переходов из-за эффектов интерференции путей в приближении квазиклассического независимого пересечения.
- Приводимые (или составные) многоступенчатые модели Ландау – Зинера. [21] [22] Этот класс состоит из систем, которые можно разделить на подмножества других решаемых и более простых моделей с помощью преобразования симметрии. Ярким примером является произвольный спиновый гамильтониан, где S z и S x - спиновые операторы, а S > 1/2; b и g - постоянные параметры. Это самая ранняя известная решаемая система, которая обсуждалась Майораном в 1932 году. Среди других примеров есть модели пары вырожденных пересечений уровней [23] и одномерной квантовой цепи Изинга в линейно изменяющемся магнитном поле. [24] [25]
- Переходы Ландау – Зинера в бесконечных линейных цепочках. [26] В этот класс входят системы с формально бесконечным числом взаимодействующих состояний. Хотя наиболее известные их примеры могут быть получены как пределы моделей конечного размера (таких как модель Тэвиса – Каммингса), есть также случаи, которые не относятся к этой классификации. Например, существуют разрешимые бесконечные цепочки с ненулевыми связями между неближайшими состояниями. [27]
Исследование шума
Применение решения Ландау – Зинера к задачам подготовки квантовых состояний и манипулирования ими с дискретными степенями свободы стимулировало изучение эффектов шума и декогеренции на вероятность перехода в управляемой системе с двумя состояниями. Для описания этих эффектов было получено несколько компактных аналитических результатов, включая формулу Каянумы [28] для сильного диагонального шума и формулу Покровского – Синицына [29] для связи с быстрым цветным шумом с недиагональными компонентами.
Используя функцию Грина Швингера-Келдыша, Ао и Раммер в конце 1980-х провели довольно полное и всестороннее исследование влияния квантового шума во всех режимах параметров: от слабой до сильной связи, от низкой до высокой температуры, от медленного до быстрого прохождения и т. Были получены краткие аналитические выражения в различных пределах, показывающие богатое поведение такой проблемы. [30] Влияние ядерной спиновой ванны и термостата на процесс Ландау-Зинера исследовали Синицын и Прокофьев [31] и Покровский и Сан, [32] [33] [34] соответственно.
Точные результаты в многоступенчатой теории Ландау – Зинера ( теорема о непроходимости и BE-формула ) могут быть применены к системам Ландау-Зинера, которые связаны с ваннами, состоящими из бесконечного множества осцилляторов и / или спиновых ванн (диссипативные переходы Ландау-Зинера). Они дают точные выражения для вероятностей переходов, усредненных по конечным состояниям ванны, если эволюция начинается с основного состояния при нулевой температуре, см. для ванн осциллятора [35] и для универсальных результатов, включая спиновые ванны, в [35] [36]
Смотрите также
- Теория неадиабатических переходных состояний
- Адиабатическая теорема
- Смягчение связи
- Связующее затвердевание
- Уравнение Фруассара-Стора
Рекомендации
- ^ Л. Ландау (1932). "Zur Theorie der Energieubertragung. II". Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion . 2 : 46–51.
- ^ К. Зенер (1932). «Неадиабатическое пересечение энергетических уровней». Труды Королевского общества Лондона . 137 (6): 696–702. Bibcode : 1932RSPSA.137..696Z . DOI : 10.1098 / rspa.1932.0165 . JSTOR 96038 .
- ^ ЭКГ Штюкельберг (1932). "Theorie der unelastischen Stösse zwischen Atomen". Helvetica Physica Acta . 5 : 369. DOI : 10.5169 / уплотнители-110177 .
- ^ Э. Майорана (1932). "Atomi orientati in campo magno variabile". Il Nuovo Cimento . 9 (2): 43–50. Bibcode : 1932NCim .... 9 ... 43M . DOI : 10.1007 / BF02960953 .
- ^ Abramowitz, M .; И. А. Стегун (1976). Справочник по математическим функциям (9-е изд.). Dover Publications. С. 498 . ISBN 978-0-486-61272-0.
- ^ К. Виттиг (2005). «Формула Ландау – Зинера». Журнал физической химии B . 109 (17): 8428–8430. DOI : 10.1021 / jp040627u . PMID 16851989 .
- ^ Н.А. Синицын; J. Lin; В.Ю. Черняк (2017). «Ограничения на амплитуды рассеяния в многоступенчатой теории Ландау-Зинера». Physical Review . 95 (1): 0112140. arXiv : 1609.06285 . Bibcode : 2017PhRvA..95a2140S . DOI : 10.1103 / PhysRevA.95.012140 .
- ^ С. Брандоблер; В. Эльзер (1993). «S-матрица для обобщенной задачи Ландау – Зинера». Журнал Physics A . 26 (5): 1211. Bibcode : 1993JPhA ... 26.1211B . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 26/5/037 .
- ^ Б. Добреску; Н.А. Синицын (2006). «Прокомментируйте« Точные результаты для вероятности выживания в многоуровневой модели Ландау-Зинера » » Журнал Physics B . 39 (5): 1253. arXiv : cond-mat / 0505571 . Bibcode : 2006JPhB ... 39.1253D . DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 39/5 / N01 .
- ^ М.В. Волков; В. Н. Островский (2004). «Точные результаты для вероятности выживания в многоуровневой модели Ландау – Зинера». Журнал Physics B . 37 (20): 4069. DOI : 10,1088 / 0953-4075 / 37/20/003 .
- ^ Н.А. Синицын (2004). «Контринтуитивные переходы в многоступенчатой задаче Ландау – Зинера с линейными пересечениями уровней». Журнал Physics A . 37 (44): 10691–10697. arXiv : квант-ph / 0403113 . Bibcode : 2004JPhA ... 3710691S . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 37/44/016 .
- ^ М.В. Волков; В. Н. Островский (2005). «Теорема запрета на прохождение полос потенциальных кривых в многоступенчатой модели Ландау – Зинера». Журнал Physics B . 38 (7): 907. Bibcode : 2005JPhB ... 38..907V . DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 38/7/011 .
- ^ Н.А. Синицын (2015). «Точные результаты для моделей многоканальных квантовых неадиабатических переходов». Physical Review . 90 (7): 062509. arXiv : 1411.4307 . Bibcode : 2014PhRvA..90f2509S . DOI : 10.1103 / PhysRevA.90.062509 .
- ^ Ф. Ли; Н.А. Синицын (2016). «Динамические симметрии и квантовые неадиабатические переходы». Химическая физика . 481 : 28–33. arXiv : 1604.00106 . Bibcode : 2016CP .... 481 ... 28L . DOI : 10.1016 / j.chemphys.2016.05.029 .
- ^ Н.А. Синицын; В.Ю. Черняк (2017). «В поисках разрешимых многоуровневых моделей Ландау-Зинера». Журнал Physics A . 50 (25): 255203. arXiv : 1701.01870 . Bibcode : 2017JPhA ... 50y5203S . DOI : 10.1088 / 1751-8121 / aa6800 .
- ^ Ю. Н. Демков; В. И. Ошеров (1968). «Стационарные и нестационарные задачи квантовой механики, которые могут быть решены с помощью контурного интегрирования». Советская физика в ЖЭТФ . 24 : 916. Bibcode : 1968JETP ... 26..916D .
- ^ Ю. Н. Демков; В. Н. Островский (2001). «Точное решение многоступенчатой модели типа Ландау – Зинера: обобщенная модель галстука-бабочки». Журнал Physics B . 34 (12): 2419. Bibcode : 2001JPhB ... 34.2419D . DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 34/12/309 .
- ^ Н.А. Синицын; Ф. Ли (2016). «Решаемая многоступенчатая модель переходов Ландау-Зинера в КЭД резонатора». Physical Review . 93 (6): 063859. arXiv : 1602.03136 . Bibcode : 2016PhRvA..93f3859S . DOI : 10.1103 / PhysRevA.93.063859 .
- ^ C. Sun; Н.А. Синицын (2016). «Расширение Ландау-Зинера модели Тависа-Каммингса: структура решения». Physical Review . 94 (3): 033808. arXiv : 1606.08430 . Bibcode : 2016PhRvA..94c3808S . DOI : 10.1103 / PhysRevA.94.033808 .
- ^ В. Я. Черняк; Н.А. Синицын; К. Сан (2019). «Динамическая локализация спина и гамма-магниты». Physical Review B . 10 (22): 224304. arXiv : 1905.05287 . Bibcode : 2019PhRvB.100v4304C . DOI : 10.1103 / PhysRevB.100.224304 .
- ^ Н.А. Синицын (2002). «Многочастичная проблема Ландау – Зинера: приложение к квантовым точкам». Physical Review B . 66 (20): 205303. arXiv : cond-mat / 0212017 . Bibcode : 2002PhRvB..66t5303S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.66.205303 .
- ^ А. Патра; Е.А. Юзбашян (2015). «Квантовая интегрируемость в многоступенчатой задаче Ландау – Зинера». Журнал Physics A . 48 (24): 245303. arXiv : 1412.4926 . Bibcode : 2015JPhA ... 48x5303P . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 48/24/245303 .
- ^ Г.С. Васильев; С.С. Иванов; Н.В. Витанов (2007). «Вырожденная модель Ландау-Зинера: аналитическое решение». Physical Review . 75 (1): 013417. arXiv : 0909.5396 . Bibcode : 2007PhRvA..75a3417V . DOI : 10.1103 / PhysRevA.75.013417 .
- ^ RW Cherng; Л.С. Левитов (2006). «Энтропия и корреляционные функции ведомой квантовой спиновой цепочки». Physical Review . 73 (4): 043614. arXiv : cond-mat / 0512689 . Bibcode : 2006PhRvA..73d3614C . DOI : 10.1103 / PhysRevA.73.043614 .
- ^ Дж. Дзиармага (2005). «Динамика квантового фазового перехода: точное решение квантовой модели Изинга». Письма с физическим обзором . 95 (24): 245701. arXiv : cond-mat / 0509490 . Bibcode : 2005PhRvL..95x5701D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.95.245701 . PMID 16384394 .
- ^ Н.А. Синицын (2013). «Переходы Ландау-Зинера в цепях». Physical Review . 87 (3): 032701. arXiv : 1212.2907 . Bibcode : 2013PhRvA..87c2701S . DOI : 10.1103 / PhysRevA.87.032701 .
- ^ В.Л. Покровский; Н.А. Синицын (2002). «Переходы Ландау – Зинера в линейной цепочке». Physical Review B . 65 (15): 153105. arXiv : cond-mat / 0112419 . Bibcode : 2002PhRvB..65o3105P . DOI : 10.1103 / PhysRevB.65.153105 . ЛВП : 1969,1 / 146790 .
- ^ Ю. Каянума (1984). «Неадиабатические переходы при пересечении уровней с флуктуацией энергии. I. Аналитические исследования». Журнал Физического общества Японии . 53 (1): 108–117. Bibcode : 1984JPSJ ... 53..108K . DOI : 10,1143 / JPSJ.53.108 .
- ^ Ур. 42 дюйм В.Л. Покровский; Н.А. Синицын (2004). «Быстрый шум в теории Ландау – Зинера». Physical Review B . 67 (14): 045603. arXiv : cond-mat / 0212016 . Bibcode : 2003PhRvB..67n4303P . DOI : 10.1103 / PhysRevB.67.144303 . hdl : 1969.1 / 127315 .
- ^ Таблица I в П. Ао; Дж. Раммер (1991). «Квантовая динамика системы с двумя состояниями в диссипативной среде». Physical Review B . 43 (7): 5497–5518. Bibcode : 1991PhRvB..43.5397A . DOI : 10.1103 / PhysRevB.43.5397 . PMID 9997936 .
- ^ Н.А. Синицын; Прокофьев Н. (2003). «Ядерная спиновая ванна влияет на переходы Ландау – Зинера в наномагнетиках». Physical Review B . 67 (13): 134403. Bibcode : 2003PhRvB..67m4403S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.67.134403 .
- ^ В.Л. Покровский; Д. Сан (2007). «Быстрый квантовый шум при переходе Ландау – Зинера». Physical Review B . 76 (2): 024310. arXiv : cond-mat / 0702476 . Bibcode : 2007PhRvB..76b4310P . DOI : 10.1103 / PhysRevB.76.024310 . ЛВП : 1969,1 / 127339 .
- ^ Д. Сан; А. Абанов; В.Л. Покровский (2008). «Молекулярное производство в широком резонансе Фешбаха в ферми-газе охлажденных атомов». EPL . 83 (1): 16003. arXiv : 0707.3630 . Bibcode : 2008EL ..... 8316003S . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 83/16003 .
- ^ Д. Сан; А. Абанов; В.Л. Покровский (2009). «Статические и динамические свойства ферми-газа охлажденных атомов вблизи широкого резонанса Фешбаха». arXiv : 0902.2178 [ cond-mat.other ].
- ^ М. Вубс; К. Сайто; С. Колер; П. Хангги; Я. Каянума (2006). «Измерение квантового термостата с диссипативными переходами Ландау-Зинера». Письма с физическим обзором . 97 (20): 200404. arXiv : cond-mat / 0608333 . Bibcode : 2006PhRvL..97t0404W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.97.200404 . PMID 17155667 .
- ^ К. Сайто; М. Вубс; С. Колер; Ю. Каянума; П. Хангги (2007). "Диссипативные переходы Ландау-Зинера кубита: специфическое для ванны и универсальное поведение". Physical Review B . 75 (21): 214308. arXiv : cond-mat / 0703596 . Bibcode : 2007PhRvB..75u4308S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.75.214308 .