Закон повторного логарифма

График (красный), его стандартное отклонение (синий) и его граница, заданная LIL (зеленый). Обратите внимание на то, как он случайным образом переключается с верхней границы на нижнюю. Обе оси преобразуются нелинейно (как объяснено в сводке рисунков), чтобы сделать этот эффект более заметным.${\ displaystyle S_ {n} / n}$${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {n}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ log \ log n / n}}}$

В теории вероятностей , то закон повторного логарифма описывает величину флуктуаций случайного блуждания . Первоначальная формулировка закона повторного логарифма принадлежит А.Я. Хинчин (1924). ^[1] Другое заявление было сделано А.Н. Колмогоровым в 1929 году. ^[2]

Заявление [ править ]

Пусть { Y _n } независимые, одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним и единичной дисперсией. Пусть S _n = Y ₁ + ... + Y _n . потом

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ pm S_ {n}} {\ sqrt {2n \ log \ log n}}} = 1 \ quad {\ text {as}},}$

где «log» - натуральный логарифм , «lim sup» означает верхний предел , а «as» означает « почти наверняка ». ^{[3] [4]}

Обсуждение [ править ]

Закон повторных логарифмов действует «между» законом больших чисел и центральной предельной теоремой . Есть две версии закона больших чисел - слабая и сильная - и обе они утверждают, что суммы S _n , масштабированные на n ⁻¹ , сходятся к нулю соответственно по вероятности и почти наверняка :

${\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {n}} \ {\ xrightarrow {p}} \ 0, \ qquad {\ frac {S_ {n}} {n}} \ {\ xrightarrow {as}} 0, \ qquad {\ text {as}} \ \ n \ to \ infty.}$

С другой стороны, центральная предельная теорема утверждает, что суммы S _n, масштабированные с коэффициентом n − ^1/2, сходятся по распределению к стандартному нормальному распределению. По закону нуля или единицы Колмогорова для любого фиксированного M вероятность того, что событие произойдет, равна 0 или 1. Тогда${\ displaystyle \ limsup _ {n} {\ frac {S_ {n}} {\ sqrt {n}}} \ geq M}$

${\displaystyle \Pr \left(\limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M\right)\geqslant \limsup _{n}\Pr \left({\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M\right)=\Pr \left({\mathcal {N}}(0,1)\geq M\right)>0}$

так

${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}=\infty \qquad {\text{with probability 1.}}}$

Аналогичный аргумент показывает, что

${\displaystyle \liminf _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}=-\infty \qquad {\text{with probability 1.}}}$

Это означает, что эти величины не могут почти наверняка сходиться. На самом деле они не могут даже сходиться по вероятности, что следует из равенства

${\displaystyle {\frac {S_{2n}}{\sqrt {2n}}}-{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {S_{2n}-S_{n}}{\sqrt {n}}}-\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right){\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}$

и тот факт, что случайные величины

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {S_{2n}-S_{n}}{\sqrt {n}}}}$

независимы и оба сходятся по распределению к ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1).}$

Закон повторного логарифма обеспечивает коэффициент масштабирования , где два ограничения становятся разными:

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{\sqrt {2n\log \log n}}}\ {\xrightarrow {p}}\ 0,\qquad {\frac {S_{n}}{\sqrt {2n\log \log n}}}\ {\stackrel {a.s.}{\nrightarrow }}\ 0,\qquad {\text{as}}\ \ n\to \infty .}$

Таким образом, хотя величина меньше любого заранее определенного ε  > 0 с вероятностью, приближающейся к единице, тем не менее количество будет больше ε бесконечно часто; фактически, количество будет посещать окрестности любой точки в интервале (-1,1) почти наверняка.${\displaystyle \left|S_{n}/{\sqrt {2n\log \log n}}\right|}$

Выставка предельных теорем и их взаимосвязи

Обобщения и варианты [ править ]

Закон повторного логарифма (LIL) для суммы независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин с нулевым средним и ограниченным приращением восходит к Хинчину и Колмогорову в 1920-х годах.

С тех пор была проделана огромная работа над LIL для различных видов зависимых структур и для случайных процессов. Ниже приводится небольшой пример заметных событий.

Хартман – Винтнер (1940) обобщил LIL на случайные блуждания с приращениями с нулевым средним и конечной дисперсией.

Штрассен (1964) изучал LIL с точки зрения принципов инвариантности.

Стаут (1970) обобщил LIL на стационарные эргодические мартингалы.

Де Акоста (1983) дал простое доказательство версии LIL Хартмана – Винтнера.

Виттманн (1985) обобщил версию LIL Хартмана – Винтнера на случайные блуждания, удовлетворяющие более мягким условиям.

Вовк (1987) вывел версию LIL, пригодную для одной хаотической последовательности (случайная последовательность Колмогорова). Это примечательно, так как это выходит за рамки классической теории вероятностей.

Юнгге Ван показал, что закон повторного логарифма справедлив и для псевдослучайных последовательностей с полиномиальным временем. ^{[5] [6]} Инструмент тестирования программного обеспечения на базе Java проверяет, выводит ли генератор псевдослучайных последовательностей последовательности, удовлетворяющие LIL.

Неасимптотическая версия, которая имеет место для мартингальных выборочных траекторий за конечное время , также была доказана ^[7] и применена. ^{[8] [9]}

См. Также [ править ]

• Центральная предельная теорема
• Итерированный логарифм
• Закон больших чисел
• Броуновское движение

Примечания [ править ]