В логике , математике и лингвистике And ( ) - функциональный оператор логического соединения ; и из набора операндов истинно тогда и только тогда , когда все его операндов являются истинными. Логическая связка , которая представляет этот оператор обычно записывается в виде или ⋅ . [1] [2] [3]
истинно тогда и только тогда, когда истинно и истинно.
Операнд конъюнкции - это конъюнкт .
Помимо логики, термин «союз» также относится к аналогичным концепциям в других областях:
- В естественном языке , то денотат выражений , таких как английский язык «и».
- В языках программирования короткое замыкание и структура управления .
- В теории множеств , пересечение .
- В теории решеток - логическая конъюнкция ( точная нижняя граница ).
- В логике предикатов , квантор всеобщности .
Обозначение [ править ]
И обычно обозначается инфиксным оператором: в математике и логике он обозначается как , [1] [3] & или × ; в электронике, ⋅ ; и в языках программирования, , или . В январе Лукасевич «s префикс обозначение для логики , оператор K , для польского koniunkcja . [4] &
&&
and
Определение [ править ]
Логическое соединение - это операция над двумя логическими значениями , обычно значениями двух предложений , которая дает значение истина тогда и только тогда, когда оба ее операнда истинны. [2] [3]
Конъюнктивное тождество истинно, что означает, что операция И для выражения с истинным никогда не изменит значение выражения. В соответствии с концепцией пустой истины , когда конъюнкция определяется как оператор или функция произвольной арности , пустая конъюнкция (операция И над пустым набором операндов) часто определяется как имеющая истинный результат.
Таблица истинности [ править ]
Таблица истинности из : [2] [3]
Т | Т | Т |
Т | F | F |
F | Т | F |
F | F | F |
Определено другими операторами [ править ]
В системах, где логическое соединение не является примитивным, его можно определить как [5]
или же
Правила введения и исключения [ править ]
Как правило, введение конъюнкции представляет собой классически действительную простую форму аргумента . Форма аргумента имеет два помещения, A и B . Интуитивно это позволяет сделать вывод об их соединении.
- А ,
- B .
- Поэтому, и Б .
или в обозначении логического оператора :
Вот пример аргумента, который подходит для введения конъюнкции формы :
- Боб любит яблоки.
- Боб любит апельсины.
- Поэтому Боб любит яблоки, а Боб - апельсины.
Исключение конъюнкции - еще одна классически допустимая простая форма аргументации . Интуитивно это позволяет сделать вывод из любого соединения любого элемента этого соединения.
- И Б .
- Поэтому .
... или, альтернативно,
- И Б .
- Таким образом, В .
В обозначениях логических операторов :
... или, альтернативно,
Отрицание [ править ]
Определение [ править ]
Союз доказывается ложным, устанавливая либо или . С точки зрения объектного языка это читается как
Эту формулу можно рассматривать как частный случай
когда это ложное предложение.
Другие стратегии доказательства [ править ]
Если подразумевает , то оба, а также доказывают ложность конъюнкции:
Другими словами, соединение может быть доказано как ложное, просто зная об отношении его конъюнктов, а не обязательно об их истинностных значениях.
Эту формулу можно рассматривать как частный случай
когда это ложное предложение.
Любое из приведенных выше доказательств является конструктивным доказательством от противного.
Свойства [ править ]
коммутативность : да
ассоциативность : да
распределенность : с различными операциями, особенно с или
другие | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
с эксклюзивным или : с материальным неприкрытием : с собой: |
идемпотентность : да
монотонность : да
сохранение истины: да.
Когда все входные данные верны, выход верен.
(для проверки) |
сохранение ложности: да.
Когда все входы ложны, выход ложен.
(для проверки) |
Спектр Уолша : (1, -1, -1,1)
Non линейность : 1 (функция согнута )
Если для истинного (1) и ложного (0) используются двоичные значения, то логическое соединение работает точно так же, как обычное арифметическое умножение .
Приложения в компьютерной инженерии[ редактировать ]
В высокоуровневом компьютерном программировании и цифровой электронике логическая конъюнкция обычно представлена инфиксным оператором, обычно в виде ключевого слова, такого как « AND
», алгебраического умножения или символа амперсанда &
(иногда удваивается, как в &&
). Многие языки также предоставляют структуры управления коротким замыканием, соответствующие логическому соединению.
Логическая конъюнкция часто используется для побитовых операций, где 0
соответствует ложь и 1
истина:
0 AND 0
=0
,0 AND 1
=0
,1 AND 0
=0
,1 AND 1
=1
.
Операция также может быть применена к двум двоичным словам, рассматриваемым как строки битов равной длины, путем выполнения побитового И каждой пары битов в соответствующих позициях. Например:
11000110 AND 10100011
=10000010
.
Это можно использовать для выбора части строки битов с помощью битовой маски . Например, = извлекает пятый бит 8-битовой строки.10011101 AND 00001000
00001000
В компьютерных сетях битовые маски используются для получения сетевого адреса подсети в существующей сети из заданного IP-адреса путем операции AND IP-адреса и маски подсети .
Логическое соединение " AND
" также используется в операциях SQL для формирования запросов к базе данных.
Соответствие Карри – Ховарда связывает логическое соединение с типами продуктов .
Теоретико-множественная корреспонденция [ править ]
Принадлежность элемента множеству пересечений в теории множеств определяется в терминах логической конъюнкции: x ∈ A ∩ B тогда и только тогда, когда ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ). Благодаря этому соответствию теоретико-множественное пересечение разделяет несколько свойств с логическим соединением, например ассоциативность , коммутативность и идемпотентность .
Естественный язык [ править ]
Как и в случае с другими понятиями, формализованными в математической логике, логическое соединение и связано с грамматическим союзом и в естественных языках , но не таким же образом .
Английское «and» имеет свойства, не фиксируемые логическим соединением. Например, «и» иногда подразумевает порядок, имеющий смысл «тогда». Например, «они поженились и родили ребенка» в обычном дискурсе означает, что брак был заключен раньше ребенка.
Слово «и» также может означать разделение объекта на части, например: «Американский флаг красный, белый и синий». Здесь не подразумевается, что флаг одновременно красный, белый и синий, а скорее, что на нем есть часть каждого цвета.
См. Также [ править ]
- И-инверторный график
- И ворота
- Побитовое И
- Булева алгебра (логика)
- Темы булевой алгебры
- Логический конъюнктивный запрос
- Логический домен
- Логическая функция
- Булевозначная функция
- Устранение конъюнкции
- Законы де Моргана
- Логика первого порядка
- Неравенства Фреше
- Грамматическое соединение
- Логическая дизъюнкция
- Логическое отрицание
- Логический график
- Операция
- Обозначения Пеано – Рассела
- Исчисление высказываний
Ссылки [ править ]
- ^ a b «Исчерпывающий список логических символов» . Математическое хранилище . 2020-04-06 . Проверено 2 сентября 2020 .
- ^ a b c «Соединение, отрицание и дизъюнкция» . Философия.lander.edu . Проверено 2 сентября 2020 .
- ^ a b c d "2.2: Конъюнкции и дизъюнкции" . Математика LibreTexts . 2019-08-13 . Проверено 2 сентября 2020 .
- ^ Юзеф Мария Бохенский (1959), Краткое изложение математической логики , переведенное Отто Бердом из французского и немецкого изданий, Дордрехт, Южная Голландия: D. Reidel, passim.
- ^ Смит, Питер. «Типы систем доказательства» (PDF) . п. 4.
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме логического соединения . |
- "Конъюнкция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Вольфрам MathWorld: Конъюнкция
- «Таблица свойств и истинности предложений AND» . Архивировано из оригинала 6 мая 2017 года.