Логическая двусмысленность

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники. Найти источники:  "Logical biconditional"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2013 г. )

Диаграмма Венна из (истинная часть в красном)${\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}$

В логике и математике , то логический biconditional , иногда известный как материала biconditional , является логическая связка используется для соединить два оператора P и Q , чтобы сформировать утверждение « P тогда и только тогда , когда Q », где Р известен как антецеденте , и Q - следствие . ^{[1] [2] [3]} Это часто сокращается как « P iff Q ». ^[4] Оператор обозначается двуглавой стрелкой (↔^[5] или ⇔ ^[6] ), префикс E «E pq » (в обозначениях Лукасевича или Бохенского ), знак равенства (=), знак эквивалентности (≡), ^[4] или EQV . Это логически эквивалентно каки, и логическому оператору XNOR (исключающее или), что означает «оба или ни один».${\ Displaystyle (P \ rightarrow Q) \ земля (Q \ rightarrow P)}$${\ Displaystyle (п \ земля Q) \ лор (\ нег Р \ земля \ нег Q)}$

Семантически единственный случай, когда логическое двусмысленное условие отличается от материального условного условия, - это случай, когда гипотеза ложна, а вывод верен. В этом случае результат будет истинным для условного, но ложным для двусмысленного. ^[2]

В концептуальной интерпретации P = Q означает «Все P - это Q , а все Q - это P ». Другими словами, множества P и Q совпадают: они идентичны. Однако это не означает, что P и Q должны иметь одно и то же значение (например, P может быть «равносторонним трехугольником», а Q - «равносторонним треугольником»). При формулировке как предложение, предшествующий является предметом и , как следствие , является предикатом из универсальных утвердительныхпредложение (например, во фразе «все люди смертны», «люди» - подлежащее, а «смертный» - сказуемое).

В пропозициональной интерпретации означает, что из P следует Q, а из Q следует P ; другими словами, предложения логически эквивалентны в том смысле, что оба они либо вместе истинны, либо вместе ложны. Опять же, это не означает, что они должны иметь одно и то же значение, поскольку P может означать «треугольник ABC имеет две равные стороны», а Q может означать «треугольник ABC имеет два равных угла». В общем, антецедент - это предпосылка или причина , а следствие - это следствие . Когда импликация переводится гипотетическим (или${\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}$условное ) суждение, антецедент называется гипотезой (или условием ), а следствие - тезисом .

Общий способ демонстрирует biconditional формы , чтобы продемонстрировать , что и по отдельности (из - за его эквивалентность к соединению два обратных условным ^[2] ). Еще один способ продемонстрировать то же двусмысленность - это продемонстрировать, что и . ^[1]${\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}$${\ displaystyle P \ rightarrow Q}$${\ displaystyle Q \ rightarrow P}$${\ displaystyle P \ rightarrow Q}$${\ displaystyle \ neg P \ rightarrow \ neg Q}$

Когда оба члена двусмысленного выражения являются предложениями, его можно разделить на два условия, одно из которых называется теоремой, а другое - обратным . ^{[ необходимая цитата ]} Таким образом, всякий раз, когда теорема и обратная ей теорема верны, у нас есть двоякое условие. Простая теорема порождает импликацию, антецедентом которой является гипотеза, а следствием - тезис теоремы.

Часто говорят, что гипотеза - это достаточное условие тезиса, а тезис - необходимое условие гипотезы. То есть достаточно, чтобы гипотеза была верной, чтобы тезис был верным, в то время как необходимо, чтобы тезис был верным, если гипотеза верна. Когда теорема и обратная ей теорема верны, ее гипотеза считается необходимым и достаточным условием тезиса. То есть гипотеза является одновременно причиной и следствием тезиса.

Определение [ править ]

Логическое равенство (также известное как двояковыпуклое) - это операция над двумя логическими значениями , обычно значениями двух предложений , которая дает значение истина тогда и только тогда, когда оба операнда ложны или оба операнда истинны. ^[2]

Таблица истинности [ править ]

Ниже приводится таблица истинности для (также записывается как , P = Q или P EQ Q ):${\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}$${\ Displaystyle P \ Equiv Q}$

${\ displaystyle P}$	${\ displaystyle Q}$	${\ displaystyle P \ leftrightarrow Q}$
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	Т

Когда задействовано более двух утверждений, их объединение с может быть неоднозначным. Например, утверждение${\ displaystyle \ leftrightarrow}$

${\ displaystyle x_ {1} \ leftrightarrow x_ {2} \ leftrightarrow x_ {3} \ leftrightarrow \ cdots \ leftrightarrow x_ {n}}$

можно интерпретировать как

${\ displaystyle (((x_ {1} \ leftrightarrow x_ {2}) \ leftrightarrow x_ {3}) \ leftrightarrow \ cdots) \ leftrightarrow x_ {n}}$,

или могут быть истолковано , как говорят , что все х _я являюсь совместно истинным или ложным совместно :

${\displaystyle (x_{1}\land \cdots \land x_{n})\lor (\neg x_{1}\land \cdots \land \neg x_{n})}$

Как оказалось, эти два утверждения одинаковы только тогда, когда задействовано ноль или два аргумента. Фактически, следующие таблицы истинности показывают один и тот же битовый шаблон только в строке без аргументов и в строках с двумя аргументами:

${\displaystyle ~x_{1}\leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_{n}}$
означает эквивалент центральной диаграммы Венна ниже, а линия (ABC) в этой матрице представляет ту же операцию.
${\displaystyle \neg ~(\neg x_{1}\oplus \cdots \oplus \neg x_{n})}$

${\displaystyle ~x_{1}\leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_{n}}$
означает сокращение для диаграммы Венна, расположенной ниже, а линия (ABC) в этой матрице представляет ту же операцию.
${\displaystyle (~x_{1}\land \cdots \land x_{n}~)}$
${\displaystyle \lor ~(\neg x_{1}\land \cdots \land \neg x_{n})}$

Левая диаграмма Венна ниже и линии (AB) в этих матрицах представляют одну и ту же операцию.

Диаграммы Венна [ править ]

Красные области означают истину (как для и ).

Biconditional из двух утверждений является отрицанием из исключающих или : ${\displaystyle ~A\leftrightarrow B~~\Leftrightarrow ~~\neg (A\oplus B)}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \neg }$

Двуусловное и исключающее или трех операторов дают один и тот же результат: ${\displaystyle ~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C~~\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle ~A\oplus B\oplus C}$ ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle ~~\Leftrightarrow ~~}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle ~~\Leftrightarrow ~~}$

Но также может использоваться как сокращение для${\displaystyle ~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C}$ ${\displaystyle (A\leftrightarrow B)\land (B\leftrightarrow C)}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle ~~\Leftrightarrow ~~}$

Свойства [ править ]

Коммутативность : Да

${\displaystyle A\leftrightarrow B}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle B\leftrightarrow A}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Ассоциативность : Да

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle ~~~\leftrightarrow ~~~}$	${\displaystyle (B\leftrightarrow C)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\leftrightarrow B)}$	${\displaystyle ~~~\leftrightarrow ~~~}$	${\displaystyle ~C}$
	${\displaystyle ~~~\leftrightarrow ~~~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle ~~~\leftrightarrow ~~~}$

Распределимость : бикондиционная функция не распределяется по какой-либо двоичной функции (даже самой себе), но логическая дизъюнкция распределяется по биконусной.

идемпотентность : Нет

${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle ~\leftrightarrow ~}$	${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle ~1~}$	${\displaystyle \nLeftrightarrow }$	${\displaystyle ~A~}$
	${\displaystyle ~\leftrightarrow ~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \nLeftrightarrow }$

Монотонность : Нет

${\displaystyle A\rightarrow B}$	${\displaystyle \nRightarrow }$			${\displaystyle (A\leftrightarrow C)}$	${\displaystyle \rightarrow }$	${\displaystyle (B\leftrightarrow C)}$
	${\displaystyle \nRightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \rightarrow }$

Сохранение истины: Да.
Когда все входные данные верны, выход верен.

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\leftrightarrow B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$

Сохранение ложности: Нет.
Когда все входные данные ложны, выход не является ложным.

${\displaystyle A\leftrightarrow B}$	${\displaystyle \nRightarrow }$	${\displaystyle A\lor B}$
	${\displaystyle \nRightarrow }$

Спектр Уолша : (2,0,0,2)

Non линейность : 0 (функция линейна)

Правила вывода [ править ]

Как и все связки в логике первого порядка, у двусмысленного выражения есть правила вывода, которые регулируют его использование в формальных доказательствах.

Двузначное введение [ править ]

Бикондиционное введение позволяет заключить, что если B следует из A, а A следует из B, то A тогда и только тогда, когда B.

Например, из утверждений «если я дышу, значит я жив» и «если я жив, то я дышу», можно сделать вывод, что «я дышу тогда и только тогда, когда я» м жив »или, что эквивалентно:« Я жив тогда и только тогда, когда дышу ». Или более схематично:

Б → А    А → Б    ∴ А ↔ Б

Б → А    А → Б    ∴ Б ↔ А

Двусловное исключение [ править ]

Бикондиционное исключение позволяет вывести условное выражение из биконусного: если A ↔ B истинно, то можно вывести либо A → B, либо B → A.

Например, если это правда, что я дышу, если и только если я жив, то это правда, что если я дышу, то я жив; Точно так же это правда, что если я жив, то я дышу. Или более схематично:

 А ↔ Б   ∴ А → Б

 А ↔ Б   ∴ B → A

Разговорное использование [ править ]

Одним из недвусмысленных способов обозначить двояковыпуклое слово на простом английском языке является принятие формы « b, если a, и a, если b » - если стандартная форма « a if and only if b » не используется. Чуть более формально, можно также сказать, что « b подразумевает a, а a подразумевает b », или « a необходимо и достаточно для b ». ^[1] Простое английское «if '» иногда может использоваться как двоякое (особенно в контексте математического определения) ^[7]). В этом случае при интерпретации этих слов необходимо учитывать окружающий контекст.

Например, утверждение «Я куплю вам новый кошелек, если он вам понадобится» может быть истолковано как двоякое условие, поскольку говорящий не предполагает правильного результата покупки кошелька независимо от того, нужен кошелек или нет (как в условном). Однако «облачно, если идет дождь», как правило, не подразумевается как двоякое условие, поскольку может быть облачно, даже если нет дождя.

См. Также [ править ]

• Если и только если
• Логическая эквивалентность
• Логическое равенство
• XNOR ворота
• Двуусловное исключение
• Двузначное введение

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с логическим двуконусным условием на Викискладе?

Эта статья включает материал из Biconditional на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .