В топологии и смежных областях математики , системы окрестностей , полная система окрестностей , [1] или окрестности фильтр для точки х есть совокупность всех окрестностей в точке х .
Определения [ править ]
Открытая окрестность подмножества S из X является любым открытым множеством V таким , что S ⊆ V . Окрестность S в X является любое подмножество Т ⊆ X такое , что Т содержит некоторое открытую окрестность S . Явно это означает, что T ⊆ X является окрестностью S в X тогда и только тогда, когда существует некоторое открытое множество V такое, что S⊆ V ⊆ T . Система окрестностей для любого непустого множества S представляет собой фильтр называется окрестность фильтр для S . Фильтр соседства для точки x ∈ X аналогичен фильтру соседства для одноэлементного множества { x }.
«Соседство» не обязательно должно быть открытым множеством; те окрестности, которые также являются открытыми множествами, известны как «открытые окрестности». Точно так же те окрестности, которые также являются замкнутыми множествами, называются замкнутыми окрестностями . Есть много других типов окрестностей, которые используются в топологии и связанных областях, таких как функциональный анализ . Семейство всех окрестностей, обладающих определенным «полезным» свойством, часто образует основу соседства, хотя во многих случаях эти районы не обязательно являются открытыми.
Основа [ править ]
База окрестностей или локальный базис (или окрестности базовая или локальная база ) для точки х представляет собой базис фильтра фильтра окрестностей; это означает, что это подмножество
такой, что для всех существует такое, что для любой окрестности мы можем найти окрестность в базисе соседства, который содержится в .
Эквивалентно, является локальным базисом в x тогда и только тогда, когда фильтр окрестности может быть восстановлен в том смысле, что выполняется следующее равенство:
- . [2]
Subbasis [ править ]
Окрестность подбазис на й представляет собой семейство 𝒮 подмножеств X , каждый из которых содержит х , такие , что совокупность всех возможных конечных пересечений элементов 𝒮 образует базис в окрестностях х .
Примеры [ править ]
- В любом топологическом пространстве система окрестностей точки также является базисом окрестностей точки.
- Множество всех открытых окрестностей в точке образует базис соседства в этой точке.
- Для пространства X с недискретной топологией система окрестностей для любой точки x содержит только все пространство,
- В метрическом пространстве для любой точки x последовательность открытых шаров вокруг x с радиусом 1 / n образует счетный базис окрестности . Это означает, что каждое метрическое пространство счетно первым .
- В слабой топологии на пространстве мер на пространстве E база окрестностей о задается формулой
- где - непрерывные ограниченные функции от E до действительных чисел.
Свойства [ править ]
В полунормированном пространстве , то есть векторном пространстве с топологией, индуцированной полунормой , все системы окрестностей могут быть построены путем перевода системы окрестностей в начало координат,
Это связано с тем, что по предположению сложение векторов отдельно непрерывно в индуцированной топологии. Следовательно, топология определяется системой его окрестностей в начале координат. В более общем смысле это остается верным, когда пространство является топологической группой или топология определяется псевдометрикой .
См. Также [ править ]
- База (топология)
- Фильтр (математика)
- Фильтры в топологии
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство
- Район
- Подбаза