Магический шестиугольник

Заказ n = 3
M = 38

Магии шестиугольник порядка п является расположением чисел в центре шестиугольной структуры с п клетками на каждый краю, таким образом , что числа в каждой строке, во всех трех направлениях, сумма к тому же постоянной магии М . Нормальная шестигранная магия содержит последовательные целые числа от 1 до 3 л ² - 3 п + 1. Оказывается , что нормальные шестиугольники магии существует только при п = 1 (что тривиально, так как она состоит только 1 шестиугольник) и п = 3. Более того, решение порядка 3 по существу единственно. ^[1] Менг также дал менее сложное конструктивное доказательство. ^[2]

Магический шестиугольник порядка 3 много раз публиковался как «новое» открытие. Первым упоминанием и, возможно, первым первооткрывателем является Эрнст фон Хазельберг (1887 г.).

Доказательство нормальных магических шестиугольников [ править ]

Цифры в шестиугольнике идут подряд от 1 до . Следовательно, их сумма - треугольное число , а именно ${\ displaystyle (3n ^ {2} -3n + 1)}$

s={1 \over {2}}(3n^{2}-3n+1)(3n^{2}-3n+2)={9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2 \over {2}}

Есть r = (2 n - 1) рядов, идущих в любом заданном направлении (EW, NE-SW или NW-SE). Каждые из этих строк подводить к тому же числу М . Следовательно:

M={s \over {r}}={9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2 \over {2(2n-1)}}

Это можно переписать как

M=\left({\frac {9n^{3}}{4}}-{\frac {27n^{2}}{8}}+{\frac {45n}{16}}-{\frac {27}{32}}\right)+{\frac {5}{32\left(2n-1\right)}}

Умножение на 32 дает

32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{5 \over 2n-1}

который показывает, что это должно быть целое число, следовательно, 2n-1 должно быть множителем 5, а именно 2n-1 = 1 или 2n-1 = 5. Единственное, что удовлетворяет этому условию, это и , что доказывает, что не существует обычных магических шестиугольников, кроме порядки 1 и 3. ${\frac {5}{2n-1}}$ $n\geq 1$ $n=1$ $n=3$

Аномальные магические шестиугольники [ править ]

Хотя не существует нормальных магических шестиугольников с порядком выше 3, некоторые аномальные шестиугольники все же существуют. В данном случае ненормальное означает начало последовательности чисел, отличных от 1. Арсен Захрей обнаружил эти шестиугольники порядка 4 и 5:


Заказ 4 M = 111	Заказ 5 M = 244

Шестиугольник четвертого порядка начинается с 3 и заканчивается 39, его строки в сумме составляют 111. Шестиугольник пятого порядка начинается с 6 и заканчивается 66 и в сумме составляет 244.

Шестиугольник порядка 5, начинающийся с 15, заканчивающийся 75 и суммируемый до 305, выглядит так:

 56 61 70 67 51 55 45 36 48 53 68 74 37 26 29 27 39 73 62 42 33 19 16 31 38 64 58 57 22 20 15 18 23 43 49 63 47 28 21 17 30 34 65 71 35 24 32 25 46 72 59 44 40 41 52 69 54 60 75 66 50

Сумма, превышающая 305 для шестиугольников порядка 5, невозможна.

Шестиугольники порядка 5, где «X» - заполнители для шестиугольников порядка 3, которые завершают числовую последовательность. В верхнем умещается шестиугольник с суммой 38 (числа от 1 до 19), а в нижнем - из 26 шестиугольников с суммой 0 (числа от -9 до 9). (для получения дополнительной информации посетите немецкую статью в Википедии )

 39 35-14 21-20 -16-12 37 22 34-4 ХХХ -5-7-1 36 XXXX -13-17 30 23XXXXX -6 24-21 26 XXXX -3 0 28 -2 ХХХ 27-11-18 25 -15-9 33-8 29 31 38 32-10 20-19 30 28-18-13-27 -30-28 18 15 13 12 ХХХ 27 21-22-26 ХХХХ -11-24 16 19XXXXX -12 10-20 22 ХХХХ -16-21 11 26 ХХХ 20 14-19-15 -29-25 17 24 23-10 29 25-17-14-23

Шестиугольник порядка 6 можно увидеть ниже. Он был создан Луи Хелблингом 11 октября 2004 г .:

Он начинается с 21, заканчивается 111, а его сумма равна 546.

Этот магический шестиугольник 7-го порядка был обнаружен Арсеном Захреем 22 марта 2006 года с помощью моделированного отжига:

Он начинается с 2, заканчивается 128, а его сумма равна 635.

Магический шестиугольник порядка 8 был создан Луи К. Хелблингом 5 февраля 2006 г .:

Он начинается с -84 и заканчивается 84, а его сумма равна 0.

Волшебные Т-шестиугольники [ править ]

Шестиугольники также могут быть построены из треугольников, как показано на следующих диаграммах.


Заказ 2	Заказ 2 с номерами 1–24

Этот тип конфигурации можно назвать Т-образным шестиугольником, и он имеет гораздо больше свойств, чем шестиугольник шестиугольников.

Как и в предыдущем случае, ряды треугольников проходят в трех направлениях, и в T-шестиугольнике порядка 2 имеется 24 треугольника. В общем, T-шестиугольник порядка n имеет треугольники. Сумма всех этих чисел определяется как: $6n^{2}$

S=3n^{2}(6n^{2}+1)

Если мы попытаемся построить магический T-шестиугольник со стороной n , мы должны выбрать n как четное, потому что имеется $r = 2 n$ строк, поэтому сумма в каждой строке должна быть

M={\frac {S}{R}}={\frac {3n^{2}(6n^{2}+1)}{2n}}

Чтобы это было целое число, n должно быть четным. На сегодняшний день открыты волшебные Т-шестиугольники 2, 4, 6 и 8 порядка. Первым был магический Т-шестиугольник порядка 2, открытый Джоном Бейкером 13 сентября 2003 года. С того времени Джон сотрудничал с Дэвидом Кингом, который обнаружил 59 674 527 несовпадающих магических Т-шестиугольников порядка 2.

Магические Т-образные шестиугольники обладают рядом свойств, общих с магическими квадратами, но у них также есть свои особенности. Самым удивительным из них является то, что сумма чисел в треугольниках, направленных вверх, такая же, как сумма чисел в треугольниках, направленных вниз (независимо от того, насколько велик Т-образный шестиугольник). В приведенном выше примере

17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7

= 5 + 11 + 19 + 9 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18

= 150

Заметки [ править ]

^ Trigg, CW "Уникальный Магия шестигранной" , Рекреационные Mathematics Magazine , январь-февраль 1964. Проверено 2009-12-16.
^ <Мэн, Ф. «Исследование магического шестиугольника Ордена 3» , Shing-Tung Yau Awards , октябрь 2008 г. Проверено 16 декабря 2009 г.

Ссылки [ править ]

Бейкер. Дж. Э. и Кинг, Д. Р. (2004) «Использование визуальной схемы для нахождения свойств шестиугольника» Визуальная математика, том 5, номер 3
Бейкер, JE и Бейкер, AJ (2004) «Шестиугольник, выбор природы» Архимед, Том 4

См. Также [ править ]

[1] Trigg, CW "Уникальный Магия шестигранной" , Рекреационные Mathematics Magazine , январь-февраль 1964. Проверено 2009-12-16.

[2] <Мэн, Ф. «Исследование магического шестиугольника Ордена 3» , Shing-Tung Yau Awards , октябрь 2008 г. Проверено 16 декабря 2009 г.

[1]

vтеМагические полигоны
Типы	Магический круг Магический шестиугольник Магическая гексаграмма Магический квадрат Волшебная звезда Магический треугольник
Связанные фигуры	Альфа-магический квадрат Антимагический квадрат Геомагический квадрат Гетероквадрат Пандиагональный магический квадрат Самый совершенный магический квадрат
Формы более высоких размеров	Волшебный куб классы Магический гиперкуб Магический гиперпучок
Классификация	Ассоциативный магический квадрат Пандиагональный магический квадрат Мультимагический квадрат
Связанные понятия	Латинский квадрат Слово квадрат Номер Scrabble Пазл о восьми ферзях Магическая константа Магический граф Волшебная серия