В математике нижняя огибающая или поточечный минимум конечного набора функций - это поточечный минимум функций, функция, значение которой в каждой точке является минимумом значений функций в данном наборе. Концепция нижней оболочки также может быть распространена на частичные функции , взяв минимум только среди функций, которые имеют значения в точке. Верхней огибающей или максимальное точечно определяется симметрично. Для бесконечного набора функций одни и те же понятия могут быть определены с использованием инфимума вместо минимума и супремума вместо максимума. [1]
Для непрерывных функций из данного класса нижняя или верхняя оболочка является кусочной функцией, части которой принадлежат к одному классу. Для функций одной действительной переменной, графики которых имеют ограниченное количество точек пересечения, сложность нижней или верхней оболочки может быть ограничена с помощью последовательностей Давенпорта – Шинцеля , и эти огибающие могут быть эффективно вычислены с помощью алгоритма «разделяй и властвуй», который вычисляет, а затем объединяет огибающие подмножеств функций. [2]
Для выпуклых функций или квазивыпуклых функций верхняя оболочка снова выпуклая или квазивыпуклая. Нижняя оболочка - нет, но ее можно заменить нижней выпуклой оболочкой, чтобы получить операцию, аналогичную нижней оболочке, которая поддерживает выпуклость. Верхняя и нижняя оболочки липшицевых функций сохраняют липшицевость. Однако операции нижнего и верхнего конвертов не обязательно сохраняют свойство быть непрерывной функцией . [3]
Рекомендации
- ^ Шоке, Гюстав (1966), "3. Верхние и нижние оболочки семейства функций" , Топология , Academic Press, стр. 129–131, ISBN 9780080873312
- ^ Буассонна, Жан-Даниэль ; Ивинек, Мариетт (1998), «15.3.2 Вычисление нижнего конверта» , Алгоритмическая геометрия , Cambridge University Press, стр. 358, ISBN 9780521565295
- ^ Шок (1966) , стр. 136.