Пандиагональный магический квадрат

Pandiagonal квадрат магии или panmagic квадрат (также дьявольский квадрат , дьявольский квадрат или дьявольский квадрат магии ) является магическим квадратом с дополнительным свойством , что сломанные диагонали , то есть диагонали , которые обертывают круглые по краям площади, а также добавить до магическая константа .

Пандиагональный магический квадрат остается пандиагонально магическим не только при вращении или отражении , но и при перемещении строки или столбца с одной стороны квадрата на противоположную. Таким образом, пандиагональный магический квадрат можно рассматривать как имеющий ориентацию.${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle 8n^{2}}$

3 × 3 пандиагональных магических квадрата [ править ]

Можно показать, что нетривиальных пандиагональных магических квадратов третьего порядка не существует. Предположим, что квадрат

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline \!\!a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!\\\hline \!\!a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\!\!\\\hline \!\!a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!\\\hline \end{array}}}$

пандиагонально магия с магической суммой . Суммы и результаты складываются в . Вычитаем и получаем . Однако, если мы переместим третий столбец вперед и проведем то же доказательство, мы получим . Фактически, используя симметрию магических квадратов 3 × 3, все клетки должны быть равны . Следовательно, все пандиагональные магические квадраты 3 × 3 должны быть тривиальными.${\displaystyle s}$${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33},}$ ${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32},}$${\displaystyle a_{13}+a_{22}+a_{31}}$${\displaystyle 3s}$${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}}$${\displaystyle a_{31}+a_{32}+a_{33},}$${\displaystyle 3a_{22}=s}$${\displaystyle 3a_{21}=s}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}s}$

Однако, если обобщить концепцию магического квадрата, чтобы включить геометрические формы вместо чисел - геометрические магические квадраты, открытые Ли Саллоусом - пандиагональный магический квадрат 3 × 3 действительно существует.

Пандиагональные магические квадраты 4 × 4 [ править ]

Диаграмма Эйлера требований некоторых типов магических квадратов 4 × 4. Ячейки одного цвета суммируются с магической константой.

Наименьшие нетривиальные пандиагональные магические квадраты - это квадраты 4 × 4. Все пандиагональные магические квадраты 4 × 4 должны быть трансляционно симметричными по форме ^[1]

Поскольку каждый подквадрат 2 × 2 суммируется с магической константой, пандиагональные магические квадраты 4 × 4 являются наиболее совершенными магическими квадратами . Кроме того, два числа в противоположных углах любого квадрата 3 × 3 в сумме составляют половину магической суммы. Следовательно, все пандиагональные магические квадраты 4 × 4, которые являются ассоциативными, должны иметь повторяющиеся ячейки.

Все 4 × 4 pandiagonal квадратов магических чисел с использованием 1-16 без дубликатов получаются, позволяя в равной 1; позволяя b , c , d и e равняться 1, 2, 4 и 8 в некотором порядке; и применяя некоторый перевод . Например, при b = 1 , c = 2 , d = 4 и e = 8 у нас есть магический квадрат

Количество пандиагональных магических квадратов 4 × 4 с числами 1-16 без дубликатов составляет 384 (16 × 24, где 16 соответствует переводу, а 24 - 4! Способам присвоения 1, 2, 4 и 8 значению b , c , d и e ).

Пандиагональные магические квадраты 5 × 5 [ править ]

Есть много пандиагональных магических квадратов 5 × 5. В отличие от пандиагональных магических квадратов 4 × 4, они могут быть ассоциативными . Ниже приведен ассоциативный пандиагональный магический квадрат 5 × 5:

В дополнение к строкам, столбцам и диагоналям пандиагональный магический квадрат 5 × 5 также показывает свою магическую сумму в четырех образцах « quincunx », которые в приведенном выше примере:

17 + 25 + 13 + 1 + 9 = 65 (центр плюс квадраты соседних строк и столбцов)

21 + 7 + 13 + 19 + 5 = 65 (центр плюс оставшиеся квадраты строки и столбца)

4 + 10 + 13 + 16 + 22 = 65 (центр плюс прилегающие по диагонали квадраты)

20 + 2 + 13 + 24 + 6 = 65 (центр плюс оставшиеся квадраты на его диагоналях)

Каждый из этих квинконсов может быть переведен в другие позиции в квадрате путем циклической перестановки строк и столбцов (обертывания), что в пандиагональном магическом квадрате не влияет на равенство магических сумм. Это приводит к 100 сумм квинконса, включая сломанные квинконсы, аналогичные сломанным диагоналям.

Суммы quincunx можно доказать, взяв линейные комбинации сумм по строкам, столбцам и диагонали. Рассмотрим пандиагональный магический квадрат

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \!\!a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!&\!\!a_{14}\!\!\!&\!\!a_{15}\!\!\!\\\hline \!\!a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\!\!&\!\!a_{24}\!\!\!&\!\!a_{25}\!\!\!\\\hline \!\!a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!&\!\!a_{34}\!\!\!&\!\!a_{35}\!\!\!\\\hline \!\!a_{41}\!\!\!&\!\!a_{42}\!\!\!&\!\!a_{43}\!\!\!&\!\!a_{44}\!\!\!&\!\!a_{45}\!\!\!\\\hline \!\!a_{51}\!\!\!&\!\!a_{52}\!\!\!&\!\!a_{53}\!\!\!&\!\!a_{54}\!\!\!&\!\!a_{55}\!\!\!\\\hline \end{array}}}$

с магической суммой s . Чтобы доказать сумму quincunx (соответствующую приведенному выше примеру 20 + 2 + 13 + 24 + 6 = 65), мы можем сложить следующее:${\displaystyle a_{11}+a_{15}+a_{33}+a_{51}+a_{55}=s}$

3 раза каждую диагональную сумму и ,${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+a_{55}}$${\displaystyle a_{15}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{51}}$

Диагональные суммы , , , и ,${\displaystyle a_{11}+a_{25}+a_{34}+a_{43}+a_{52}}$${\displaystyle a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}+a_{51}}$${\displaystyle a_{14}+a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{55}}$${\displaystyle a_{15}+a_{21}+a_{32}+a_{43}+a_{54}}$

Строка суммирует и .${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}}$${\displaystyle a_{51}+a_{52}+a_{53}+a_{54}+a_{55}}$

Из этой суммы вычтите следующее:

Суммы строк и ,${\displaystyle a_{21}+a_{22}+a_{23}+a_{24}+a_{25}}$${\displaystyle a_{41}+a_{42}+a_{43}+a_{44}+a_{45}}$

Сумма столбца ,${\displaystyle a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}}$

Дважды каждая из колонок суммирует и .${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}+a_{52}}$${\displaystyle a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}}$

Чистый результат: деление на 5 дает сумму квинконса. Подобные линейные комбинации могут быть построены и для других моделей квиконса , и .${\displaystyle 5a_{11}+5a_{15}+5a_{33}+5a_{51}+5a_{55}=5s}$${\displaystyle a_{23}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{43}}$${\displaystyle a_{13}+a_{31}+a_{33}+a_{35}+a_{53}}$${\displaystyle a_{22}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{44}}$

(4 n +2) × (4 n +2) пандиагональных магических квадратов с непоследовательными элементами [ править ]

Не существует пандиагонального магического квадрата порядка, если используются последовательные целые числа. Но некоторые последовательности непоследовательных целых чисел допускают использование пандиагональных магических квадратов order- ( ).${\displaystyle 4n+2}$${\displaystyle 4n+2}$

Рассмотрим сумму 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 24. Эту сумму можно разделить пополам, взяв соответствующие группы из трех слагаемых, или на трети, используя группы из двух слагаемых:

1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 12

1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 8

Дополнительное равное разделение суммы квадратов гарантирует полумагическое свойство, указанное ниже:

1 ² +5 ² +6 ² = 2 ² +3 ² +7 ² = 62

Обратите внимание, что последовательная целочисленная сумма 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, нечетная сумма, не имеет половинного разбиения.

При наличии обоих одинаковых разделов числа 1, 2, 3, 5, 6, 7 могут быть организованы в пандигональные узоры 6x6 A и B , соответственно задаваемые следующим образом:

Затем (где C - магический квадрат с 1 для всех ячеек) дает непоследовательный пандиагональный квадрат 6x6:${\displaystyle 7A+B-7C}$

с максимальным элементом 49 и пандиагональной магической суммой 150. Этот квадрат является пандиагональным и полубимагическим, это означает, что строки, столбцы, главные диагонали и ломаные диагонали имеют сумму 150 и, если возвести в квадрат все числа в квадрате, только строки и столбцы являются магическими и имеют сумму 5150.

Для 10-го порядка аналогичное построение возможно с использованием равных разбиений суммы 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 70:

1 + 3 + 9 + 10 + 12 = 2 + 4 + 5 + 11 + 13 = 35

1 + 13 = 2 + 12 = 3 + 11 = 4 + 10 = 5 + 9 = 14

1 ² +3 ² +9 ² +10 ² +12 ² = 2 ² +4 ² +5 ² +11 ² +13 ² = 335 (равное разбиение квадратов; полумагическое свойство)

Это приводит к квадратам с максимальным элементом 169 и пандиагональной магической суммой 850, которые также являются полумагическими с суммой квадратов в каждой строке или столбце, равной 102 850.

(6 n ± 1) × (6 n ± 1) пандиагональных магических квадратов [ править ]

Pandiagonal квадрат магии может быть построен с помощью алгоритма ниже.${\displaystyle (6n\pm 1)\times (6n\pm 1)}$

4 пандиагональных магических квадрата n × 4 n [ править ]

Pandiagonal квадрат магии может быть построен с помощью алгоритма ниже.${\displaystyle 4n\times 4n}$

Если мы построим пандиагональный магический квадрат с помощью этого алгоритма, тогда каждый квадрат в квадрате будет иметь одинаковую сумму. Следовательно, многие симметричные образцы ячеек имеют такую ​​же сумму, как любая строка и любой столбец квадрата. Особенно каждый и каждый прямоугольник будет иметь ту же сумму , как и любой строки и любого столбца квадрата. Квадрат также Наиболее совершенный магический квадрат .${\displaystyle 4n\times 4n}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 4n\times 4n}$${\displaystyle 4n}$${\displaystyle 4n\times 4n}$${\displaystyle 2n\times 2}$${\displaystyle 2\times 2n}$${\displaystyle 4n\times 4n}$${\displaystyle 4n\times 4n}$

(6 n +3) × (6 n +3) пандиагональных магических квадратов [ править ]

Pandiagonal квадрат магии может быть построен с помощью алгоритма ниже.${\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}$

Ссылки [ править ]

• В. С. Эндрюс, Магические квадраты и кубы . Нью-Йорк: Довер, 1960. Первоначально напечатано в 1917 году. См. Особенно главу X.

Внешние ссылки [ править ]

• Panmagic Square в MathWorld
• http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares