Петлевой резонатор

Цилиндрический петлевой резонатор длины .${\ displaystyle \ ell}$

Петли зазор резонатор ( ЛГРЫ ) представляет собой электромагнитный резонатор , который работает в радио- и СВЧ - диапазонах частот. Простейшие ЛГР представляют собой токопроводящую трубку с узкой прорезью по ее длине. ^{[1] [2]} Размеры LGR обычно намного меньше длины волны электромагнитного поля в свободном пространстве на резонансной частоте. Следовательно, относительно компактные LGR могут быть разработаны для работы на частотах, которые слишком низки для доступа, например, с использованием объемных резонаторов . Эти структуры могут иметь очень острые резонансы (высокие коэффициенты качества ), что делает их полезными для экспериментов с электронным спиновым резонансом (ЭПР) ^[3].[4] и прецизионные измерения свойств электромагнитных материалов ( диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость ). ^[5]

Фон [ править ]

Петлевые резонаторы (LGR) могут быть смоделированы как схемы с сосредоточенными элементами . Прорезь по длине резонатора имеет эффективную емкость, а отверстие резонатора имеет эффективную индуктивность . На резонансной частоте или около нее вдоль внутренней стенки резонатора устанавливается окружной ток. Эффективное сопротивление , ограничивающее этот ток, частично определяется удельным сопротивлением и глубиной электромагнитной скин-слоя проводника, используемого для изготовления LGR. ^[1] Таким образом, можно смоделировать LGR как цепь.${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle LRC}$. Поскольку ток LGR максимален на резонансной частоте, модель эквивалентной схемы представляет собой последовательную схему. Эта модель схемы хорошо работает при условии, что размеры резонатора остаются небольшими по сравнению с длиной волны электромагнитных полей в свободном пространстве. ^[6]${\ displaystyle LRC}$

Одним из преимуществ LGR является то, что он создает области однородного электрического и магнитного полей, изолированные друг от друга. Однородное электрическое поле существует внутри щели LGR, а однородное магнитное поле существует внутри отверстия резонатора. Однородное магнитное поле делает LGR хорошим источником микроволновых магнитных полей в экспериментах по ЭПР. Кроме того, поскольку электрическое и магнитное поля изолированы друг от друга, можно использовать LGR для независимого исследования электрических и магнитных свойств материалов. Например, если зазор LGR заполнен диэлектрическим материалом, эффективная емкость LGR будет изменена, что изменит частоту и добротность резонанса. Измерения изменений и${\ displaystyle f_ {0}}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle f_ {0}}$${\ displaystyle Q}$может использоваться для полного определения комплексной диэлектрической проницаемости диэлектрического материала. Аналогичным образом, если отверстие в LGR заполнено магнитным материалом, эффективная индуктивность LGR будет изменена , и в результате изменение и может быть использована для извлечения комплексной проницаемости магнитного материала. ^{[5] [7]}${\ displaystyle f_ {0}}$${\ displaystyle Q}$

Резонансная частота и коэффициент качества [ править ]

Частота резонанса [ править ]

Емкость промежутка LGR определяется выражением

${\ displaystyle C = \ varepsilon _ {0} {\ frac {w \, \ ell} {t}} \ ,,}$

где - диэлектрическая проницаемость свободного пространства , - толщина стенки отверстия, - ширина зазора, - длина резонатора. Отверстие резонатора действует как одновитковый соленоид с индуктивностью, равной${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ ell}$

${\ Displaystyle L = \ mu _ {0} {\ frac {\ pi \, r_ {0} ^ {2}} {\ ell}} \ ,,}$

где есть проницаемость свободного пространства , и это внутренний радиус отверстия LGR. Для резонатора с высоким резонатором резонансная частота в приближении определяется выражением${\ displaystyle \ mu _ {0}}$${\ displaystyle r_ {0}}$${\ displaystyle Q}$

${\displaystyle f_{0}\approx {\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}={\frac {c}{2\pi r_{0}}}{\sqrt {\frac {t}{\pi w}}}\,,}$

где - скорость света в вакууме . Следовательно, резонансная частота LGR определяется геометрией и в первом приближении не зависит от ее длины.${\displaystyle c=1/{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$

Фактор качества [ править ]

Для последовательной цепи с сильным демпфированием добротность, определяющая резкость резонанса, определяется выражением${\displaystyle LRC}$

${\displaystyle Q\approx {\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.}$

Эффективное сопротивление LGR можно оценить, учитывая длину проводника, по которому проходит ток, и доступную для него площадь поперечного сечения. Соответствующая длина проводника - это окружность внутренней поверхности проводника. Глубина, на которую ток проникает во внутреннюю поверхность отверстия LGR, определяется глубиной электромагнитного скин-слоя . Следовательно, площадь поперечного сечения, через которую протекает заряд, равна . Сочетание этих результатов дает эффективное сопротивление.${\displaystyle 2\pi r_{0}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta \,\ell }$

${\displaystyle R_{\rho }\approx \rho {\frac {2\pi r_{0}}{\delta \,\ell }}\,,}$

где - удельное сопротивление проводника. Эффективная емкость, индуктивность и сопротивление затем приводят к простому выражению ожидаемой добротности LGR.${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle Q\approx {\frac {r_{0}}{\delta }}\,,}$

где для хорошего проводника глубина электромагнитного скин-слоя на резонансной частоте определяется выражением

${\displaystyle \delta \approx {\sqrt {\frac {2\rho }{\mu _{0}\omega _{0}}}}\,,}$

и . Для алюминиевого резонатора с и предсказывает приведенный выше анализ . ^{[1] [6]}${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}}$${\displaystyle r_{0}=1\,\mathrm {cm} }$${\displaystyle f_{0}=1\,\mathrm {GHz} }$${\displaystyle Q\approx 3900}$

Радиационные потери [ править ]

На практике измеренная добротность цилиндрического ЛГР без дополнительного электромагнитного экранирования будет намного меньше прогнозируемого значения . Подавление добротности происходит из-за потерь мощности излучения от силовых линий магнитного поля, которые выходят из отверстия LGR в свободное пространство. Оценка эффективного радиационного сопротивления по порядку величины может быть сделана, рассматривая LGR как проводящую петлю. В пределе, когда длина волны излучения намного больше радиуса петли , сопротивление излучения составляет${\displaystyle r_{0}/\delta }$${\displaystyle r_{0}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {r} }\approx {\frac {\pi }{6}}{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}\left({\frac {\omega _{0}r_{0}}{c}}\right)^{4}\,,}$

и может быть намного больше, чем сопротивление из-за удельного сопротивления проводника LGR. ^{[8] [9]} Потери на излучение можно уменьшить, поместив LGR внутри круглого волновода . При условии, что частота отсечки самой низкой моды волновода TE ₁₁ намного выше резонансной частоты LGR, силовые линии магнитного поля не будут распространяться в свободное пространство. Наличие электромагнитного экрана изменит резонансную частоту и добротность LGR, но обычно всего на несколько процентов. ^{[1] [6]}${\displaystyle R_{\rho }}$

Тороидальный LGR [ править ]

В некоторых приложениях, требующих высоких показателей качества, электромагнитное экранирование, обеспечиваемое концентрическим круглым волноводом, окружающим цилиндрический LGR, может быть громоздким и неудобным в эксплуатации. Тороидальный LGR можно использовать для высокоточных измерений без необходимости дополнительного электромагнитного экранирования. В тороидальной геометрии два конца цилиндрического LGR соединены, образуя полностью закрытую конструкцию. В этом случае магнитное поле полностью ограничено отверстием резонатора, и потери мощности на излучение отсутствуют. Тороидальный LGR состоит из двух половин, скрепленных болтами по внешнему диаметру конструкции.${\displaystyle Q}$

Как и цилиндрический LGR, тороидальный LGR можно смоделировать как последовательную цепь. В общем, эффективная емкость, индуктивность и сопротивление тороидального LGR будут отличаться от выражений, приведенных выше для цилиндрического LGR. Однако в пределе, когда радиус тора велик по сравнению с радиусом отверстия , емкость, индуктивность и сопротивление тороидального LGR аппроксимируются приведенными выше выражениями, если принять их равными окружности тора.${\displaystyle LRC}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle \ell }$

Тороидальный LGR особенно удобен при характеристике электромагнитных свойств жидких образцов или частиц, взвешенных в жидкости. В этих случаях отверстие тороидального LGR может быть частично заполнено жидким образцом без использования специального держателя образца. Эта установка позволяет характеризовать магнитные свойства, например, феррожидкости . В качестве альтернативы, если жидкий образец немагнитен, весь тороидальный LGR можно погрузить в жидкость (или газ). В этом случае диэлектрические свойства образца изменяют только эффективную емкость резонатора, а изменения и могут использоваться для определения комплексной диэлектрической проницаемости образца. ^{[7] [9]}${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

Сцепление с LGR [ править ]

Контуры индуктивной связи обычно используются для ввода магнитного потока в LGR и из него. Контуры связи изготавливаются путем удаления части внешнего проводника и диэлектрика с полужесткого коаксиального кабеля . Затем оголенный центральный провод сгибают в петлю и замыкают накоротко на внешний провод. Противоположный конец коаксиального кабеля подключается либо к генератору сигнала, либо к приемнику. В случае генератора сигналов в контуре связи устанавливается колебательный ток . По закону индукции Фарадеяэтот ток создает осциллирующий магнитный поток, который может быть направлен в канал LGR. Этот магнитный поток, в свою очередь, индуцирует окружные токи вдоль внутренней стенки LGR. Индуцированный ток, опять же по закону Фарадея, создает приблизительно однородное колеблющееся магнитное поле в канале LGR. Вторая петля связи, подключенная к приемнику, может использоваться для обнаружения магнитного потока, создаваемого LGR. В качестве альтернативы, используя векторный анализатор цепей (ВАЦ), можно использовать одиночный контур связи, как для ввода сигнала в LGR, так и для измерения его отклика. ВАЦ может измерять соотношение прямого и отраженного напряжений ( или коэффициент отражения${\displaystyle S_{11}}$) в зависимости от частоты микроволн. Вдали от резонанса величина коэффициента отражения будет близка к единице, поскольку на этих частотах в LGR подается очень небольшая мощность. Однако вблизи резонансной частоты величина коэффициента отражения будет ниже единицы, поскольку мощность передается в LGR. Связь между внешними цепями и LGR может быть настроена путем регулировки относительного положения и ориентации контура связи и LGR. При критической связи достигается согласование импеданса и коэффициент отражения приближается к нулю. ^[11]${\displaystyle f_{0}}$

Также возможно емкостное соединение электрических полей в зазоре LGR и из него, используя электроды соответствующей формы на конце коаксиального кабеля. ^[11]

Многопетлевые, многозазорные LGR [ править ]

Фотография алюминиевого двухпетлевого однозазорного LGR. Также видны индуктивная соединительная петля, подвешенная в правом отверстии резонатора, и набор плоских резонаторов с разъемным кольцом в левом отверстии резонатора. ^[12]${\displaystyle 2\times 2}$

Также были разработаны многопетлевые и многозазорные LGR. Самый простой из них - двухпетлевой однозазорный LGR. В этом случае силовые линии магнитного поля образуют замкнутые контуры, проходя через каждое из отверстий LGR, а токи на внутренних стенках распространяются в противоположных направлениях - по часовой стрелке в одном отверстии и против часовой стрелки в другом. Эквивалентная схема без учета потерь представляет собой параллельную комбинацию катушек индуктивности и последовательно с емкостью . Если , то резонансная частота двухпетлевой однозазорной LGR равна${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle L=L_{0}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$раз больше, чем у обычного однопетлевого LGR с одним зазором, имеющего такие же размеры отверстия и зазора. Также стоит отметить, что, поскольку силовые линии магнитного поля проходят от одного отверстия к другому, потери мощности излучения сильно подавляются, а резонатор сохраняет высокую добротность, не требуя дополнительного электромагнитного экранирования. ^{[10] [13]}

Многопетлевые, многозазорные LGR с более чем двумя петлями имеют более одной резонансной моды. Если центральное отверстие выделено как имеющее индуктивность , то один из резонансных режимов - это режим, в котором весь магнитный поток от каждого из внешних контуров индуктивности разделяется с центральным контуром. Для этого режима резонансная частота LGR с петлей и промежутком определяется выражением${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle f_{0}\approx {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {n}{LC}}}\,,}$

где предполагалось, что все контуры имеют одинаковую индуктивность . ^{[14] [15] [16] [17] [18]}${\displaystyle L}$

LGR и сверхпроводимость [ править ]

Эффект Мейснера в пластинчатом сверхпроводящем монокристалле. Синие линии представляют приложенное магнитное поле. Магнитные поля проникают в глубину кристалла. В монокристаллическом сверхпроводнике существует уникальная глубина проникновения для каждого из кристаллографических направлений.${\displaystyle \lambda }$

Петлевые резонаторы используются для точных измерений электродинамических свойств нетрадиционных сверхпроводников . ^{[19] В} частности, LGR был использован для выявления линейной температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля , характерной для d-волнового сверхпроводника, в монокристалле YBa ₂ Cu ₃ O _6.95 . ^[20] В этих экспериментах сверхпроводящий образец помещается внутрь отверстия LGR. диамагнитныреакция сверхпроводника изменяется в индуктивности LGR и, следовательно, его резонансной частоте. Как описано ниже, отслеживание изменения резонансной частоты при изменении температуры образца позволяет вывести температурную зависимость глубины проникновения магнитного поля.

Теория [ править ]

Индуктивность LGR может быть выражена как , где - объем канала LGR. Поскольку резонансная частота LGR пропорциональна , небольшое изменение эффективного объема отверстия резонатора приведет к изменению резонансной частоты, определяемой выражением${\displaystyle L=\mu _{0}V_{\mathrm {r} }/\ell ^{2}}$${\displaystyle V_{\mathrm {r} }}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle L^{-1/2}}$

${\displaystyle \delta f_{0}=-{\frac {f_{0}}{2}}{\frac {\delta V_{\mathrm {r} }}{V_{\mathrm {r} }}}\,.}$

Из-за эффекта Мейснера , когда сверхпроводящий образец помещается в отверстие LGR, магнитный поток вытесняется изнутри образца на глубину проникновения на его поверхность. Следовательно, эффективный объем отверстия резонатора уменьшается на величину, равную объему, из которого исключен магнитный поток. Этот исключенный объем определяется как${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle V_{\mathrm {ex} }\approx ab\left(c-2\lambda _{a}\right)\,,}$

где , и - размеры образца по трем кристаллографическим направлениям, - объем образца . В приведенном выше выражении предполагается, что микроволновое магнитное поле приложено параллельно оси -оси образца. Поскольку наличие сверхпроводника уменьшает объем LGR, и${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle abc}$${\displaystyle V_{\mathrm {s} }}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \delta V_{\mathrm {r} }=-V_{\mathrm {ex} }}$

${\displaystyle \delta f_{0}={\frac {f_{0}}{2V_{\mathrm {r} }}}\left(V_{\mathrm {s} }-2ab\lambda _{a}\right)\,.}$

Решение этого выражения для глубины проникновения по оси дает${\displaystyle a}$

${\displaystyle \lambda _{a}={\frac {c}{2}}-{\frac {V_{\mathrm {r} }}{ab}}{\frac {\delta f_{0}}{f_{0}}}\,.}$

Как правило, невозможно использовать измерения частотного сдвига LGR для определения абсолютного значения глубины проникновения, поскольку для этого потребуется очень точное знание толщины образца . Так , например, в полностью легированных YBa ₂ Cu ₃ O ₇ , при низкой температуре. ^[21] Следовательно, чтобы использовать измерение LGR для определения с точностью до 10%, необходимо знать значение с точностью, которая обычно невозможна.${\displaystyle c}$${\displaystyle \lambda _{a}\approx 100~\mathrm {nm} }$${\displaystyle \lambda _{a}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 10~\mathrm {nm} }$

Вместо этого стратегия состоит в том, чтобы отслеживать изменения частоты при изменении температуры образца (при сохранении фиксированной температуры LGR). Абсолютную глубину проникновения можно выразить как

${\displaystyle \lambda _{a}(T)=\lambda _{a}(T_{0})+\Delta \lambda _{a}(T)\,,}$

где - температура, - экспериментальная базовая температура и - изменение глубины проникновения при повышении температуры образца выше базовой температуры. Следовательно, можно выразить изменение глубины проникновения как${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \Delta \lambda _{a}(T)}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{a}(T)=\lambda _{a}(T)-\lambda _{a}(T_{0})=-{\frac {V_{\mathrm {r} }}{ab}}{\frac {1}{f_{0}}}\left[\delta f_{0}(T)-\delta f_{0}(T_{0})\right]\,.}$

Наконец, определяя , мы имеем${\displaystyle \Delta f_{0}(T)=\delta f_{0}(T)-\delta f_{0}(T_{0})}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{a}(T)=-{\frac {V_{\mathrm {r} }}{ab}}{\frac {\Delta f_{0}(T)}{f_{0}}}\,.}$

Это окончательное выражение показывает, как сдвиги LGR по резонансной частоте могут быть использованы для определения температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводящий образец.

Детали эксперимента [ править ]

В d-волновом сверхпроводнике глубина проникновения обычно изменяется на несколько Ангстремов на градус Кельвина , что соответствует для образца пластинки в LGR с объемом отверстия . Для измерения таких небольших изменений относительной частоты требуется чрезвычайно высокий резонатор. Сверхвысокие показатели качества достигаются за счет покрытия поверхностей LGR сверхпроводящим материалом, например сплавом свинца и олова. Затем резонатор охлаждается ниже температуры сверхпроводящего перехода покрытия с помощью ванны из сверхтекучего жидкого гелия . Показатели качества были достигнуты с использованием медных ЖГР, покрытых свинцово-оловянным покрытием и охлажденных до . ^[20]${\displaystyle \Delta f_{0}/f_{0}\sim 10^{-10}}$${\displaystyle 1~\mathrm {mm} ^{2}}$${\displaystyle 1~\mathrm {cm} ^{3}}$${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 10^{6}}$${\displaystyle 1~\mathrm {K} }$

Измерение диэлектрической проницаемости и магнитной проницаемости [ править ]

В этом разделе описывается, как LGR можно использовать для определения электромагнитных свойств материалов. Когда нет материалов, заполняющих зазор или отверстие резонатора, импеданс LGR может быть выражен как${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}\,,}$

где . Импеданс, выраженный через резонансную частоту и добротность , определяется как${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\frac {Z}{QR}}={\frac {1}{Q}}+j\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right)\,.}$

Измерение частотной зависимости импеданса пустого LGR можно использовать для определения и . Измерение импеданса проще всего выполнить с помощью векторного анализатора цепей (ВАЦ) для измерения коэффициента отражения от индуктивно-связанной LGR. Импеданс и коэффициент отражения связаны соотношением${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle S_{11}}$

${\displaystyle S_{11}={\frac {Z_{0}-Z}{Z_{0}+Z}}\,,}$

где - выходное сопротивление ВАЦ (обычно ).${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle Z_{0}=50~\Omega )}$

Комплексная диэлектрическая проницаемость [ править ]

Теперь предположим, что зазор резонатора полностью заполнен диэлектрическим материалом со сложной относительной диэлектрической проницаемостью . В этом случае эффективная емкость становится равной, а полное сопротивление LGR определяется выражением${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }=\varepsilon ^{\prime }-j\varepsilon ^{\prime \prime }}$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }C}$

${\displaystyle Z_{\varepsilon }=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega \left(\varepsilon ^{\prime }-j\varepsilon ^{\prime \prime }\right)C}}\,.}$

Разделение реальных и мнимых терминов приводит к

${\displaystyle Z_{\varepsilon }=\left[R+\left({\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {1}{\omega C}}\right]+j\left[\omega L-\left({\frac {\varepsilon ^{\prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {1}{\omega C}}\right]\,.}$

Это выражение показывает, что ненулевое значение увеличивает эффективное сопротивление LGR и, следовательно, снижает его добротность. С другой стороны, ненулевое значение изменяет мнимую часть импеданса и изменяет резонансную частоту. Записанное в терминах резонансной частоты пустого резонатора и добротности, указанное выше полное сопротивление может быть выражено как${\displaystyle \varepsilon ^{\prime \prime }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\prime }}$

${\displaystyle {\frac {Z_{\varepsilon }}{QR}}=\left[{\frac {1}{Q}}+\left({\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right]+j\left[{\frac {\omega }{\omega _{0}}}-\left({\frac {\varepsilon ^{\prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right]\,.}$

При условии , что и известна заранее, измерение частотной зависимости может быть использовано для определения и материального заполнения зазора в LGR. Этот анализ дает значения и на резонансной частоте заполненного LGR. ^{[5] [6] [7]}${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Z_{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\prime }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\prime \prime }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\prime }}$${\displaystyle \varepsilon ^{\prime \prime }}$

Комплексная проницаемость [ править ]

Затем предположим, что канал LGR заполнен магнитным материалом, имеющим сложную относительную проницаемость . В этом случае эффективная индуктивность становится равной, а полное сопротивление LGR определяется выражением${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }=\mu ^{\prime }-j\mu ^{\prime \prime }}$${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }L}$

${\displaystyle Z_{\mu }=R+j\omega \left(\mu ^{\prime }-j\mu ^{\prime \prime }\right)L+{\frac {1}{j\omega C}}\,.}$

Выделяя в ее действительные и мнимые части и запись импеданса в терминах и пустых выходов LGr${\displaystyle Z_{\mu }}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\frac {Z_{\mu }}{QR}}=\left[{\frac {1}{Q}}+\mu ^{\prime \prime }{\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right]+j\left[\mu ^{\prime }{\frac {\omega }{\omega _{0}}}-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right]\,.}$

Опять же, способствует дополнительному рассеянию, которое снижает добротность заполненного резонатора и сдвигает резонансную частоту. Измерение частотной зависимости можно использовать для извлечения значений и на резонансной частоте заполненного LGR. ^{[5] [10] [12] [22]}${\displaystyle \mu ^{\prime \prime }}$${\displaystyle \mu ^{\prime }}$${\displaystyle Z_{\mu }}$${\displaystyle \mu ^{\prime }}$${\displaystyle \mu ^{\prime \prime }}$

Ссылки [ править ]