Геометрический квадрат магии , часто сокращенно Geomagic площади , является обобщением магических квадратов изобретен Ли Саллоус в 2001 году традиционный магический квадрат квадратный массив чисел (почти всегда положительные целые числа ), сумма которых берется в любой строке, любой столбец, либо по диагонали одно и то же целевое число . С другой стороны, геометрический квадрат представляет собой квадратный массив геометрических фигур, в котором фигуры, появляющиеся в каждой строке, столбце или диагонали, могут быть соединены вместе, чтобы создать идентичную форму, называемую целевой формой.. Как и в случае с числовыми типами, требуется, чтобы записи в геомагическом квадрате были разными. Точно так же восемь тривиальных вариантов любого квадрата, возникающего в результате его вращения и / или отражения, считаются одним и тем же квадратом. Под размером геомагического квадрата понимается размер частей, которые он использует. До сих пор интерес был сосредоточен в основном на двухмерных квадратах с использованием плоских элементов, но разрешены элементы любых размеров.
Примеры
На рисунке 1 выше показан геометрический квадрат 3 × 3. Три части, занимающие каждый ряд, столбец и диагональ, образуют прямоугольную мишень, как видно слева и справа, сверху и снизу. Здесь все 9 частей являются декомпозициями , но могут появляться части любой формы, и не обязательно, чтобы они были одного размера. На рисунке 2, например, части представляют собой полимино последовательных размеров от 1 до 9 единиц. Мишень представляет собой квадрат 4 × 4 с внутренним квадратным отверстием.
Удивительно, но компьютерные исследования показывают, что рис. 2 - это всего лишь один из 4370 различных геометрических квадратов 3 × 3, в которых используются части с одинаковыми размерами и одной и той же целью. И наоборот, рис. 1 представляет собой одно из двух решений, в которых используются детали одинакового размера и идентичная мишень. Как правило, повторяющиеся размеры деталей подразумевают меньшее количество решений. Однако в настоящее время не существует теоретической основы для объяснения этих эмпирических данных. [1]
Части в геомагическом квадрате также могут быть не пересекающимися или составленными из отдельных островов, как показано на рисунке 3. Поскольку они могут быть размещены таким образом, чтобы взаимно перекрываться, непересекающиеся части часто могут размещать мозаику в областях, которые соединенные части не могут. Награды этой дополнительной гибкости часто можно увидеть в геомагии, обладающей симметрией, недоступной для числовых образцов. [2]
Помимо квадратов, использующих плоские формы, существуют трехмерные образцы, ячейки которых содержат твердые части, которые будут объединяться, чтобы сформировать одну и ту же постоянную твердую цель. На рисунке 5 показан пример, в котором целью является куб.
История
Хорошо известная формула математика Эдуара Лукаса характеризует структуру каждого магического квадрата чисел 3 × 3. [3] Саллоус, уже являвшийся автором оригинальной работы в этой области, [4] долгое время предполагал, что формула Лукаса может содержать скрытый потенциал. [5] Это предположение было подтверждено в 1997 году, когда он опубликовал небольшую статью, в которой исследовал квадраты с использованием комплексных чисел, уловку, ведущую к новой теореме, которая коррелирует каждый магический квадрат 3 × 3 с уникальным параллелограммом на комплексной плоскости. [6] Продолжая в том же духе, следующим решающим шагом была интерпретация переменных в формуле Лукаса как обозначения геометрических форм, диковинная идея, которая непосредственно привела к концепции геометрического квадрата. [7] Неожиданным следствием этой находки оказалось то, что традиционные магические квадраты теперь превратились в одномерные геомагические квадраты.
Другие исследователи также обратили на это внимание. Чарльз Эшбахер , соредактор журнала «Рекреационная математика» , говорит о «значительном расширении» области магических квадратов [8]. Питер Кэмерон , лауреат премии Уайтхеда Лондонского математического общества и одновременно обладатель медали Эйлера , назвал геомагические квадраты «Замечательный новый элемент развлекательной математики, который порадует нематематиков и даст математикам пищу для размышлений». [1] Писатель-математик Алекс Беллос сказал: « Придумать это после тысяч лет изучения магических квадратов - это довольно удивительно». [9] Могут спросить, могут ли геомагические квадраты иметь применение помимо изучения головоломок. Кэмерон убежден в этом, говоря: «Я сразу вижу много вещей, которые я хотел бы сделать с этим». [9]
Способы строительства
За исключением тривиальных примеров, не существует известных простых методов создания геометрических квадратов. На сегодняшний день изучены два подхода. [10] Если используемые части представляют собой полиформы или формы, составленные из повторяющихся элементов, становится возможным исчерпывающий поиск с помощью компьютера.
В случае с рис. 1, например, первым шагом будет выбор размеров деталей, которые будут использоваться (в данном случае все равно), и формы желаемой мишени. Затем исходная программа сможет сгенерировать список L, соответствующий всем возможным мозаикам этой целевой формы на 3 отдельных фрагмента (полимино размера 10). Каждое декино представлено уникальным целым числом, так что L будет состоять из списка целочисленных триад. Последующая процедура может затем пройти и протестировать каждую комбинацию трех различных триад по очереди. Тест будет состоять в том, чтобы рассматривать триады-кандидаты как записи строки в квадрате 3 × 3, а затем проверять, содержат ли сформированные таким образом столбцы и диагонали по 3 целых числа, которые также находятся в L , то есть также являются целевыми. трезвучие. Если это так, то был идентифицирован геомагический квадрат 3 × 3 с использованием 9 декомпозиций и выбранной цели. Если это не удается, можно попробовать альтернативные целевые формы. Разработанную версию того же метода можно использовать для поиска квадратов большего размера или квадратов, включающих кусочки разного размера.
Альтернативный метод построения начинается с тривиального геометрического квадрата, показывающего повторяющиеся части, формы которых затем изменяются таким образом, чтобы визуализировать каждый отдельный объект, но без нарушения магических свойств квадрата. Это достигается с помощью алгебраического шаблона, такого как показано ниже, различные переменные в котором затем интерпретируются как различные формы, которые либо добавляются к начальным частям, либо удаляются из них, в зависимости от их знака.
Рисунок 4 иллюстрирует такую геометрическую интерпретацию шаблона, в которой k интерпретируется как маленькая квадратная форма, а a , b , c и d представляют собой выступы (+) и / или углубления (-), с помощью которых он изменяется так, что в результате получается 16 различных частей головоломки.
Отношение к традиционным магическим квадратам
Вопреки впечатлению, производимому на первый взгляд, неправильно рассматривать термин «геомагический квадрат» как относящийся к какой-то категории магических квадратов. На самом деле все обстоит как раз наоборот: каждый (аддитивный) магический квадрат является частным экземпляром геомагического квадрата, но никогда наоборот. Это ясно из примера ниже, который появляется в обширной статье Жана-Поля Делахэ о геомагических квадратах в Pour la Science , французской версии журнала Scientific American . [11] В этом случае целевая «форма» для геометрического квадрата справа - это просто одномерный линейный сегмент длиной 15 единиц, причем части снова являются не более чем прямыми линейными сегментами. Таким образом, последнее, очевидно, является прямым переводом в геометрические термины числового магического квадрата слева.
|
|
Как говорит Делахай: «Этот пример показывает, что концепция геомагических квадратов обобщает магические квадраты. Результат здесь вряд ли впечатляющий, но, к счастью, есть другие геометрические квадраты, которые не являются результатом такого преобразования». [11] [12]
Дело в том, что любой числовой магический квадрат можно понимать как одномерный геометрический квадрат, как указано выше. Или, как выразился сам Саллоус: «Традиционные магические квадраты с числами затем раскрываются как частный случай« геомагических »квадратов, в которых все элементы одномерные». [2] Это, однако, не исчерпывает одномерный случай, потому что существуют одномерные геомагические квадраты, компоненты которых являются отсоединенными отрезками линии и которые не соответствуют никакому числовому магическому квадрату. Таким образом, даже в первом измерении традиционные типы соответствуют лишь крошечному подмножеству всех геометрических магических квадратов.
Особые типы
Более богатая структура геомагических квадратов отражается в существовании образцов, демонстрирующих гораздо большую степень «магии», чем это возможно с числовыми типами. Таким образом, панмагический квадрат - это квадрат, в котором каждая диагональ, включая так называемые ломаные диагонали , обладает тем же магическим свойством, что и строки и столбцы. Однако легко показать, что панмагический квадрат размером 3 × 3 невозможно построить с помощью чисел, в то время как геометрический пример можно увидеть на рисунке 3. Сопоставимого примера с использованием соединенных частей еще не было. [2]
Помимо того, что они являются геомагическими, существуют квадраты со вспомогательными свойствами, которые делают их еще более заметными. Например, на Рисунке 6, который является волшебным только для строк и столбцов, 16 частей образуют так называемый набор мозаичных плиток . Такой набор определяется как любой набор из n различных фигур, каждая из которых может быть выложена плиткой меньшими копиями полного набора из n фигур. [13]
Второй пример - рисунок 4, который представляет собой так называемый «самосвязывающийся» геомагический квадрат. Здесь 16 частей больше не содержатся в отдельных ячейках, а сами определяют форму квадратных ячеек, чтобы соединиться вместе, чтобы получить квадратную мозаику.
Геомагические квадраты в популярной культуре
9 октября 2014 года почтовое отделение Макао выпустило серию марок на основе магических квадратов . [14] Марка ниже, показывающая один из геометрических квадратов, созданных Саллоусом, была выбрана для этой коллекции. [15]
Рекомендации
Заметки
- ^ a b «Магические квадраты получают совершенно новое измерение» , Алекс Беллос, The Observer , 3 апреля 2011 г.
- ^ a b c Геометрические магические квадраты Ли Сэллоуз , The Mathematical Intelligencer , Том 23, № 4 Зима 2011, стр 25-31
- ^ "Alphamagic Squares", thinkquest.org:Magic of Mathematics.
- ^ "Новые достижения с магическими квадратами 4 × 4" Ли Сэллоус
- ^ Sallows, с 3 и 91
- ^ "Утраченная теорема" Ли Сэллоуз The Mathematical Intelligencer Том 19, № 4, стр 51-4, 1997
- ^ Комплексное проективное 4-пространство, где происходят захватывающие вещи: геометрические квадраты
- ↑ Геометрические магические квадраты, обзор Американской математической ассоциации Чарльза Эшбахера , 24 сентября 2013 г.
- ^ a b «Древняя головоломка обретает новую« геомагическую »жизнь» Джейкоба Арона, New Scientist , 24 января 2011 г.
- ^ Sallows, с 1-12
- ^ a b Les carrés magiques géométriques , Жан-Поль Делахай, Pour La Science № 428, июнь 2013 г.
- ^ Cet example montre que la notion de carré géomagique généralise celle de carré magique. Le résultat n'est ici guère spectulaire, mais heureusement, il existe d'autres carrés géomagiques ne provant pas d'une telle traduction directe.
- ^ On Self-Черепица Черепица множеств Ли Саллоус, математический журнал , декабрь 2012
- ^ Веб-сайт почтового отделения Макао. Архивировано 11 ноября 2014 г. на Wayback Machine.
- ^ Магического квадрата марка Макао только что сделали филателии еще более тормозной The Guardian Science, 3 ноября 2014
Источники
- Саллоус, Ли, Геометрические магические квадраты: новый вызов, использующий цветные формы вместо чисел , Dover Publications, апрель 2013 г., ISBN 0486489094
Внешние ссылки
- Сайт Geomagic Squares
- Формальное математическое определение Geomagic Squares