Чтобы понять формулу Линдхарда, рассмотрим некоторые предельные случаи в 2-х и 3-х измерениях. Одномерный случай рассматривается и по-другому.
Три измерения
Предел длинных волн
Во-первых, рассмотрим длинноволновый предел ().
Для знаменателя формулы Линдхарда получаем
- ,
а для числителя формулы Линдхарда получаем
- .
Подставляя их в формулу Линдхарда и принимая предел, получаем
- ,
где мы использовали , а также .
(В единицах СИ заменить множитель от .)
Этот результат такой же, как и для классической диэлектрической проницаемости.
Статический предел
Во-вторых, рассмотрим статический предел (). Формула Линдхарда становится
- .
Подставляя указанные выше равенства для знаменателя и числителя, получаем
- .
Предполагая тепловое равновесное распределение носителей Ферми – Дирака, получаем
здесь мы использовали а также .
Следовательно,
Здесь, - волновое число трехмерного экранирования (обратная длина трехмерного экранирования), определяемое как .
Тогда трехмерный статически экранированный кулоновский потенциал имеет вид
- .
И преобразование Фурье этого результата дает
известный как потенциал Юкавы . Обратите внимание, что в этом преобразовании Фурье, которое по сути представляет собой сумму по всем , мы использовали выражение для малых для каждого значения что неверно.
Статически экранированный потенциал (верхняя криволинейная поверхность) и кулоновский потенциал (нижняя криволинейная поверхность) в трех измерениях
Для вырожденного ферми-газа ( T = 0) энергия Ферми определяется выражением
- ,
Так что плотность
- .
При T = 0, так .
Подставляя это в приведенное выше уравнение трехмерного экранирующего волнового числа, мы получаем
. |
Это трехмерное волновое число экранирования Томаса – Ферми .
Для справки, скрининг Дебая – Хюккеля описывает невырожденный предельный случай. Результат, трехмерное экранирующее волновое число Дебая – Хюккеля.
Два измерения
Предел длинных волн
Во-первых, рассмотрим длинноволновый предел ().
Для знаменателя формулы Линдхарда
- ,
а для числителя
- .
Подставляя их в формулу Линдхарда и принимая предел , мы получаем
где мы использовали , а также .
Статический предел
Во-вторых, рассмотрим статический предел (). Формула Линдхарда становится
- .
Подставляя указанные выше равенства для знаменателя и числителя, получаем
- .
Предполагая тепловое равновесное распределение носителей Ферми – Дирака, получаем
здесь мы использовали а также .
Следовательно,
2D экранирующее волновое число (2D обратная экранирующая длина), определяемое как .
Тогда статически экранированный двумерный кулоновский потенциал имеет вид
- .
Известно, что химический потенциал двумерного ферми-газа определяется выражением
- ,
а также .
Итак, волновое число 2D экранирования равно
|
Обратите внимание, что этот результат не зависит от n .
Одно измерение
На этот раз рассмотрим обобщенный случай уменьшения размерности. Чем меньше размер, тем слабее экранирующий эффект. В более низком измерении некоторые силовые линии проходят через барьерный материал, при этом экранирование не имеет никакого эффекта. В одномерном случае мы можем предположить, что экранирование влияет только на силовые линии, расположенные очень близко к оси провода.
Эксперимент
В реальном эксперименте мы также должны учитывать эффект объемного трехмерного экранирования, даже если мы имеем дело с одномерным случаем, как с одиночной нитью. Экранирование Томаса – Ферми применялось к электронному газу, ограниченному нитью накала и коаксиальным цилиндром. [5] Для нити K 2 Pt (CN) 4 Cl 0,32 · 2,6H 2 0 было обнаружено, что потенциал в области между нитью и цилиндром изменяется кака его эффективная длина экранирования примерно в 10 раз больше, чем у металлической платины . [5]