Соответствие группы Ли и алгебры Ли

В математике соответствие группы Ли и алгебры Ли позволяет изучать группы Ли , которые являются геометрическими объектами, в терминах алгебр Ли , которые являются линейными объектами. В этой статье группа Ли относится к реальной группе Ли. Для комплексных и p -адических случаев см. Комплексную группу Ли и p -адическую группу Ли .

В этой статье предполагается, что многообразия (в частности, группы Ли) счетны вторыми ; в частности, они имеют не более чем счетное число компонент связности.

Основы [ править ]

Алгебра Ли группы Ли [ править ]

Существуют различные способы можно понять построение алгебры Ли группы Ли G . Один подход использует левоинвариантные векторные поля. Векторное поле X на G называется инвариантной относительно левых сдвигов , если для любого г , ч в G ,

{\ displaystyle (dl_ {g}) _ {h} (X_ {h}) = X_ {gh}}

где и это дифференциальное из между касательными пространствами . (Другими словами, он связан сам с собой для любого g в G. ) ${\ displaystyle l_ {g}: от G \ до G, x \ mapsto gx}$ ${\ displaystyle (dl_ {g}) _ {h}: T_ {h} G \ to T_ {gh} G}$ ${\ displaystyle l_ {g}}$ ${\ displaystyle l_ {g}}$

Пусть множество всех лево-инвариантных относительно сдвига векторных полей на G . Это настоящее векторное пространство. Более того, он замкнут относительно скобки Ли ; т.е. лево-перевод-инвариантный , если X , Y является. Таким образом, является подалгеброй Ли алгебры Ли всех векторных полей на G и называется алгеброй Ли группы G ${\ displaystyle \ operatorname {Lie} (G)}$ ${\ displaystyle [X, Y]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Lie} (G)}$ . Это можно понять более конкретно, отождествив пространство левоинвариантных векторных полей с касательным пространством в единице, следующим образом: для данного левоинвариантного векторного поля можно взять его значение в единице, а для заданного касательного вектора в точке тождество, его можно расширить до левоинвариантного векторного поля. Таким образом, алгебру Ли можно рассматривать как касательное пространство в единице, а скобку X и Y в ней можно вычислить, расширив их до левоинвариантных векторных полей, взяв коммутатор векторных полей, а затем вычислив в личность. ${\ displaystyle T_ {e} G}$

Существует также другое воплощение как алгебра Ли примитивных элементов алгебры Хопфа распределений на G с опорой на единичный элемент; для этого см. # Соответствующие конструкции ниже. ${\ displaystyle \ operatorname {Lie} (G)}$

Матричные группы Ли [ править ]

Предположим, что G - замкнутая подгруппа в GL (n; C ) и, следовательно, группа Ли по теореме о замкнутых подгруппах . Тогда алгебра Ли группы G может быть вычислена как

{\ displaystyle \ operatorname {Lie} (G) = \ {X \ in M ​​(n; \ mathbb {C}) | e ^ {tX} \ in G {\ text {для всех}} t \ in \ mathbb { \ mathbb {R}} \}.}

^[1]^[2]

Например, можно использовать критерий для установления соответствия для классических компактных групп (см. Таблицу в «компактных группах Ли» ниже).

Гомоморфизмы [ править ]

Если

{\ displaystyle f: G \ to H}

является гомоморфизмом группы Ли , то его дифференциал в единице

df=df_{e}:\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)

является гомоморфизмом алгебр Ли (скобки переходят к скобкам), который обладает следующими свойствами:

$\mathrm {exp} (df(X))=f(\mathrm {exp} (X))$ для всех X в Lie ( G ), где "exp" - экспоненциальное отображение
$\operatorname {Lie} (\operatorname {ker} (f))=\operatorname {ker} (df)$ . ^[3]
Если образ f замкнут ^[4], то ^[5] и верна первая теорема об изоморфизме : f индуцирует изоморфизм групп Ли: $\operatorname {Lie} (\operatorname {im} (f))=\operatorname {im} (df)$

G/\operatorname {ker} (f)\to \operatorname {im} (f)

.

Верно цепное правило : если и - гомоморфизмы групп Ли, то $f:G\to H$ $g:H\to K$ $d(g\circ f)=(dg)\circ (df).$

В частности, если H - замкнутая подгруппа ^[6] группы Ли G , то является подалгеброй Ли группы . Кроме того , если е инъективно, то F является погружение и так G называется погруженным (Ли) подгруппа H . Например, это погруженная подгруппа H . Если f сюръективно, то f - субмерсия, а если, кроме того, G компактна, то f - главное расслоение со структурной группой его ядром. ( Лемма Эресмана $\operatorname {Lie} (H)$ $\operatorname {Lie} (G)$ $G/\operatorname {ker} (f)$ )

Другие свойства [ править ]

Позвольте быть прямым произведением групп Ли и проекций. Тогда дифференциалы дают каноническую идентификацию: $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}$ $p_{i}:G\to G_{i}$ $dp_{i}:\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (G_{i})$

\operatorname {Lie} (G_{1}\times \cdots \times G_{r})=\operatorname {Lie} (G_{1})\oplus \cdots \oplus \operatorname {Lie} (G_{r})

.

Если - подгруппы Ли группы Ли, то $H,H'$ $\operatorname {Lie} (H\cap H')=\operatorname {Lie} (H)\cap \operatorname {Lie} (H').$

Пусть G - связная группа Ли. Если H группа Ли, то любой гомоморфизм групп Ли однозначно определяется своим дифференциалом . Точнее, существует экспоненциальное отображение (и одно для H ) такое, что и, поскольку G связна, это однозначно определяет f . ^[7] В общем случае, если U - окрестность единицы в связной топологической группе G , то совпадает с G , поскольку первая является открытой (а значит, замкнутой) подгруппой. Сейчас же, $f:G\to H$ $df$ $\operatorname {exp} :\operatorname {Lie} (G)\to G$ $f(\operatorname {exp} (X))=\operatorname {exp} (df(X))$ $\bigcup _{n>0}U^{n}$ $\operatorname {exp} :\operatorname {Lie} (G)\to G$ определяет локальный гомеоморфизм из окрестности нулевого вектора в окрестность единичного элемента. Например, если G - группа Ли обратимых вещественных квадратных матриц размера n ( общая линейная группа ), то является алгеброй Ли вещественных квадратных матриц размера n и . $\operatorname {Lie} (G)$ $\displaystyle \exp(X)=e^{X}=\sum _{0}^{\infty }{X^{j}/j!}$

Переписка [ править ]

Соответствие между группами Ли и алгебрами Ли включает следующие три основных результата.

Третья теорема Ли : всякая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой односвязной группы Ли . ^[8]
Теорема о гомоморфизмах : если является гомоморфизмом алгебр Ли и если G односвязна, то существует (единственный) гомоморфизм групп Ли такой, что . ^[9] $\phi :\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)$ $f:G\to H$ $\phi =df$
Теорема о подгруппах – подалгебрах : если G группа Ли и является подалгеброй Ли в , то существует единственная связная подгруппа Ли (не обязательно замкнутая) H группы G с алгеброй Ли . ^[10] ${\mathfrak {h}}$ $\operatorname {Lie} (G)$ ${\mathfrak {h}}$

Во второй части соответствия нельзя опустить предположение об односвязности G. Например, алгебры Ли SO (3) и SU (2) изоморфны ^[11], но не существует соответствующего гомоморфизма SO (3) в SU (2). ^[12] Скорее, гомоморфизм идет от односвязной группы SU (2) к неодносвязной группе SO (3). ^[13] Если G и H оба односвязны и имеют изоморфные алгебры Ли, приведенный выше результат позволяет показать, что G и H изоморфны. ^[14] Одним из способов построения f является использование формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа.. ^[15]

Доказательство третьей теоремы Ли [ править ]

Возможно, наиболее элегантное доказательство первого результата выше использует теорему Адо , которая гласит, что любая конечномерная алгебра Ли (над полем любой характеристики) является подалгеброй Ли в алгебре Ли квадратных матриц. Доказательство выглядит следующим образом: по теореме Адо мы предполагаем, что это подалгебра Ли. Пусть G - подгруппа в, порожденная с помощью, и пусть - односвязное покрытие группы G ; нетрудно показать, что это группа Ли и что накрывающее отображение является гомоморфизмом групп Ли. Поскольку это завершает доказательство. ${\mathfrak {gl}}_{n}$ ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )=\operatorname {Lie} (GL_{n}(\mathbb {R} ))$ $GL_{n}(\mathbb {R} )$ $e^{\mathfrak {g}}$ ${\widetilde {G}}$ ${\widetilde {G}}$ $T_{e}{\widetilde {G}}=T_{e}G={\mathfrak {g}}$

Пример: каждый элемент X в алгебре Ли порождает гомоморфизм алгебры Ли ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$

\mathbb {R} \to {\mathfrak {g}},\,t\mapsto tX.

По третьей теореме Ли , как и ехр для него является тождественным, то этот гомоморфизм является дифференциалом группы Ли гомоморфизма для некоторой погруженной подгруппы H из G . Этот гомоморфизм групп Ли, называемый однопараметрической подгруппой, порожденной X , является в точности экспоненциальным отображением, а H - его образом. Предшествующее можно суммировать , чтобы сказать , что существует каноническое взаимно однозначное соответствие между и множество однопараметрических подгрупп группы G . ^[16] $\operatorname {Lie} (\mathbb {R} )=T_{0}\mathbb {R} =\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \to H$ $t\mapsto \operatorname {exp} (tX)$ ${\mathfrak {g}}$

Доказательство теоремы о гомоморфизмах [ править ]

Один из подходов к доказательству второй части соответствия группы Ли и алгебры Ли (теорема о гомоморфизмах) состоит в использовании формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа , как в разделе 5.7 книги Холла. ^{[17] В} частности, учитывая гомоморфизм алгебры Ли от до , мы можем определить локально (т. Е. В окрестности единицы) формулой $\phi$ $\operatorname {Lie} (G)$ $\operatorname {Lie} (H)$ $f:G\to H$

f(e^{X})=e^{\phi (X)}

,

где - экспоненциальное отображение для G , обратное к которому определено около единицы. Теперь мы докажем, что f - локальный гомоморфизм. Таким образом, для двух элементов, близких к единице и (с маленькими X и Y ), мы рассматриваем их произведение . Согласно формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа имеем , где $e^{X}$ $e^{X}$ $e^{Y}$ $e^{X}e^{Y}$ $e^{X}e^{Y}=e^{Z}$

Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]+\cdots

,

с указанием других терминов , выраженных в виде повторных коммутаторов с участием X и Y . Таким образом, $\cdots$

f(e^{X}e^{Y})=f(e^{Z})=e^{\phi (Z)}=e^{\phi (X)+\phi (Y)+{\frac {1}{2}}[\phi (X),\phi (Y)]+{\frac {1}{12}}[\phi (X),[\phi (X),\phi (Y)]]+\cdots },

потому что является гомоморфизмом алгебр Ли. Используя снова формулу Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа , на этот раз для группы H , мы видим, что это последнее выражение принимает вид , и поэтому мы имеем $\phi$ $e^{\phi (X)}e^{\phi (Y)}$

f(e^{X}e^{Y})=e^{\phi (X)}e^{\phi (Y)}=f(e^{X})f(e^{Y}).

Таким образом, f обладает свойством гомоморфизма, по крайней мере, когда X и Y достаточно малы. Важно подчеркнуть, что этот аргумент является только локальным, поскольку экспоненциальное отображение обратимо только в небольшой окрестности единицы в G и поскольку формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа верна, только если X и Y малы. Предположение об односвязности G еще не использовалось.

Следующим этапом рассуждения является продолжение f от локального гомоморфизма до глобального. Расширение выполняется путем определения f вдоль пути, а затем использования простой связности G, чтобы показать, что определение не зависит от выбора пути.

Представления группы Ли [ править ]

Частный случай соответствия Ли - это соответствие между конечномерными представлениями группы Ли и представлениями ассоциированной алгебры Ли.

Общая линейная группа является (действительной) группой Ли, и любой гомоморфизм групп Ли $GL_{n}(\mathbb {C} )$

\pi :G\to GL_{n}(\mathbb {C} )

называется представлением группы Ли G . Дифференциал

d\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )

,

тогда является гомоморфизмом алгебры Ли, который называется представлением алгебры Ли . (Дифференциал часто обозначается просто .) $d\pi$ $\pi$

Гомоморфизмы теорема (упомянутые выше , как часть Ли группы Ли алгебры корреспонденции) , то говорит , что если это просто связная группа Ли, алгебра Ли , каждое представление исходит из представления G . Предположение об односвязности G существенно. Рассмотрим, например, группу вращений SO (3) , которая не является односвязной. Существует одно неприводимое представление алгебры Ли в каждом измерении, но только нечетномерные представления алгебры Ли происходят из представлений группы. ^[18] (Это наблюдение связано с различием между целочисленным спином и полуцелым спином $G$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ в квантовой механике.) С другой стороны, группа SU (2) односвязна с алгеброй Ли, изоморфной алгебре Ли SO (3), поэтому каждое представление алгебры Ли группы SO (3) действительно порождает представление алгебры Ли SO (3). СУ (2) .

Присоединенное представление [ править ]

Примером представления группы Ли является присоединенное представление группы Ли G ; каждый элемент г в группе Ли G определяет автоморфизм G сопряжением: ; тогда дифференциал является автоморфизмом алгебры Ли . Таким образом, мы получаем представление , называемое присоединенным представлением. Соответствующая алгебра Ли гомоморфизм называется присоединенным представлением о и обозначается . Можно показать , что , в частности , следует , что скобки Ли определяется групповым законом о G . $c_{g}(h)=ghg^{-1}$ $dc_{g}$ ${\mathfrak {g}}$ $\operatorname {Ad} :G\to GL({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto dc_{g}$ ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ ${\mathfrak {g}}$ $\operatorname {ad}$ $\operatorname {ad} (X)(Y)=[X,Y]$ ${\mathfrak {g}}$

По третьей теореме Ли существует подгруппа в которой алгебра Ли . ( вообще говоря, не замкнутая подгруппа; только погруженная подгруппа.) Она называется присоединенной группой группы . ^[19] Если G связан, он укладывается в точную последовательность: $\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})$ $GL({\mathfrak {g}})$ $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$ $\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})$ ${\mathfrak {g}}$

0\to Z(G)\to G{\overset {\operatorname {Ad} }{\to }}\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})\to 0

где находится центр G . Если центр G дискретен, то здесь Ad - накрывающее отображение. $Z(G)$

Пусть G - связная группа Ли. Тогда G является унимодулярным тогда и только тогда , когда для всех г в G . ^[20] $\operatorname {det} (\operatorname {Ad} (g))=1$

Пусть G группа Ли , действующая на многообразии X и G _х стабилизатор точки х в X . Пусть . потом $\rho (x):G\to X,\,g\mapsto g\cdot x$

$\operatorname {Lie} (G_{x})=\operatorname {ker} (d\rho (x):T_{e}G\to T_{x}X)$ .
Если орбита локально замкнута, то орбита является подмногообразием X и . ^[21] $G\cdot x$ $T_{x}(G\cdot x)=\operatorname {im} (d\rho (x):T_{e}G\to T_{x}X)$

Для подмножества А из или G , пусть ${\mathfrak {g}}$

{\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(A)=\{X\in {\mathfrak {g}}|\operatorname {ad} (a)X=0{\text{ or }}\operatorname {Ad} (a)X=0{\text{ for all }}a{\text{ in }}A\}

Z_{G}(A)=\{g\in G|\operatorname {Ad} (g)a=0{\text{ or }}ga=ag{\text{ for all }}a{\text{ in }}A\}

алгебра Ли центратор и группы Ли централизатор А . Тогда . $\operatorname {Lie} (Z_{G}(A))={\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(A)$

Если H - замкнутая связная подгруппа группы G , то H нормальна тогда и только тогда, когда является идеалом и в таком случае . $\operatorname {Lie} (H)$ $\operatorname {Lie} (G/H)=\operatorname {Lie} (G)/\operatorname {Lie} (H)$

Абелевы группы Ли [ править ]

Пусть G - связная группа Ли. Поскольку алгебра Ли центра группы G является центром алгебры Ли группы G (см. Предыдущий §), G абелева тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли абелева.

Если G абелева, то экспоненциальное отображение является гомоморфизмом сюръективной группы. ^[22] Его ядро - дискретная группа (поскольку размерность равна нулю), называемая целочисленной решеткой группы G и обозначаемая . По первой теореме об изоморфизме индуцирует изоморфизм . $\operatorname {exp} :{\mathfrak {g}}\to G$ $\Gamma$ $\operatorname {exp}$ ${\mathfrak {g}}/\Gamma \to G$

По жесткости аргумента , то фундаментальная группа связной группы Ли G является центральной подгруппой односвязного покрытия из G ; другими словами, G помещается в центральное расширение $\pi _{1}(G)$ ${\widetilde {G}}$

1\to \pi _{1}(G)\to {\widetilde {G}}{\overset {p}{\to }}G\to 1.

Эквивалентно, для данной алгебры Ли и односвязной группы Ли, алгебра Ли которой есть , существует взаимно однозначное соответствие между факторами по дискретным центральным подгруппам и связными группами Ли, имеющими алгебру Ли . ${\mathfrak {g}}$ ${\widetilde {G}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\widetilde {G}}$ ${\mathfrak {g}}$

Для сложного случая важны комплексные торы ; см. сложную группу Ли по этой теме.

Компактные группы Ли [ править ]

Пусть G - связная группа Ли с конечным центром. Тогда следующие эквивалентны.

G компактна.
(Вейль) Односвязное покрытие группы G компактно. ${\widetilde {G}}$
Присоединенная группа компактна. $\operatorname {Int} {\mathfrak {g}}$
Существует вложение как замкнутая подгруппа. $G\hookrightarrow O(n,\mathbb {R} )$
Форма убийства на отрицательно определена. ${\mathfrak {g}}$
Для каждого X дюйма , является диагонализируемы и имеет нулевые или чисто мнимые собственные значения. ${\mathfrak {g}}$ $\operatorname {ad} (X)$
Существует инвариантный внутренний продукт на . ${\mathfrak {g}}$

Важно подчеркнуть, что эквивалентность предыдущих условий выполняется только в предположении, что G имеет конечный центр. Так, например, если G компактна с конечным центром , универсальное покрытие также компактно. Ясно, что этот вывод неверен, если G имеет бесконечный центр, например, если . Последние три приведенных выше условия имеют чисто алгебраическую природу Ли. ${\widetilde {G}}$ $G=S^{1}$

Компактная группа Ли	Комплексификация ассоциированной алгебры Ли	Корневая система
SU (n + 1) $=\{A\in M_{n+1}(\mathbb {C} )\|{\overline {A}}^{\mathrm {T} }A=I,\operatorname {det} (A)=1\}$	s l ( n + 1 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )} $=\{X\in M_{n+1}(\mathbb {C} )\|\operatorname {tr} X=0\}$	А _п
ТАК (2n + 1) $=\{A\in M_{2n+1}(\mathbb {R} )\|A^{\mathrm {T} }A=I,\operatorname {det} (A)=1\}$	s o ( 2 n + 1 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,\mathbb {C} )} $=\{X\in M_{2n+1}(\mathbb {C} )\|X^{\mathrm {T} }+X=0\}$	B _n
Sp (п) $=\{A\in U(2n)\|A^{\mathrm {T} }JA=J\},\,J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}$	s p ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(n,\mathbb {C} )} $=\{X\in M_{2n}(\mathbb {C} )\|X^{\mathrm {T} }J+JX=0\}$	C _n
SO (2n) $=\{A\in M_{2n}(\mathbb {R} )\|A^{\mathrm {T} }A=I,\operatorname {det} (A)=1\}$	s o ( 2 n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,\mathbb {C} )} $=\{X\in M_{2n}(\mathbb {C} )\|X^{\mathrm {T} }+X=0\}$	D _n

Если G - компактная группа Ли, то

H^{k}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )=H_{\text{dR}}(G)

где левая сторона является алгеброй когомологий из и правая является когомологий де Рама из G . (Грубо говоря, это является следствием того факта, что любую дифференциальную форму на G можно сделать левоинвариантной с помощью аргумента усреднения.) ${\mathfrak {g}}$

Связанные конструкции [ править ]

Пусть G - группа Ли. Ассоциированную алгебру Ли группы G можно также определить следующим образом. Позвольте быть алгеброй распределений на G с носителем в единичном элементе с умножением, заданным сверткой . на самом деле алгебра Хопфа . Алгебра Ли группы G является алгеброй Ли примитивных элементов в . ^[23] По теореме Милноры-Мура , существует канонический изоморфизм между универсальным обертывающим из и . $\operatorname {Lie} (G)$ $A(G)$ $A(G)$ ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)=P(A(G))$ $A(G)$ $U({\mathfrak {g}})=A(G)$ ${\mathfrak {g}}$ $A(G)$

См. Также [ править ]

компактная алгебра Ли
Теорема Милнора – Мура
Формальная группа
Алгебра Ли Мальцева
Распределение на линейной алгебраической группе

Заметки [ править ]

^ Helgason 1978 , гл. II, § 2, предложение 2.7.
^ Зал 2015 Раздел 3.3
^ В более общем смысле, если H ' - замкнутая подгруппа в H , то $\operatorname {Lie} (f^{-1}(H'))=(df)^{-1}(\operatorname {Lie} (H')).$
^ Это требование нельзя пропустить; см. также https://math.stackexchange.com/q/329753
^ Бурбаки , гл. III, § 3, нет. 8, предложение 28
^ Бурбаки , гл. III, § 1, предложение 5
^ Холл 2015 Следствие 3.49
^ Холл 2015 Теорема 5.25
^ Холл 2015 Теорема 5.6
^ Холл 2015 Теорема 5.20
^ Холл 2015 Пример 3.27
^ Hall 2015 Предложение 4,35
^ Зал 2015 Раздел 1.4
^ Холл 2015 Следствие 5.7
^ Зал 2015 Раздел 5.7
^ Холл 2015 Теорема 2.14
^ Зал 2015
^ Холл, 2015 и раздел 4.7
^ Helgason 1978 , Ч. II, § 5
^ Бурбаки , гл. VII, § 6, нет. 2, следствие 4. к предложению 1.
^ Бурбаки , гл. III, § 1, нет. 7, предложение 14.
^ Это сюръективно, потому чтоasabelian. $\operatorname {exp} ({\mathfrak {g}})^{n}=\operatorname {exp} ({\mathfrak {g}})$ ${\mathfrak {g}}$
^ Бурбаки , гл. III, § 3. нет. 7

Ссылки [ править ]

Бурбаки, Н. (1981), Groupes et algèbres de Lie (Chapitre 3) , Éléments de Mathématique, Hermann
Duistermaat, JJ; Колк, А. (2000), группы Ли , Universitext, Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-642-56936-4 , ISBN 3540152938
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 , ISBN 978-3319134666
Хелгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5

Внешние ссылки [ править ]

Примечания для Math 261A Группы Ли и алгебры Ли
Попов, В.Л. (2001) [1994], "Алгебра Ли аналитической группы" , Энциклопедия математики , EMS Press
Формальная теория Ли в нулевой характеристике , сообщение в блоге Ахила Мэтью

[1] Helgason 1978 , гл. II, § 2, предложение 2.7.

[2] Зал 2015 Раздел 3.3

[3] ^ В более общем смысле, если H ' - замкнутая подгруппа в H , то $\operatorname {Lie} (f^{-1}(H'))=(df)^{-1}(\operatorname {Lie} (H')).$

[4] Это требование нельзя пропустить; см. также https://math.stackexchange.com/q/329753

[5] Бурбаки , гл. III, § 3, нет. 8, предложение 28

[6] Бурбаки , гл. III, § 1, предложение 5

[7] Холл 2015 Следствие 3.49

[8] Холл 2015 Теорема 5.25

[9] Холл 2015 Теорема 5.6

[10] Холл 2015 Теорема 5.20

[11] Холл 2015 Пример 3.27

[12] Hall 2015 Предложение 4,35

[13] Зал 2015 Раздел 1.4

[14] Холл 2015 Следствие 5.7

[15] Зал 2015 Раздел 5.7

[16] Холл 2015 Теорема 2.14

[17] Зал 2015

[18] Холл, 2015 и раздел 4.7

[19] Helgason 1978 , Ч. II, § 5

[20] Бурбаки , гл. VII, § 6, нет. 2, следствие 4. к предложению 1.

[21] Бурбаки , гл. III, § 1, нет. 7, предложение 14.

[22] Это сюръективно, потому чтоasabelian. $\operatorname {exp} ({\mathfrak {g}})^{n}=\operatorname {exp} ({\mathfrak {g}})$ ${\mathfrak {g}}$

[23] Бурбаки , гл. III, § 3. нет. 7

[1]

Компактная группа Ли	Комплексификация ассоциированной алгебры Ли	Корневая система
SU (n + 1) $=\{A\in M_{n+1}(\mathbb {C} )\|{\overline {A}}^{\mathrm {T} }A=I,\operatorname {det} (A)=1\}$	s l ( n + 1 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )} $=\{X\in M_{n+1}(\mathbb {C} )\|\operatorname {tr} X=0\}$	А _п
ТАК (2n + 1) $=\{A\in M_{2n+1}(\mathbb {R} )\|A^{\mathrm {T} }A=I,\operatorname {det} (A)=1\}$	s o ( 2 n + 1 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,\mathbb {C} )} $=\{X\in M_{2n+1}(\mathbb {C} )\|X^{\mathrm {T} }+X=0\}$	B _n
Sp (п) $=\{A\in U(2n)\|A^{\mathrm {T} }JA=J\},\,J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}$	s p ( n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(n,\mathbb {C} )} $=\{X\in M_{2n}(\mathbb {C} )\|X^{\mathrm {T} }J+JX=0\}$	C _n
SO (2n) $=\{A\in M_{2n}(\mathbb {R} )\|A^{\mathrm {T} }A=I,\operatorname {det} (A)=1\}$	s o ( 2 n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,\mathbb {C} )} $=\{X\in M_{2n}(\mathbb {C} )\|X^{\mathrm {T} }+X=0\}$	D _n