Теорема Лусина

---

В математической области реального анализа теорема Лузина (или теорема Лузина , названная в честь Николая Лузина ) или критерий Лузина утверждают, что почти всюду конечная функция измерима тогда и только тогда, когда она является непрерывной функцией почти во всей своей области. В неформальной формулировке Дж . Э. Литтлвуда «каждая измеримая функция почти непрерывна».

быть измеримой функцией. Тогда для любого ε  > 0 существует компакт E  ⊆ [ a ,  b ] такой, что функция f , суженная на E , непрерывна и

Обратите внимание, что E наследует топологию подпространства от [ a ,  b ]; непрерывность f , ограниченная E , определяется с помощью этой топологии.

Также для любой функции f , определенной на отрезке [ a, b ] и почти всюду конечной, если для любого ε > 0 существует функция ϕ , непрерывная на [ a, b ], такая, что мера множества

Пусть пространство с мерой Радона и Y топологическое пространство со вторым счетом , оснащенное борелевской алгеброй , и пусть${\ Displaystyle (Х, \ сигма, \ му)}$

быть измеримой функцией. Учитывая , для каждой конечной меры существует замкнутое множество с таким, что сужение на является непрерывным. Если локально компактно , мы можем выбрать компактность и даже найти непрерывную функцию с компактным носителем, которая совпадает с на и такая, что .${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$${\ Displaystyle А \ в \ сигма}$${\ Displaystyle Е}$${\ Displaystyle \ му (А \ setminus E) <\ varepsilon}$${\ Displaystyle е}$${\ Displaystyle Е}$${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle Е}$${\ displaystyle f _ {\ varepsilon}: X \ стрелка вправо Y}$${\ Displaystyle е}$${\ Displaystyle Е}$${\ displaystyle \ \ sup _ {x \ in X} | f _ {\ varepsilon} (x) | \ leq \ sup _ {x \ in X} | f (x) |}$

---